“等時(shí)圓”物理專題

1、妙用“等時(shí)圓”解物理問題一、什么是“等時(shí)圓”2004 年高考試題：如圖 1 所示， ad、bd、cd 是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d 位于同一圓周上， a 點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d 點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c 處釋放（初速為 0），用 t1、t2、t3 依次表示各滑環(huán)到達(dá)d 所用的時(shí)間，則（）A.t 1<t2<t3B.t1>t2>t3C.t3>t1 >t2D.t 1 =t2=t3解析： 選任一桿上的環(huán)為研究對(duì)象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖所示，設(shè)圓半徑為R，由牛頓第二定律得，圖1mg cosma再由幾何

2、關(guān)系，細(xì)桿長(zhǎng)度L2R cos設(shè)下滑時(shí)間為 t ，則 L1 at 22由以上三式得， t 2R可見下 4 滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以D 正確。由此g圖 2題我們可以得出一個(gè)結(jié)論。結(jié)論： 物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。推論： 若將圖1 倒置成圖2 的形式，同樣可以證明物體從最高點(diǎn)由靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等。(1) 物體 沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)時(shí)間均相等， 且為t 2Rg(如圖甲所示 )(2) 物體沿著位于同一豎直圓上的所有過頂點(diǎn)的光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周低端時(shí)間相等為t 2R( 如圖乙所示

3、) g象這樣的豎直圓我們簡(jiǎn)稱為“等時(shí)圓”。關(guān)于它在解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子：一、等時(shí)圓模型（如圖所示）二、等時(shí)圓規(guī)律：1、小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點(diǎn)的時(shí)間相等。（如圖a）圖 a圖 b2、小球從圓上的各個(gè)位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時(shí)間相等。（如圖b）3、沿不同的弦軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，都等于小球沿豎直直徑（d ）自由落體的時(shí)間，即t02d4RRgg2g三、等時(shí)性的證明（式中 R 為圓的半徑。）設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為 d （如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為ag sin ，位移為 sd sin，所以運(yùn)動(dòng)

4、時(shí)間為t02s2d sin2dag sing即沿各條弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長(zhǎng)短無關(guān)。規(guī)律 AB 、 AC 、AD 是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，A、 B 、C、 D 位于同一圓周上， A 點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，D 點(diǎn)為最低點(diǎn) .每根桿上都套著一個(gè)光滑的小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從A 處由靜止開始釋放，到達(dá)圓周上所用的時(shí)間是相等的，與桿的長(zhǎng)度和傾角大小都無關(guān).推導(dǎo)設(shè)圓環(huán)沿細(xì)桿AB 滑下，過 B 點(diǎn)作水平線構(gòu)造斜面，并設(shè)斜面的傾角為，如圖2 所示，連接 BD. 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有環(huán)的加速度a=gsin ，由幾何關(guān)系有 AB=x=2Rsin ，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有x=12at2 ，

5、解得：環(huán)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t=2Rg，與傾角、桿長(zhǎng)無關(guān)，所以環(huán)沿不同細(xì)桿下滑的時(shí)間是相等的.說明1如果細(xì)桿是粗糙的，環(huán)與細(xì)桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為 ，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有2Rsin=12（ gsin gcos ）t2，解得t=2Rsin gsin gcos=2Rg gcot ，A增大，時(shí)間 t 減小，規(guī)律不成立 .二、“等時(shí)圓”的應(yīng)用 ,巧用等時(shí)圓模型解題對(duì)于涉及豎直面上物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比較、計(jì)算等問題可考慮用等時(shí)圓模型求解圖 31、 可直接觀察出的“等時(shí)圓”例 1：如圖 3，通過空間任一點(diǎn)A 可作無限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn)A 分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在位置所

