(完整版)初二平行四邊形的性質(zhì)和判定知識點整理

1、初二平行四邊形的性質(zhì)和判定專題基礎(chǔ)知皿盤 一星#”把空F"已m 7? I iiw 舊罰 jr f: i ir5”1.平行四邊形的定義(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的定義有兩層意思：是四邊形；兩組對邊分別平行.這兩個條件缺一 不可.(2)表示方法：平行四邊形用符號“ 口”表示.平行四邊形ABCD記作UABCD”，讀作“平行四邊形ABCD” .(3)平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線.正平行四邊形的定義的作用：平行四邊形的定義既是性質(zhì)，又是判定方法.由定義可知平行四邊形的兩組對邊分別平行；由定義可知只要四邊形中有兩組對邊分別平行，那么這個四邊形就是平行四

2、邊形.【例1】對于平行四邊形 ABCD, AC與BD相交于點O,下列說法正確的是().A.平行四邊形 ABCD表示為“ICACDB”B.平行四邊形 ABCD表示為“ ABCD”C. AD / BC, AB/ CDD.對角線為AC, BO解析：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知平行四邊形的兩組對邊平行， 故選C.答案：C2.平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的對邊平行且相等.例如：如圖所示，在 D ABCD中，AB=CD, ADBC.規(guī)律由上述性質(zhì)可得，夾在兩條平行線間的平行線段相等.如圖2,直線I1/I2.AB, CD是夾在直線11, 12間的平行線段，則四邊形 ABCD是平行四邊形，故AB二

3、 CD._(2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補.例如：如圖所示，在 二 ABCD中，/ ABC = ZCDA , /BAD = / BCD./ABC + / BAD = 180° , / ABC + Z BCD = 180° , Z BCD + ZCDA = 180°, Z BAD + Z CDA= 180°.(3)平行四邊形的對角線互相平分.例如：如圖所示，在UaBCD中，OA=OC, OB= OD.ADBC .圖一A E八/Wg F cF l圖(4)經(jīng)過平行四邊形對角線的交點的直線被對馴得的兩條線段相等，并且該直線平分 平行四邊形的面積.例如：如圖所

4、示，在 二ABCD中，EF經(jīng)過對角線的交點 O,與AD 和BC分別交于點 E, F,則OE = OF,且S四邊形ABFE = S四邊形EFCD.【例2】 匚ABCD的周長為30 cm,它的對角線 AC和BD交于O,且 AOB的周長比 BOC的周長大5 cm,求AB, AD的長.oAB分析：依題意畫出圖形，如圖， 4AOB的周長比BOC的周長大5 cm,即AO + AB +BO-(BO + OC+ BC) = 5(cm).因為OA = OC, OB為公共邊，所以 AB-BC=5(cm).，一 30由 AB+BC=萬=15(cm)可求 AB, BC,再由平行四邊形的對邊相等得AD的長.解：AOB的

5、周長比BOC的周長大5 cm, . AO+ AB + BO (BO + OC+ BC)= 5(cm). 四邊形ABCD是平行四邊形，AO=OC, .-.AB-BC=5(cm). QaBCD 的周長為 30 cm, . AB+ BC= 15(cm).AB-BC= 5,AB=10,一得AB+BC=15,BC=5.AB= 10 cm, AD = BC= 5 cm.3 .平行四邊形的判定(1)方法一：(定義判定法)兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的定義是判定平行四邊形的根本方法，也是其他判定方法的基礎(chǔ).關(guān)于 邊、角、對角線方面還有以下判定定理.(2)方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是

6、平行四邊形.如圖，連接 BD ,由 AD = BC, AB = CD ,可證明 ABDACDB ,所以/ CDB = /ABD, /CBD = /ADB,從而得到 AB / CD , AD/BC.由定義得到四邊形 ABCD為平行四 邊形.A-其推理形式為： . AB=DC, AD = BC, 四邊形ABCD是平行四邊形.(3)方法三：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.如圖，由/ A=/C, /B=/D, / A+/B+/C+/D=360 可得/ Br+/C=180° , /A+/B=180° .從而得到 AB / DC , AD / BC.由定義得到四邊形 ABCD為平

