圓的方程知識點(diǎn)總結(jié)和典型例題

1、圓的方程知識點(diǎn)總結(jié)和經(jīng)典例題1. 圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(x a)1 2 3+ (y b)2= r2(r o)圓心：(a，b)，半徑：r一般x2+ y2+ Dx + Ey+ F = o(D2+ E2圓心：DE，-2，方程4F 0)1半徑：刃 D2+ E2 4F注意點(diǎn)(1)求圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個(gè)獨(dú)立方程.對于方程 x2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0 表示圓時(shí)易忽視 D2+ E2 4F 0 這一條件.2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn) M(xo, yo)與圓(x a)2+ (y b)2= r2的位置關(guān)系：

2、(1) 若 M(xo, yo)在圓外，貝 U (xo a)2+ (yo b)2r2(2) 若 M(xo, yo)在圓上，貝 U (xo a)2+ (yo b)2二 r2(3) 若 M(xo, yo)在圓內(nèi)，貝 U (xo a)2+ (yo b)2三 r23. 直線與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法設(shè)直線 I : Ax+ By+ C = o(A2+ B2工 o), 圓：(x a)2+ (y b)2= r2(ro),d 為圓心(a, b)到直線 I 的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的 判別式為.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d0相切d 三 r上 0相離drA0),

3、圓 02：(Xa2)2+ (y b2)2= r2(r20).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距 d 與 r1, r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成 方程組的解的情況外離d1+r2無解外切d=r1+r2一組實(shí)數(shù)解相交r1r2dr1+r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d=r1r2(r1豐一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0wd 1,所以點(diǎn) A 在圓外.(1)若所求切線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k,則切線方程為 y+ 3= k(x 4).因?yàn)閳A心 C(3,1)到切線的距離等于半徑，半徑為 1,所以3k+34k= 1,即 k+4=肝,15 所以 k2+ 8k+ 16 = k2+ 1,解得 k= g.15所以切線方程為 y+ 3= j(x 4

4、), 即卩 15x+ 8y 36= 0.(2)若直線斜率不存在，圓心 C(3,1)到直線 x= 4 的距離也為 1, 這時(shí)直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x=4.綜上，所求切線方程為 15x+ 8y 36= 0 或 x = 4.求直線 1: 3x+ y 6 = 0 被圓 C: x2+ y2 2y4= 0 截得的弦長.【解析】圓 C: x2+ y2 2y 4= 0 可化為 x2+ (y 1)2= 5, 其圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑 r = 5.- 亠3X0+16F0點(diǎn)(0,1)到直線 l 的距離為 d=寸 32+1 = 2 ，I = 2 . r2 d2= .10,所以截得的弦長為.10.直線

5、 x+ 2y 5+ 5 = 0 被圓 x2+ y2 2x 4y= 0 截得的弦長為()5.6.【解析】圓的方程可化為 C: （x 1）2+ （y 2）2= 5,其圓心為 C（1,2）,半徑 r=5.如圖所示，取弦 AB 的中點(diǎn) P,連接 CP,則 CP 丄 AB,圓心 C 到直線 AB 的距離 d= CP =丄土4*5= 1.在 RtAACP 中，AP =Jr2 d2= 2,故直線 2+ 22V被圓截得的弦長 AB = 4.兩圓x+ y2= 9 和 x2+ y2 8x+ 6y+ 9= 0 的位置關(guān)系是（）A .外離B .相交C.內(nèi)切D .外切【解析】兩圓 x2+ y2= 9 和 x2+ y2

6、8x+ 6y+ 9= 0 的圓心分別為（0,0）和（4,3）,半徑分別為 3 和 4 所以兩圓的圓心距 d=“ J42+ 32= 5.又 4 353 + 4,故兩圓相交.圓 O1: x2+ y2 2x= 0 和圓 O2: x2+ y2 4y=0 的位置關(guān)系為（ ）A 外離C.外切【解析】圓 01的圓心坐標(biāo)為（1,0）,半徑長 ri= 1;圓 02的圓心坐標(biāo)為（0,2）,半徑長2= 2; 1 = r2 rivO1O2= 5 r1+2= 3,即兩圓相交.求兩圓 x2+ y2 2x+ 10y24 = 0 和 x2+ y2+ 2x+ 2y 8 = 0 的公共弦所在直線 的方程及公共弦長.x2+ y2

7、2x + 10y 24 = 0,1解析,聯(lián)立兩圓的方程得方程組x2+y2+ 2x+2y-8 = 0,兩式相減得x 2y+ 4 = 0,此為兩圓公共弦所在直線的方程.法一：設(shè)兩圓相交于點(diǎn) A，B ,x 2y+ 4= 0,x= 4,22解得x2+ y2+ 2x+ 2y 8 = 0,y= 0所以 AB =一 4 02+ 0 22= 2 5，即公共弦長為 2 5.法二：由 x2+ y2 2x+ 10y 24= 0,得(x 1)2+ (y+ 5)2= 50,其圓心坐標(biāo)為 (1 , 5)，半徑長 r = 52，圓心到直線 x 2y + 4 = 0 的距離為d12X一 5+4-7.8.9.B 相交D .內(nèi)切