6、構(gòu)成的面是（）A.球面B.拋物面C.水平面D.無法確定解析： 由“等時(shí)圓”可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一“等時(shí)圓”上，所以A 正確?！咀兪接?xùn)練 1】如圖所示， AB 和 CD 是兩條光滑斜槽，它們各自的兩端分別位于半徑為R 和 r的兩個(gè)相切的豎直圓上，并且斜槽都通過切點(diǎn)P.設(shè)有一個(gè)重物先后沿斜槽從靜止出發(fā)，從 A 滑到 B 和從 C 滑到 D，所用的時(shí)間分別等于t 1 和 t 2，則 t1 和 t 2 之比為 ()A 21B 11C.3 1D12例 4：圓 O1 和圓 O2 相切于點(diǎn) P，O1、O2 的連線為一豎直線，如圖8 所示。過點(diǎn) P 有兩條光滑的軌道 AB 、CD，兩個(gè)小物體由靜止開

7、始分別沿AB 、CD 下滑，下滑時(shí)間分別為t1 、t2，則t1、t2 的關(guān)系是（）A.t 1>t2B.t1 =t2C.t1<t2D.無法判斷圖 8解：因 AB 、 CD 處在兩個(gè) “等時(shí)圓 ”上，所以正確答案為 B 。例 2：如圖 4，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓軌道與水平面相切于M 點(diǎn)，與豎直墻相切于點(diǎn)A ，豎直墻上另一點(diǎn) B 與 M 的連線和水平面的夾角為600，C 是圓環(huán)軌道的圓心， D 是圓環(huán)上與M 靠得很近的一點(diǎn) （ DM遠(yuǎn)小于 CM ）。已知在同一時(shí)刻：a、b 兩球分別由 A 、B 兩點(diǎn)從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運(yùn)動(dòng)到M 點(diǎn)； c球由 C 點(diǎn)自由下落到M 點(diǎn)； d 球從

8、D 點(diǎn)靜止出發(fā)沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到M 點(diǎn)。則：（）A 、 a球最先到達(dá)M 點(diǎn)B 、 b球最先到達(dá) M 點(diǎn)C 、 c 球最先到達(dá)M 點(diǎn)D 、 d球最先到達(dá) M 點(diǎn)B解析： 設(shè)圓軌道半徑為R ，據(jù)“等時(shí)圓”理論，t a=4RRC=2， t b> t a ；ggAc 做自由落體運(yùn)動(dòng)tc=2R擺長(zhǎng)為R ，D；而 d 球滾下是一個(gè)單擺模型，gMTR圖 4=dt d=，所以C 正確。 tb tat tc.42g解【析】如圖所示，令圓環(huán)半徑為R，則 c 球由 C 點(diǎn)自由下落到 M 點(diǎn)用時(shí)滿足 R12，所以 tc2R2gtcg；對(duì)于 a 球令 AM 與水平面成 角，則 a 球下滑到 M 用時(shí)滿足 AM 2Rsi

9、n 12，即 t2R；同理 b 球從 B 點(diǎn)下滑到 M 點(diǎn)用時(shí)也滿足2gsin taagtb2rM 點(diǎn)的豎直圓的半徑， r R)綜上所述可(r 為過 B、M 且與水平面相切于g得 tbta tc.三個(gè)相同小球從 a 點(diǎn)沿 ab、ac、 ad 三條光滑軌道從靜止釋放，哪個(gè)小球先運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)？解析 ：設(shè)斜 面?zhèn)冗?長(zhǎng)為 l，傾角為 ，則物體沿光滑斜面下滑時(shí)加速度為ag sin ，物體的位移為 xl sin。物體由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動(dòng)到底端，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得l1g sin t 2 ，sin2得 t2l， l 、 g 一定，所以越大時(shí)，下滑所用時(shí)間越短g sin 2奇妙的等時(shí)圓 2004 年全國(guó)高考理

10、科綜合第15 題的解析與應(yīng)用從一道高考題得到的一個(gè)重要結(jié)論及其應(yīng)用2004 年高考試題： 如圖 1 所示， ad、bd、cd 是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d 位于同一圓周上， a 點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)， d 點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)（圖中圖 1未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、 b、c 處釋放（初速為 0），用 t1、 t 2、 t3 依次表示各滑環(huán)到達(dá)d 所用的時(shí)間，則（）A.t 1<t2<t3B.t1>t2>t3C.t3>t1 >t2D.t 1 =t2=t3解析： 選任一桿上的環(huán)為研究對(duì)象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖2，由牛頓第二定律得，mg

