§32三維波動(dòng)方程的泊松公式

1、1此文件可在網(wǎng)址http:/下載23.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式3本節(jié)考慮在三維無(wú)限空間中的波動(dòng)問(wèn)題, 即求下列定解問(wèn)題:2222222220010, ,0.(3.22)|( , , ),(3.23), ,.( , , ),(3.24)ttuuuuatxyzx y ztux y zux y zx y zt 這個(gè)定解問(wèn)題仍可用行波法來(lái)解, 但坐標(biāo)變量有三個(gè), 不能直接利用前面的通解公式.43.2.1 三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解如果將波函數(shù)u用空間球坐標(biāo)(r,q,)表示, 所謂球?qū)ΨQ就是指u與q,都無(wú)關(guān). 在球坐標(biāo)系中, 波動(dòng)方程(3.22)為2222222222111sinsi

2、nsin1uuurrrrrruatqqqqq當(dāng)u不依賴于q,時(shí), 這個(gè)方程可簡(jiǎn)化為2222211uurrratr5所以最后得到方程2222222222.()2uururrratuururrrr22222()1()rururat這是關(guān)于ru的一維波動(dòng)方程, 其通解為ru=f1(r+at)+f2(rat).或12()()( , )f ratfratu r tr或但6這就是三維波動(dòng)方程的關(guān)于原點(diǎn)為球?qū)ΨQ的解, 其中f1,f2是兩個(gè)任意二次連續(xù)可微的函數(shù), 這兩個(gè)函數(shù)可以用指定的初始條件來(lái)確定.12()()( , )f ratfratu r tr73.2.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式三維波動(dòng)方程的泊松公

3、式考慮一般的情況, 即(3.22),(3.23),(3.24)的解. 由于在球?qū)ΨQ時(shí)波函數(shù)u只是r與t的函數(shù), 在非球?qū)ΨQ時(shí)u不能寫(xiě)成r與t的函數(shù), 而是x,y,z,t的函數(shù), 所以對(duì)非球?qū)ΨQ情況, ru不可能滿足一維波動(dòng)方程. 但是, 如果我們不去考慮波函數(shù)u本身, 而是考慮u在以M(x,y,z)為球心, 以r為半徑的球面上的平均值, 則這個(gè)平均值當(dāng)x,y,z暫時(shí)固定這后就只與r,t有關(guān)了.8222111111111111( , )( , , , )d41(, )d41(, )d,(3.25)4MroSxyzSu r tutSru xrx yry zrz tu xrx yry zrz t 9

4、10112222222222( , , )( , , )d( , , )( , , )d( , , )( , , )( , , )MMrrMrVVVu x y z tu x y z tVatxu x y z tu x y z tVyzu x y z tu x y z tayxyxu x y z tzz dV12112221112211122( , , )d(, )d(, )d( , )4,(3.26)MrooSSSu x y z taSnu xrx yry zrz tarna ru xrx yry zrz tru r ta rr 其中n是的外法向矢量。MrS13對(duì)(3.26)式的左端也有222

5、22222220002( , , )d( , , )d( , , )dd(sincos ,sin sin ,cos , )sindd dMMrrMrVVVru x y z tVu x y z tVttu x y z ttu xytztqqqq q 代回(3.26)中得14在此式兩端對(duì)r微分一次, 得1221112022d(, )( , )4orSu xx yyzz tdtu r ta rr122111222(, )d( , )4oSu xrx yry zrz t rtu r tarrr15或22222( , )( , )u r tau r trtrrr222211( , )( , )ru r

6、tu r trrrrrr但22222( , )( , )ru r tru r tatr故得16下面要從(3.27),(3.23),(3.24)確定原柯西問(wèn)題的解u(M,t). 由(3.27)得到120120( )( )( , )|( )( )( , )ttf rfrru r taf rafrru r tt0010( , )|( ),( ),( , )ttru r trrrrru r tt但17由此可解得120121( )( )( ),(3.28)( )( )( ).(3.29)f rfrrrrf rfrra1010201011( )( )( )d211( )( )( )d2rrf rrrCaf

7、rrrCa 代回到(3.27)得18001()()()()( , )21( )d(3.30)2r atr atratratratratu r trar 001()()()()( , )21( )d2r atr atatratratratru r trar 19令r0, 并利用洛必達(dá)(LHospital)法則得到00120002212002(0, )()()()(sincos ,sin sin ,cos )1() sindd(sincos ,sin sin ,cos )4()() sinddutatatattatxatyatzata tatattxatyatzatatatqqqq qqqqq q

8、 20或簡(jiǎn)記成0111(, )dd(3.31)44MMatatSSu M tSSa tataat(3.31)式稱為三維波動(dòng)方程的泊松公式三維波動(dòng)方程的泊松公式. 不難驗(yàn)證, 當(dāng)0(x,y,z)是三次連續(xù)可微的函數(shù), 1(x,y,z)是二次連續(xù)可微的函數(shù)時(shí), 由(3.31)所確定的函數(shù)確實(shí)是原定解問(wèn)題的解.下面舉一個(gè)例子說(shuō)明泊松公式(3.31)的用法.21例例 設(shè)已知0(x,y,z)=x+y+z, 1(x,y,z)=0, 求方程(3.22)相應(yīng)的柯西問(wèn)題的解.解解 將給定的初始條件0(x,y,z)與1(x,y,z)代入(3.31), 得到所要求的解為222001( , , , )4u x y z

9、 tat 2(sin cossin sincos )() sinxyzatatd datqqqq q20022 220022 2001()dsind4(sincos )dsinddsincos dat xyza ta ta txyzq qq qqq q233.2.3 泊松公式的物理意義泊松公式的物理意義0111(, )dd(3.31)44MMatatSSu M tSSa tataat242526MDdT027由于在點(diǎn)(,)的初始擾動(dòng)是向各方向傳播的, 在時(shí)間t它的影響是在以(,)為中心, at為半徑的一個(gè)球面上, 因此解(3.31)稱為球面球面波波.0111(, )dd(3.31)44MMat

10、atSSu M tSSa tataat2822222220010,0(3.32)|( , ),( , ),ttuuuax yttxyux yx yux yt 2930把右端的積分化為二重積分可得11111dd42MatSSssaataat112 22212 2221d41( , )d d2()()1( , )d d2()()MatMatMatSCCsaatataata txyaa txy 31同理有002 2221d4( , )1d d2()()MatMatSCsaataa txy 32將上兩個(gè)等式代入(3.31), 即得問(wèn)題(3.32)的解為02 22212 222( , , )( , )1d d()()2( , )d d(3.34)()()MatMatCCu x y tta txyaa txy 3334這種現(xiàn)象稱為有后效有后效, 即在二維情形, 局部范圍內(nèi)的初始擾動(dòng), 具有長(zhǎng)期的連續(xù)的