【2019年整理】年第十七屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽筆試試題及詳細(xì)解答高年級

1、第十七屆華羅慶金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽 決賽筆試試題 A （小學(xué)高年級組）（時(shí)間:2012年 4 月 21 日 10:0011:30）一、填空題（每小題10分，共80分）1 . 算式 1010.5+ 5.2父14.6 （9.2父5.2+5.4父3.74.6m1.5）1 的值為.2 .箱子里已有若干個(gè)紅球和黑球，放入一些黑球后，紅球占全部球數(shù)的四分之 一；再放入一些紅球后，紅球的數(shù)量是黑球的三分之二.若放入的黑球和紅球 數(shù)量相同，則原來箱子里的紅球與黑球數(shù)量之比為 一.3 .有兩個(gè)體積之比為5:8的圓柱，它們的側(cè)面的展開圖為相同的長方形，如果把該長方形的長和寬同時(shí)增加6,其面積增加了 114.那么這個(gè)

2、長方形的面積4 .甲、乙兩個(gè)糧庫原來各存有整袋的糧食，如果從甲糧庫調(diào)90袋到乙糧庫，則乙糧庫存糧的袋數(shù)是甲糧庫的 2倍.如果從乙糧庫調(diào)若干袋到甲糧庫，則甲糧庫存糧的袋數(shù)是乙糧庫的6倍.那么甲糧庫原來最少存有袋的糧食.5 .現(xiàn)有211名同學(xué)和四種不同的巧克力,每種巧克力的數(shù)量都超過633顆.規(guī)定 每名同學(xué)最多拿三顆巧克力，也可以不拿.若按照所拿巧克力的種類和數(shù)量都 是否相同分組，則人數(shù)最多的一組至少有 一名同學(xué).6 .張兵1953年出生，在今年之前的某一年,他的年齡是9的倍數(shù)并且是這一年的各位數(shù)字之和，那么這一年他一歲.7 .右圖是一個(gè)五棱柱的平面展開圖，圖中的正方形邊長 都為2.按圖所示數(shù)據(jù)，

3、這個(gè)五棱柱的體積等于 .8 .在乘法算式草綠黑花紅了 =春光明媚中，漢字代表非零數(shù)字,不同漢字代表不同的數(shù)字,那么春光明媚所代表的 四位數(shù)最小是.、解答下列各題（每題10分,共40分，要求寫出簡要過程）9 .如右圖,ABCD是平行四邊形,E為AB延長 線上一點(diǎn),K為AD延長線上一點(diǎn).連接BK, DE相交于一點(diǎn)O.問：四邊形ABOD與四 邊形ECKO的面積是否相等？請說明理由.10 .能否用500個(gè)右圖所示的1父2的小長方形拼成一個(gè)5M200的 大長萬形,使得5 M 200的長萬形的每一行、每一列都有偶數(shù)I-個(gè)星？請說明理由.11 .將一個(gè)2n位數(shù)的前n位數(shù)和后n位數(shù)各當(dāng)成一個(gè)n位數(shù)，如果這兩個(gè)

4、n位數(shù) 之和的平方正好等于這個(gè)2n位數(shù)，則稱這個(gè)2n位數(shù)為卡布列克（Kabulek）怪 數(shù)，例如，（30+25）2 =3025,所以3025是一個(gè)卡布列克怪?jǐn)?shù).請問在四位數(shù) 中有哪些卡布列克怪?jǐn)?shù)？12 .已知98個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)Pi,P2,，P98,記N =pi2+p2+p28，問：N被3除的余數(shù)是多少?三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13 .小李和小張?jiān)谝粋€(gè)圓形跑道上勻速跑步，兩人同時(shí)同地出發(fā)，小李順時(shí)針跑， 每72秒跑一圈；小張逆時(shí)針跑，每80秒跑一圈.在跑道上劃定以起點(diǎn)為中 心的1圓弧區(qū)間，那么兩人同時(shí)在劃定的區(qū)間內(nèi)所持續(xù)的時(shí)間為多少秒 ？414 .把一個(gè)棱長

5、均為整數(shù)的長方體的表面都涂上紅色，然后切割成棱長為1的 小立方塊，其中，兩面有紅色的小立方塊有40塊，一面有紅色的小立方塊有 66 塊，那么這個(gè)長方體的體積是多少？第十七屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽筆試試題A參考答案（小學(xué)高年級組）一、填空（每題10分，共80分）題號12345678答案9.31:24015371874396二、解答下列各題（每題10分,共40分，要求寫出簡要過程）9 .答案：是.解答.連接AC.則SECKB = S CEB ' S BCK二 S CEB ' S. BCA所以SECKB=S.Ace = S.EadS.Obe = S.Ead - S.Obe .因