11、 cosma 由幾何關(guān)系，細(xì)桿長(zhǎng)度L 2Rcos 設(shè)下滑時(shí)間為 t ，則 L1at 22由以上三式得， t2R可見下滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以gD 正確。若將圖 1 倒置成圖 3 的形式，同樣可以證明物體從最高點(diǎn)由靜止開始圖 3沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等。圖 2結(jié)論： 物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。物體沿著位于同一豎直圓上的過頂點(diǎn)的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周低端的時(shí)間相等。我們把這兩種圓叫做“等時(shí)圓 ”，下面舉例說明 “等時(shí)圓 ”的應(yīng)用。圖 4例 1：如圖 4 所示，通過空間任一點(diǎn)A 可作無限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn)A 分別

12、沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（）A.球面B.拋物面C.水平面D.無法確定解：由“等時(shí)圓 ”可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一“等時(shí)圓 ”上，所以 A 正確。例 2：兩光滑斜面的高度都為h，甲、乙兩斜面的總長(zhǎng)度都為l，只是乙斜面由兩部分組成，如圖5 所示，將兩個(gè)相同的小球從斜面的頂端同時(shí)由靜止釋放，不計(jì)拐角處的能量損圖 5失，問哪一個(gè)球先到達(dá)斜面底端？解：構(gòu)想一輔助圓如圖6 所示：在 AF 上取一點(diǎn) O，使 OA=OC ，以 O 點(diǎn)為圓心，以 OA 為半徑畫圓，此圓交AD 于 E 點(diǎn)。由 “等時(shí)圓 ”可知， t ACt AE ，由機(jī)械能守恒定律

13、可知： vCvE ， vBvD ，所以 vBC vED 。又因?yàn)閮尚泵娴目傞L(zhǎng)度相等，圖 6所以 sBCsDE，根據(jù) vs得， t BCt ED ，所以有 t甲t乙 ，即乙球先到達(dá)斜t面底端。2.在離坡底 B 為 10cm 的山坡面上豎直地固定一根直桿，桿高OA 也是 10cm。桿的上端 A 到坡底 B 之間有鋼繩， 一穿心于鋼繩上的物體 （如圖 11）從 A 點(diǎn)由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，求它在鋼繩上滑行時(shí)間（g=10m/s2 ）答案：如圖 12 ，把 AO 延長(zhǎng)到 C，使 OC=OA=10cm ，則點(diǎn) O 到 A 、B 、C 三點(diǎn)的距離相等。以O(shè) 為圓心， OA 為半徑作圓，則B、C 一定

14、在AC圖 11O圖 1230B圖 1該圓的圓周上，由結(jié)論可知，物體從A到B的時(shí)間與從A到C的時(shí)間相等，即t ABt AC2AC / g220/ 102 s?！纠?1】?jī)A角為30°的長(zhǎng)斜坡上有C、O、B 三點(diǎn)， CO = OB = 10m ，在 C 點(diǎn)豎直地固定一長(zhǎng)10 m 的直桿 AO。A 端與 C 點(diǎn)間和坡底B 點(diǎn)間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質(zhì)點(diǎn)），將兩球從A 點(diǎn)由靜止開始、同時(shí)分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖1 所示，則小球在鋼繩上滑行的時(shí)間tAC 和 tAB 分別為（取g = 10m/s2）A 2s 和 2sB 2s 和 2sC2s 和 4sD 4s 和2s解析：由

15、于 CO = OB =OA ，故 A、 B、 C 三點(diǎn)共圓， O 為圓心。又因直桿 AO 豎直， A 點(diǎn)是該圓的最高點(diǎn)，如圖 2 所示。兩球由靜止釋放，且光滑無摩擦，滿足“等時(shí)圓”條件。設(shè)鋼繩 AB 和 AC 與豎直方向夾角分別為 1 、2，該圓半徑為 r，則對(duì)鋼球均有2r cos1g cos t 22解得： t4rt 跟鋼繩與豎直方向夾角 無關(guān)，且都等于由, 鋼球滑到斜坡時(shí)間gA 到 D 的自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)間。代入數(shù)值得t=2s，選項(xiàng) A 正確。2、運(yùn)用等效、類比自建“等時(shí)圓”例 3：如圖 5所示，在同一豎直線上有 A 、 B兩點(diǎn)，相距為 h， B 點(diǎn)離地高度為 H ，現(xiàn)在要在地面上尋找一點(diǎn)