7、行四邊形，其推理形式為： . / A=Z C, / B=Z D, 四邊形ABCD是平行四邊形.(4)方法四：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.其推理形式為：如圖，: OA=OC, OB=OD ,O /AB 四邊形ABCD是平行四邊形.(5)方法五：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.其推理形式為：DAB如圖， AD / BC, AD = BC, 四邊形ABCD是平行四邊形./克(1)判定方法可作為 “畫平行四邊形”的依據(jù)；(2)一組對邊平行，另一組對邊 相等的四邊形不一定是平行四邊形.【例3】已知，如圖，在四邊形 ABCD中，AC與BD相交于點 O, AB / CD , AO=CO. 四

8、邊形ABCD是平行四邊形，請說明理由.J'JPoB匕C解：因為 AB / CD,所以 / BAC= / DCA.又因為 AO = CO, /AOB=/COD,所以ABOA CDO.所以 BO= DO.所以四邊形ABCD是平行四邊形.4 .三角形的中位線(1)定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.(2)性質(zhì)：三角形兩邊中點連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.福區(qū)(1)一個三角形有三條中位線，每條中位線與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；(2)三角形的中位線不同于三角形的中線，三角形的中位線是連接兩邊中點的線 段，而三角形的中線是連接三角形一邊的中點和這邊所對頂點的線段.

9、【例4】如圖所示，在 ABC中，點D, E, F分別是AB, BC, CA的中點，若 ABC 的周長為10 cm,則 DEF的周長是 cm.A,解析：由三角形的.中位線性質(zhì)得，一 111 -DF = 2BC, EF = ?AB, DE=?AC, , 一 1 一、所以 4DEF 的周長=2X 10=5(cm).答案：55 .兩條平行線間的距離定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一直線的距離，叫做這兩條平行線間 的距離.如圖所示，all b,點A在直線總上，過A點作AC±b,垂足為C,則線段AC的長是點 A到直線b的距離，也是兩條平行線 a, b之間的距離.視/(1)如圖，過直線

10、a上點B作BD±b,垂足為D,則線段BD的長也是兩條平 行線a, b之間的距離.于是由平行四邊形的性質(zhì)可知平行線的又一個性質(zhì)：平行線間的距 離處處相等.(2)兩條平行線之間的距離是指垂線段的長度，當(dāng)兩條平行線的位置確定時，它們之間 的距離也隨之確定，它不隨垂線段的位置的改變而改變，是一個定值.【例5】如圖所示，如果11 /心，那么 ABC的面積與 DBC的面積相等嗎？由此你還 能得出哪些結(jié)論？i解： ABC的面積與DBC的面積相等.因為11/12,所以它們之間的距離是一個定值.所以ABC與 DBC是同底等高的兩個三角形.所以Saabc = Sadbc.結(jié)論：li上任意一點與B, C連

11、接，構(gòu)成三角形的面積都等于4ABC的面積，這樣的三角形有無數(shù)個.基本方法基本能力二.fj J： ； 二. . . I . ri, . f . .1 . < . . . . , ."6 .平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用非常廣泛，可以利用它說明線段相等、證明線段平行、求角的 度數(shù)、求線段的長度、求圖形的周長、求圖形的面積等.對平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、含30。角的直角三角形、三角形的面積、三角形的內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握，是解決此類問題的關(guān)鍵.【例6】如圖，UABCD的對角線相交于點 O,過O作直線EF,并與線段AB, CD的 反向延長線交于 E,

12、F, OE與OF是否相等，闡述你的理由.D°門0 E A B解：OE與OF相等.理由：四邊形ABCD是平行四邊形，BE/ DF , OB = OD, ./ FDO= / EBO, / E= / F. . BOEA DOF.OE=OF.7 .平行四-邊形的判定的應(yīng)用熟練掌握判定定理是平行四邊形的判定的關(guān)鍵.已學(xué)了平行四邊形的五種判定方法，記憶時要注意技巧，其中三種方法都與邊有關(guān)：（1） 一種關(guān)于對邊的位置關(guān)系 （兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）；（2）一種關(guān)于對邊的數(shù)量關(guān)系（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）；（3）一種關(guān)于對邊的數(shù)量與位置關(guān)系（一組對邊平行且相等的四邊形是平