6、此 Secko - SABOD .即四邊形ABOD的面積二四邊形ECKO的面積.10 .答案：能 解答.首先構(gòu)造5父4的長方形如下然后用50個(gè)5父4的即可拼成5 M 200的長方形.11 .答案:2025, 3025, 9801.解答.設(shè)一個(gè)四位卡布列克怪?jǐn)?shù)為100x + y ,其中10 W x W 99, 0E y E 99.則由題意知100x + y =(x + y)2,兩邊模 99得x y = (x y)2 (mod99),因此99 |(x+y)(x+ y 1),故x + y與x + y-1中有一個(gè)能被9整除，也有一個(gè)能被11整除 (可能是同一個(gè)數(shù))，且有102 W(x + y)2 =1

7、00x + y <1002 ,即10Mx+y<100. (*)若x + y能被99整除，由(*)知x + y只能是99,滿足條件的四位數(shù)是 9801;若x + y 1 能被99整除，由(*),顯然沒有滿足條件的四位數(shù)；此外，可設(shè) x + y=9m, x + y1 = 11n,則有9m-11n=1,由(*) , m和n均為小于12的正整數(shù)，故得到 m = 5, n=4, x+y 只能是45,滿足條件的四位數(shù)是 2025;反之，可設(shè) x+y 1 = 9m, x + y = 11n,滿足條 件的四位數(shù)是3025.故四位數(shù)中有三個(gè)卡布列克怪?jǐn)?shù)，它們分別為2025, 3025和9801.12

8、 .答案：1或2解答.對于質(zhì)數(shù)3, 32被3整除.其余的質(zhì)數(shù)，要么是3k +1型的數(shù)，要么是3k +2型的數(shù).由于(3k 1)2 -9k 6k 1 -3(3k2 2k) 1,被3除余1,且_2_2_2(3k 2) =9k2 12k 4 =3(3k2 4k 1) 1,被3除也余1.因此有(1)若這98個(gè)質(zhì)數(shù)包含3時(shí)，N被3除的余數(shù)等于97被3除的余數(shù),等于1.(2)若這98個(gè)質(zhì)數(shù)不包含3時(shí)，N被3除的余數(shù)等于98被3除的余數(shù)，等于2.三、解答下列各題(每題15分,共30分，要求寫出詳細(xì)過程)13 .答案：3,9,11,18解答.設(shè)起跑時(shí)間為0秒時(shí)刻，則小李和小張?jiān)趧澏▍^(qū)間跑的時(shí)間段分別為0,9,

9、 72k -9,72k 9, k =1,2,3,和0,10, 80m -10,80m 10, m -1,2,3,.其中a, b表示第a秒時(shí)刻至第b秒時(shí)刻.顯然0,9即前9秒里兩類時(shí)間段的公共部分 . 此外，考慮72k9,72k+9和80m10,80m+10的公共區(qū)間，k,m為正整數(shù)，分兩種 情況：1) 72k =80m,即小李和小張分別跑了 k圈和m圈同時(shí)回到起點(diǎn)，他們二人同時(shí)在劃 定區(qū)域跑了 18秒.2) 72k 880m,例如72/t-972 4+9 80-fw -10SOm+IO72k -9 M80m-10 W72k+9 W80m+10 u 1 <80m-72k <19 .兩

10、人同時(shí)在劃 定區(qū)域 內(nèi)跑了 72k +9 (80m10) = 19 (80m72k).由 知80m -72k =8, 16.于是兩人同時(shí)在劃定區(qū)域內(nèi)跑持續(xù)時(shí)間為11秒或3秒.其它情況類似可得同樣結(jié)果.綜上，答案為3,9,11,18.14.答案：150解答.設(shè)立方體的長,寬,高分別為z, y, x,其中x<y<z,且為整數(shù).注意,兩面有紅色的小立方塊只能在長方體的棱上出現(xiàn).如果x =1, y =1,則沒有兩面為紅色的立方塊,不符合題意.如果x =1,y > 1,則沒有只有一面為紅色的立方塊，不符合題意.因此x 2 2.此時(shí)兩面出現(xiàn)紅色的方塊只能與長方體的棱共棱.一面出現(xiàn)紅色的方

11、塊只與立方體的面共面.有下面的式子成立4M(x-2) +(y -2)+(z-2) =40,(1)2x(x-2)(y -2) +(x-2)(z-2)+(y-2)(z-2)=66.(2)由(1)得到x +y +z =16,(3)由(2)得到xy + xz + yz = 85.(4)由(3)和(4)可得，x2 +y2 +z2 =86,這樣 1 Ex, y,z £9.由(4)得到2(x + y)(x + z) =85 + x .(5)若x=2,則由(5)得到(2 +y)(2 +z)=85 +4=89 = 1x89, y,z的取值不能滿足 (3).若x=3,則由(5)得到(3 + y)(3 + z) =85+9 = 94 = 2x47, y,z的取值不能滿足 (3).若x =4,則由(5)得到(4 +y)(4 +z)