16、P，使得從 A 、 B 兩點(diǎn)分別向點(diǎn) P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由 A 和 B沿木板下滑到 P點(diǎn)的時(shí)間相等， 求 O、P兩點(diǎn)之間的距離OP 。A 2 1CO30BD圖 2AhBHOP圖 5解析：由“等時(shí)圓”特征可知，當(dāng)A 、B 處于等時(shí)圓周上，且P 點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低A點(diǎn)時(shí)，即能滿足題設(shè)要求。如圖 6所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為：hO1R O1PHhB2HPO所以 OPR2h)2H (H h)圖 6(2例 2：如圖 2，在斜坡上有一根旗桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，現(xiàn)有一個(gè)小環(huán)從旗桿A頂部沿一根光滑鋼絲AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小環(huán)從 A 滑L到 B 的時(shí)間。LO【解析】：可以以 O為圓心，以

17、L 為半徑畫一個(gè)圓。根據(jù)“等時(shí)圓”的規(guī)律可知， 從 A 滑到 B 的時(shí)間等于從BA 點(diǎn)沿直徑到底端 D 的時(shí)間，所以有 t ABt AD2d4LLg2gDg圖 2例 2、在一豎直墻面上固定一光滑的桿AB ，如圖所示， BD 為水平地面， ABD三點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)，且連線AC=BC=0.1m一小球套在桿上自 A 端滑到 B端的時(shí)間為：（B）A 0.1sB 0.2sC2D2 s10解析：以 C 為圓心作一個(gè)參考園。由結(jié)論知，小球自A到B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與自 A 到 B 自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等。即AE=2R=0.2m1AE= 2 gt 2t=0.2s4、如圖 4 所示，在離坡底15m 的山坡上豎直固定一

18、長(zhǎng)15m 的直桿 AO ，A 端與坡底 B 間連有一鋼繩，一穿于鋼繩上的小球從A 點(diǎn)由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，求其在鋼繩上滑行的時(shí)間t。例 5、圖甲是某景點(diǎn)的山坡滑道圖片，為了探究滑行者在滑道直線部分 AE 滑行的時(shí)間技術(shù)人員通過測(cè)量繪制出如圖乙所示的示意圖 AC 是滑道的豎直高度， D 點(diǎn)是 AC 豎直線上的一點(diǎn)，且有 ADDE 10 m，滑道 AE 可視為光滑，滑行者從坡頂A 點(diǎn)由靜止開始沿滑道AE 向下做直線滑動(dòng)，g 取 10 m/s2，則滑行者在滑道 AE 上滑行的時(shí)間為()A. sB 2 sC. sD 2 s【解析】AE 兩點(diǎn)在以D 為圓心、半徑為R 10 m 的圓上，在AE 上

19、的滑行時(shí)間與沿AD所在的直徑自由下落的時(shí)間相同，t 4R 2 s，選B.g1例 4、如圖所示，圓弧AB 是半徑為R 的4圓弧，在AB 上放置一光滑木板 BD，一質(zhì)量為 m 的小物體在 BD 板的 D 端由靜止下滑，然后沖向水平面 BC，在 BC 上滑行 L 后停下 不計(jì)小物體在 B 點(diǎn)的能量損失， 已知小物體與水平面 BC 間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 .求：小物體在 BD 上下滑過程中重力做功的平均功率【解析】由動(dòng)能定理可知小物體從D 到 C 有 WG mgL 0，所以 WG mgL由等時(shí)圓知識(shí)可知小物體從D 到 B 的時(shí)間等于物體從圓周的最高點(diǎn)下落到B 點(diǎn)的時(shí)間，即為t4R，所以小gWG mgLg物體