13、行四邊形）.平行四邊形的判定方法是今后解決平行四邊形問題的基礎(chǔ)知識，應(yīng)該熟練掌握.判定平行四邊形的一般思路：考慮對邊關(guān)系：證明兩組對邊分別平行；或兩組對邊分別相等；或一組對邊平行且相等；考慮對角關(guān)系：證明兩組對角分別相等；考慮對角線關(guān)系：證明兩條對角線互相平分.【例7】如圖，請在下列四個關(guān)系中，選出兩個恰當(dāng).的關(guān)系作為條件，推出四邊形ABCD是平行四邊形，并予以證明.（寫出一種即可）PC,關(guān)系： AD / BC, AB = CD, / A=/ C,/ B+Z C=180°. 已知：在四邊形 ABCD中，, ;求證：四邊形 ABCD是平行四邊形.分析：選用關(guān)系時，證明兩組對邊分別平行的

14、四邊形是平行四邊形;選用關(guān)系時，證明兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；選用關(guān)系時，證明一組對邊平行并且相等的四邊形是平行四邊形； 選用關(guān)系時，證明兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.解：已知：，均可，其余均不可以.舉例如下: 已知：在四邊形 ABCD中，AD/BC,/A=/C, 求證：四邊形 ABCD是平行四邊形.證明：. AD/BC, . A+ /B= 180 ：. / A= /C, .C+ /B=180°.AB II CD./.四邊形ABCD是平行四邊形.8 .平行四邊形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用,平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用主要有以下幾種情況：(1)直接運用平行四邊形的性質(zhì)解

15、決某些問題，如求角的度數(shù)、線段的長、證明角相等 或互補、證明線段相等或倍分關(guān)系；(2)判定一個四邊形為平行四邊形，從而得到兩角相等、兩直線平行等；(3)綜合運用：先判定一個四邊形是平行四邊形，然后再用平行四邊形的性質(zhì)去解決某 些問題；或先運用平行四邊形的性質(zhì)得到線段平行、角相等等，再判定一個四邊形是平行四邊形.例8如圖所示，在 UABCD中，E, F分別是AD, BC上的點，且 AE=CF, AF 與BE交于G, DF與CE交于H,連接EF, GH ,試問EF與GH是否互相平分？為什么？A ED/ /GH 匕A/BF C解：EF與GH互相平分.理由：在匚ABCD中，. AD三BC, AE=CF

16、,，AE 衛(wèi) CF.DE 二BF. ,.四邊形AFCE, BEDF者B是平行四邊形.(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)AF / CE, BE/ DF.四邊形EGFH是平行四邊形.(平行四邊形的定義) EF與GH互相平分.9.三角形的中位線性質(zhì)的應(yīng)用三角形的中位線的性質(zhì)不僅反映了線段間的位置關(guān)系，而且還揭示了線段間的數(shù)量關(guān)系，借助三角形中位線的性質(zhì)可以進行幾何求值(計算角度、求線段的長度 卜證明(證明線段相等、證明線段的不等、證明線段的倍分關(guān)系、證明兩角相等卜作圖，且能解決生活實際問題.技巧應(yīng)用三角形中位線定理解決問題時，已知條件中往往給出兩個中點，若已知條件只給出一個中點，必須要證明另

17、一個點也是中點，才能運用此定理.【例9】在4ABC中，AB=12, AC=10, BC=9, AD是BC邊上的高.將 ABC按如 圖所示的方式折疊，使點 A與點D重合，折痕為EF,則 DEF的周長為().AA/卜一失冊B D C BA. 9.5 B, 10.5 C. 11 D. 15.5解析：EDF是AEAF折疊而形成的圖形， EDFA EAF .，/ AEF = / DEF .AD是BC邊上的高，由折疊可知 AD ± EF ,EF / CB./.Z AEF= Z B, / BDE = / DEF .B= / BDE.1. BE=DE = AE.E為AB的中點.同理點 F是AC的中點

18、.EF是4ABC的中位線.DEF的周長為 4EAF的周長，1 1即 AE+ EF + AF = 2><(AB+BC + AC) = 2X(12+9+10)=15.5.答案：D.itj rjzir.t ixrri 門川 Kt:比?、ttwctont:10 .平行四邊形的性質(zhì)探究題平行四邊形是一類特殊的四邊形，它的特殊性體現(xiàn)在對邊相等、對角相等、鄰角互 補、對角線互相平分幾方面，因此，由平行四邊形可以得到很多相等線段、相等角.所 以，要學(xué)會利用對比的方法正確區(qū)分平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，正確地運用相關(guān) 的結(jié)論解決相關(guān)的問題.©技珞平行四邊形的探究型問題，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定，構(gòu)造出平行四邊形.【例10如圖，已知等邊 ABC的邊長為a, P是4ABC內(nèi)一點，PD / AB, PE/BC, PF/AC,點D