8、A , B 兩點(diǎn)滿足方程組x=0,y=2.=3質(zhì).設(shè)公共弦長為 21，由勾股定理得 r2= d2+12,即 50=J+ 22(3 5)2+12,解得 l = .5,故公共弦長 21 = 2 5.10. 求圓 C 仁 x2+y= 1與圓 C2: x2+ y2 2x2y+ 1= 0 的公共弦所在直線被圓25C3： (x 1)2+ (y 1)2= 4 所截得的弦長.作差精彩點(diǎn)撥】I 聯(lián)立圓 Cl、C2 的方程 I - I 得公共弦所在的直線 I圓心 C3到公共弦的距離 d 圓的半徑 r【解析】設(shè)兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(xi, yi), B(X2, y2),則 A, B 的坐標(biāo)是方程組x + y2=

9、 1,2o, c 的解，兩式相減得 x+ y 1 = 0.x2+ y2 2x 2y+ 1 = 0因?yàn)?A, B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足| x+ y 1 = 0,所以 AB 所在直線方程為 x + y 1=0,即 C1, C2的公共弦所在直線方程為 x+ y 1= 0,105 1圓 C3的圓心為(1,1),其到直線 AB 的距離 d=2,由條件知 r2 d2=寸5= ，所以直線AB 被圓 C3截得弦長為 2X尋 23.11.已知圓 C 與圓(x 1)2+ y= 1 關(guān)于直線 y= x 對稱，則圓 C 的方程為()A. (x+ 1)2+ y2= 1B. x2+ y2= 1C. x2+ (y+ 1)2= 1

10、D . x2+ (y 1)2= 1【解析】由已知圓(x 1)2+ y= 1 得圓心 C1(1,0),半徑長 r1= 1.設(shè)圓心 C1(1,0關(guān)于直線 y= x 對稱的點(diǎn)為(a, b),12._ 當(dāng)動點(diǎn) P 在圓 x2+ y2= 2 上運(yùn)動時(shí)，它與定點(diǎn) A(3,1)連線中點(diǎn) Q 的軌ba11=1a+ 1 = b2= 2,a = 0,解得&= 1.所以圓C的方程為x2+(y+1)2=1.跡方程 為_ .【解析】 設(shè) Q(x, y), P(a, b),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得a+ 3x=2，a=2x-3,所以b+ 1b= 2y- 1.y= 丁，點(diǎn) P(2x-3,2y 1)滿足圓 x2+y2= 2的方程，所以

11、(2x 3)2+ (2y 1)2= 2,311化簡得 x 32+ y 22=扌，即為點(diǎn) Q 的軌跡方程.13.(1 )ABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 A (5, 1), B ( 7,- 3), C (2,- 8), 求它的外接圓的方程；(2)ABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 A (0, 0), B (5, 0), C (0, 12)，求它 的內(nèi)切圓的方程.【解答】解：(1)設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+ (y - b)2=r2，因?yàn)?A (5, 1), B (7，- 3), C (2, - 8)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程，(5 - a)_b )2=r2于是_a)24-( - 3 - b)2，可解得

12、a=2 , b= - 3, r=25 ,/2- a)2f(-S-b)2=r2所以ABC 的外接圓的方程是(x-2)2+ (y+3)2=25 .(2)vzABC 三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A (0, 0), B (5, 0), C (0, 12),AB 丄 AC, AB=5 , AC=12 , BC=13 ,5+12 - 13BC 內(nèi)切圓的半徑 r= 一： =2，圓心(2, 2),BC 內(nèi)切圓的方程為(x- 2)2+ (y - 2)2=4 .14. 已知圓 C: x2+ (y+1)2=5,直線 I: mx - y+仁 0 (m R)(1 )判斷直線 l 與圓 C 的位置關(guān)系；(2)設(shè)直線 l 與圓 C 交于 A、B 兩點(diǎn)，若直線 l 的傾斜角為 120 求弦 AB的長.【解答】解：(1 )由于直線 I 的方程是 mx - y+1=0，即 y -仁 mx ,經(jīng)過定點(diǎn) H (0 , 1),而點(diǎn) H 到圓心 C(0，- 1)的距離為 2,小于半徑一乙 故點(diǎn) H 在圓的內(nèi)部,故直線 I 與圓 C 相交，故直線和圓恒有兩個(gè)交點(diǎn).(2)直線 I 的傾斜角為 120 直線 I: _巫x-y+1=0 , 圓心到直線的距離 d= 亠=1 ,二| AB| =2 上=4.15. 過點(diǎn)(1, 2)的直線 I 被圓 x2+ y2-2x 2y+ 1= 0 截得的弦長為，2,求直 線