20、在木板BD 上下滑過程中，重力做功的平均功率為P t2R.例 3：如圖 7，一質(zhì)點(diǎn)自傾角為的斜面上方的定點(diǎn)O 沿光滑斜槽 OP 從靜止開始下滑，為使質(zhì)點(diǎn)從 O 點(diǎn)滑到斜面的時(shí)間最短，則斜槽與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？解：如圖 7，作以 OP 為弦的輔助圓，使圓心O/與 O 的連線在豎直線上，且與斜面相切于 P 點(diǎn)。由 “等時(shí)圓 ”可知，唯有在 O 點(diǎn)與切點(diǎn) P 點(diǎn)架設(shè)的斜槽滿足題設(shè)條件，質(zhì)點(diǎn)沿其它斜槽滑至斜面的時(shí)間都大于此時(shí)間。由圖可知，PO A，又 OO P 為等腰三角形，所以。圖 72例 4：如圖 7， AB 是一傾角為 的輸送帶， P 處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P 與 AB 輸送帶

21、間建立一管道（假使光滑） ，使原料從P 處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？PBAPOB圖 7?P解析： 借助“等時(shí)圓” ，可以過 P 點(diǎn)的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶 AB 相切，如圖所示， C 為切點(diǎn)， O 為圓心。顯然，沿著PC 弦建立管道，原AC料從 P 處到達(dá) C 點(diǎn)處的時(shí)間與沿其他弦到達(dá)“等時(shí)圓”的圓周上所用時(shí)間相等。M 圖 8圖 7因而，要使原料從P 處到達(dá)輸送帶上所用時(shí)間最短，需沿著PC 建立管道。由幾何關(guān)系可得： PC 與豎直方向間的夾角等于 / 2?！纠?4】如圖 7 所示，在同一豎直平面內(nèi)，從定點(diǎn)P 到固定斜面 (傾角為 ) 搭建一條光滑軌道

22、PM ，使物體從 P點(diǎn)釋放后，沿軌道下滑到斜面的時(shí)間最短，則此軌道與豎直線的夾角為多少？解析：先用解析法求解。從定點(diǎn)P 向斜面作垂線，垂足為D ，如圖 8 所示，設(shè) P 到斜面距離為h，則軌道長(zhǎng)度為?PPMh h)Dcos(ag cosM物體沿軌道下滑的加速度由于 PM1 at 2圖 82聯(lián)立解得： t2hg coscos()令根式中分母ycoscos() ，利用積化和差得：y1cos(2)時(shí)，分母 y 取得最大值，物體沿軌道下滑的時(shí)間t 最小。cos， 一定，當(dāng)22再用“等時(shí)圓”作圖求解。以定點(diǎn)P 為“等時(shí)圓”最高點(diǎn)，作出系列半徑r 不同（動(dòng)態(tài)的） “等時(shí)圓”，所有軌道的末端均落在對(duì)應(yīng)的“等

23、時(shí)圓”圓周上，如圖9 中甲所示，則軌道長(zhǎng)度均可表示為PM2R cos物體沿軌道下滑的加速度ag cos?P?P124r 1由于 PM 2at，故得： t，2gM1M2M2欲 t最小，則須“等時(shí)圓”的半徑r最小。顯然，半徑最小的“等時(shí)圓”在圖中與斜面相切于M2點(diǎn)，如圖 9 中乙所示。再乙甲根據(jù)幾何關(guān)系可知：2。圖 9在這里，用了轉(zhuǎn)化的思想， 把求最短時(shí)間轉(zhuǎn)化為求作半徑最小的“等時(shí)圓”，避免了用解析法求解的復(fù)雜計(jì)算。例 4：如圖 5 所示，在傾角為的傳送帶的正上方，有一發(fā)貨口A 。為了使貨物從靜止開始，由 A 點(diǎn)沿光滑斜槽以最短的時(shí)間到達(dá)傳送帶，則斜槽與豎直方向的夾角應(yīng)為多少？【解析】：如圖 6

24、所示，首先以發(fā)貨口 A 點(diǎn)為最高點(diǎn)作一個(gè)圓O 與傳送帶圖 5相切，切點(diǎn)為 B ，然后過圓心 O 畫一條豎直線 AB /，而連接 A 、B 的直線，就是既過發(fā)貨口A，又過切點(diǎn)B 的惟一的弦。?P根據(jù)“等時(shí)圓”的規(guī)律，貨物沿AB 弦到達(dá)傳送帶的時(shí)間最短。因此，斜H槽應(yīng)沿 AB 方向安裝。 AB 所對(duì)的圓周角 為圓心角的一半，而圓心角又等于1L，所以2。圖 10如圖 3 所示，在一個(gè)坡面與水平面成 =40°角的山坡 AB 的腳下 A 處有一個(gè)高塔，為防止意外，需要在塔頂O 與山坡之間搭一個(gè)滑道，以便塔上的人能盡快沿滑道滑到山坡上.假設(shè)滑道光滑，試求滑道與山坡坡面 AB解析 如圖 4 所示，

25、過 O 點(diǎn)作一條水平線與山坡交于B 點(diǎn)，過 B 點(diǎn)作 ABO 的角平分線，交過O 點(diǎn)作的豎直線于點(diǎn) C，以點(diǎn) C 為圓心、 OC 為半徑作圓與山坡相切于點(diǎn)D ，連接 OD 、CD.根據(jù)上述結(jié)論可知：人從O 點(diǎn)出發(fā)沿滑道到達(dá)圓上的時(shí)間是相等的，沿滑道O 已到達(dá)山坡，沿其他滑道還要再走一段距離才能到達(dá)山坡，所以人沿滑道OD 到達(dá)山坡所用時(shí)間最短，此時(shí)夾角=90° =70° .另解 如圖 5 所示，過點(diǎn) O 作山坡的垂線 OD ，設(shè)其長(zhǎng)度為 x.過點(diǎn) O 畫直線 OE，作為滑道，設(shè)其與豎直方向的夾角為 .由幾何知識(shí)可知滑道的長(zhǎng)度OE=xcos （ ），由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得人運(yùn)動(dòng)的

26、加速度為a=gsin（ 90° ），由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有xcos（ ） =12gcost2，解得t=2xgcos cos（ ），其中coscos（ ） =12cos +cos（ 2 ） ，所以當(dāng) 2 = =40=90° =70.三、“形似質(zhì)異”問題的區(qū)分圖 6如圖 1 所示， ad、bd、cd 是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d 位于同一圓周上， a 點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d 點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、 c 處釋放（初速為0），用 t1、 t2、t3 依次表示各滑環(huán)到達(dá)d 所用的時(shí)間，則（）A.t 1<t2<t3B

27、.t1>t2>t3C.t3>t1 >t2D.t 1 =t2=t3解析： 選任一桿上的環(huán)為研究對(duì)象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖所示，設(shè)圓半徑為 R，由牛頓第二定律得，mg cosma再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長(zhǎng)度L2R cos設(shè)下滑時(shí)間為 t ，則 L1 at 22由以上三式得， t 2R可見下 4 滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以 D 正確。gymgx圖 1由此題我們可以得出一個(gè)結(jié)論。結(jié)論： 物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。推論： 若將圖 1 倒置成圖 2 的形式，同樣可以證明物體從最高點(diǎn)由靜止開始沿圖 2不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等

28、。象這樣的豎直圓我們簡(jiǎn)稱為“等時(shí)圓” 。關(guān)于它在解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子：【例 1】還是如圖 1 的圓周， 如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為，小滑環(huán)分別從a、b、c 處釋放（初速為 0）到達(dá)圓環(huán)底部的時(shí)間還等不等？解 析 ： bd的 長(zhǎng) 為2Rcos ， bd面 上 物 體 下 滑 的 加 速 度 為a=gcos - gsin ，4R cosRtbd=2?？梢?t 與 有關(guān)。g cosg singg tandO【例 2】如圖 3 所示， Oa 、 Ob、 Oc 是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，O、a、b 、c 四點(diǎn)位于同一圓周上， d 點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，c 為最低點(diǎn)，每根桿上套著一

29、個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)都從圖中O 點(diǎn)無初速釋放，用 t 1、t2、t3 、 依次表示滑到 a、b、 c 所用的時(shí)間，則abA t1t 2t3B t1t2t 3c圖 3C t1t 2t3D. t3t1t2dOA。必須注意，解析：如果不假思索，套用結(jié)論，就會(huì)落入“陷阱”，錯(cuò)選“等時(shí)圓”的適用條件是：光滑斜面上初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)起f點(diǎn)（或終點(diǎn)）應(yīng)在“等時(shí)圓”的最高（或最低）點(diǎn)。題圖中O 不是最高點(diǎn)，題a設(shè)圓不是“等時(shí)圓”。b現(xiàn)以 O 點(diǎn)為最高點(diǎn)，取合適的豎直直徑Oe ，作“等時(shí)圓”交Ob 于 b ，如c圖 4 所示，顯然， O 到 f、b 、g、e 才是等時(shí)的，比較圖示位移O

30、a Of，OcOg ，故可推知 t1t 2t 3 ，正確的選項(xiàng)是gB。圖 4e【例 3】如圖 5所示，在豎直面內(nèi)有一圓，圓內(nèi)為水平線，圓周上有OD三根互成 300的光滑桿 OA、 OB 、 OC ，每根桿上套著一個(gè)小球（圖中未AB畫出） ?，F(xiàn)讓一個(gè)小球分別沿三根桿頂端無初速下滑到O, 所用的時(shí)間分別為t A 、 tB 、 tC ，300300C則（）O300AtAtBtC BtAt BtCt AtBtCDCD無法確定圖 5C/解析：題設(shè)圖中O 點(diǎn)不在圓的最低點(diǎn)，故不是“等時(shí)圓”。延長(zhǎng) OA，過 B 作 B/BBO，則 O、B 、B /在同一圓周上， B/處自由下落到 O 的時(shí)間和小球沿光滑桿由

31、B 無初速滑到 O 的時(shí)間相同。同理，過 C 作 C/C CO，則 O、C、C/在同一圓周上， C/處自由下落B /BA到 O 的時(shí)間和小球沿光滑桿由C 無初速滑到 O 的時(shí)間相同。 C/ 、B/、 A 自由下落到 O 的0300C時(shí)間依次遞減，故選項(xiàng)B 正確。30030OD3 延伸圖 6如圖 6 所示， AB 、 AC、 AD 是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，A、 B、C、 D 位于同一圓周上， O 點(diǎn)為圓周的圓心，A 點(diǎn)不是圓的最高點(diǎn).每根桿上都套著一個(gè)光滑小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從 A 處從靜止開始釋放，用t1、t2、 t3 依次表示滑環(huán)到達(dá)B 、C、 D 所用的時(shí)間，則三個(gè)時(shí)間

32、的關(guān)系是什么？解析A 不在圓的最高點(diǎn)，前面的結(jié)論直接用是不行的.可以采用如下的方法解決.如圖 7 所示，過點(diǎn) A 作豎直線交 AB 的垂直平分線于點(diǎn)O1 ，以 O1 為圓心、 O1A 為半徑畫圓交AB 于 B、分別交AC 、AD 的延長(zhǎng)線于C1、D1.在圓 ABC1D1 中用前面的結(jié)論可知，所以 t1>t2.不可以根據(jù)CC1另解假設(shè)圓的半徑為R，建立如圖8 所示的直角坐標(biāo)系.連接 AO 并假設(shè)其與x 軸的夾角為 ，則 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ Rcos ，Rsin）.設(shè)直線 AB 與 x 軸的夾角為 ，則直線AB 的斜率為k=tan ，直線 AB 的方程為y sin=tan （ x cos），整

33、理變形有xtan y+sin tancos =0，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB 的距離為OE=|sin tan cos |1+tan2，由幾何知識(shí)解得BE2=R2 （1sin2+tan2 cos22sin costan1+tan2），整理得BE= （cos cos+sinsin ）R，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有環(huán)的加速度a=gsin ，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有2BE=12gsin t2，解得小環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=4R（ coscos +sin sin ）gsin=4Rg （cos cot +sin ），所以 增大，時(shí)間減小，t1>t2>t3.當(dāng)式中 =90°時(shí)， t=2Rg，與傾角、桿

34、長(zhǎng)無關(guān)，就是前面推導(dǎo)的等時(shí)圓規(guī)律.說明 2 如果細(xì)桿是粗糙的，環(huán)與細(xì)桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為 .環(huán)處于加速下滑的條件是2BE=12（ gsin gcos ）t2，解得環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=4R（ coscos +sin sin ）gsin gcos，變形為t=4Rg （ costan +sin 1 tan），由此式可知： 增大，時(shí)間t 減小，即t1>t2>t3.當(dāng)式中 =90°或 =90°、 =0 時(shí)，時(shí)間 t=2Rg. 可見等時(shí)圓規(guī)律適用的條件是：細(xì)桿光滑、 A 點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)或最低點(diǎn) .四、比較應(yīng)用等時(shí)圓模型解典型例題如圖 9，底邊為定長(zhǎng) b 的直角斜面中，球從光滑直

35、角斜面頂端由靜止滑到底端，至少需圖 9要多少時(shí)間？答案：用作圖求解。 如圖 10，以 b 為半徑、 O 為圓心作一個(gè)圓， 作出圓的一條豎直切線MN ，于圓切于 D 點(diǎn)。 A 點(diǎn)為所作圓的最低點(diǎn)。由圖可看出：從MN 上不同的點(diǎn)由靜止滑到 A 點(diǎn)，以DA 時(shí)間為最短。（由 “等時(shí)圓 ”可知，圖中 E/、D 、C/各點(diǎn)到達(dá) A 的時(shí)間相等。）所以小球從底邊 b為定長(zhǎng)的光滑直角斜面上滑下時(shí)以45°的時(shí)間為最少，而且此時(shí)間與球從P 點(diǎn)自由下落到圓最低4b圖 10點(diǎn)的時(shí)間相等。所以t min。g2. 有三個(gè)光滑斜軌道1、2、 3，它們的傾角依次是600，450 和 300，這些軌道交于 O 點(diǎn)現(xiàn)

36、有位于同一豎直線上的3 個(gè)小物體甲、乙、丙，分別沿這3 個(gè)軌道同時(shí)從靜止自由下滑，如圖，物體滑到 O 點(diǎn)的先后順序是BA. 甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同時(shí)到達(dá)C.甲、乙、丙同時(shí)到達(dá)D. 乙最先，甲稍后，丙最后解析 ：設(shè)斜面底邊長(zhǎng)為l ，傾角為，則物體沿光滑斜面下滑時(shí)加速度為ag sin，物體的位移為x l cos。物體由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動(dòng)到底端，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得l1g sint 2 ，cos2得 t2l4l，l 、 g 一定，所以當(dāng)45 時(shí)， t m in4 lcosg sin 2g sing2、如圖9，圓柱體的倉(cāng)庫內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部

37、圓心O，而上端則擱在倉(cāng)庫側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為300、450、600。若有三個(gè)小孩同時(shí)從a、 b、c 處開始下滑（忽略阻力），則（）A 、 a 處小孩最先到O 點(diǎn)B 、b 處小孩最先到O 點(diǎn)C、c 處小孩最先到 O 點(diǎn)D 、a、c 處小孩同時(shí)到 O 點(diǎn)c解析： 三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c 三點(diǎn)不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時(shí)間不一定相等。設(shè)圓柱底面半徑為R，則R=1gsint2，cos2baOt2=4R0 時(shí)， t 最小，當(dāng) =300 和 600 時(shí)， sin2 的值相等。，當(dāng) =45g sin 2例 3：如圖 3，在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí)，為了使雨水能盡快地從屋

38、頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦地流動(dòng)。試分析和解：在屋頂寬度（ 2l ）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時(shí)間是多少？【解析】：方法一： 如圖所示，設(shè)斜面底邊長(zhǎng)為l ，傾角為，則雨滴沿光滑斜面下淌時(shí)加速度為 ag sin ，雨滴的位移為 xl cos。雨滴由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動(dòng)到底端，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得l1g sint 2 ，cos2圖 32l4ll 、 g 一定，所以當(dāng)45時(shí)， t m in4 l得 tcosg sin 2，g sing方法二（等時(shí)圓） ：如圖 4 所示，通過屋頂作垂線AC 與水平線 BD相垂直；并以 L為半徑、 O 為圓心畫一個(gè)圓與AC、BC 相切。然后，畫傾角不同的屋頂A1B 、 A2B 、A3B 圖 4從圖 4 可以看出：在不同傾角的屋頂中，只有A2 B 是圓的弦，而其余均為圓的割線。根據(jù) “等時(shí)圓 ”規(guī)律，雨水沿A2 B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為t