齊奧爾科夫斯基公式

1、星際旅行一 . 從凡爾納“超級(jí)大炮 ”談起火箭理論的先驅(qū)者、俄國(guó)科學(xué)家齊奧爾科夫斯基(K. E. Tsiolkovsky 1857-1935)有一句名言：“地球是人類(lèi)的搖籃。但人類(lèi)不會(huì)永遠(yuǎn)躺在搖籃里，他們會(huì)不斷探索新的天體和空間。人類(lèi)首先將小心翼翼地穿過(guò)大氣層，然后再去征服太陽(yáng)周?chē)恼麄€(gè)空間”。邁向星空是一條漫長(zhǎng)的征途。迄今為止，人類(lèi)在這條征途上走過(guò)的路程幾乎恰好就是“征服太陽(yáng)周?chē)恼麄€(gè)空間 ”，而在這征途上的第一步也正是“穿過(guò)大氣層 ”。在人類(lèi)發(fā)射的航天器中數(shù)量最多的就是那些剛剛“穿過(guò)大氣層 ”的航天器- 人造地球衛(wèi)星。人類(lèi)迄今發(fā)射的人造地球衛(wèi)星有幾千顆，明年的十月四日就是第一顆衛(wèi)星(前蘇聯(lián)

2、拜克努爾發(fā)射場(chǎng)發(fā)射) 升空五十周年的紀(jì)念日。除人造地球衛(wèi)星外，人類(lèi)還發(fā)射過(guò)許多其它航天器。所有這些航天器，都是直接或間接通過(guò)火箭發(fā)射升空的。我們知道，為了克服地球的引力，航天器必須達(dá)到很高的速度。在二十世紀(jì)以前的各種技術(shù)中，槍炮子彈所達(dá)到的速度是最高的， 因此在早期的科幻小說(shuō)中， 人們很自然地想到用所謂的“超級(jí)大炮 ”來(lái)發(fā)射載人航天器。其中最著名的是法國(guó)科幻小說(shuō)家凡爾納(J. G. Verne 1828-1905)發(fā)表于一八六六年的小說(shuō)從地球到月球 (From the Earth to the Moon)。 在這部小說(shuō)中 ， 凡爾納讓三位宇航員擠在一枚與“神舟號(hào) ”飛船的軌道艙差不多大的特制的

3、“炮彈 ”中， 用一門(mén)炮管長(zhǎng)達(dá)九百英尺(約三百米 ) 的超級(jí)大炮發(fā)射到月球上去(不過(guò)“炮彈 ”沒(méi)能擊中月球，而成為了環(huán)繞月球運(yùn)行的衛(wèi)星)。但是凡爾納雖然有非凡的想象力，卻缺乏必要的物理學(xué)及生理學(xué)知識(shí)。簡(jiǎn)單的計(jì)算表明，他所設(shè)想的超級(jí)大炮若真的能在三百米長(zhǎng)的炮管內(nèi)把“炮彈 ”加速到能夠飛向月球的速度- 即所謂的第二宇宙速度 (約為11.2 公里 /秒 )， 則 “炮彈 ”在炮管內(nèi)的平均加速度必須達(dá)到200000米/秒 2 以上，這相當(dāng)于地球表面重力加速度的兩萬(wàn)倍以上。另一方面，脆弱的人體所能承受的最大加速度只有不到地球表面重力加速度的十倍。這兩者的差距無(wú)疑是災(zāi)難性的。因此凡爾納的“炮彈 ”雖然制作

4、精良，乘坐起來(lái)卻一點(diǎn)也不會(huì)舒適。不僅不會(huì)舒適，且有性命之虞。事實(shí)上，英勇的宇航員們?cè)凇芭趶?”出膛時(shí)早就變成了肉餅，“炮彈 ”最后有沒(méi)有擊中月球，對(duì)他們來(lái)說(shuō)已經(jīng)不再重要了。倘若“炮彈 ”真的擊中月球的話，其著陸方式屬于所謂的“硬著陸 ”， 就象隕石撞擊地球一樣，著陸時(shí)的速度差不多就是月球上的第二宇宙速度(約為2.4 公里 / 秒 )， 這樣的速度相當(dāng)于在地球上從比珠穆朗瑪峰還高三十倍的山峰上摔到地面時(shí)的速度，這無(wú)疑是要把肉餅進(jìn)一步摔成肉醬。因此， 對(duì)于發(fā)射航天器(尤其是載人航天器) 來(lái)說(shuō)，很重要的一點(diǎn)就是航天器的加速過(guò)程必須發(fā)生在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間里(減速過(guò)程也一樣)。但是加速過(guò)程持續(xù)的時(shí)間越長(zhǎng)，

5、在加速過(guò)程中航天器所飛越的距離也就越大。以凡爾納的超級(jí)大炮為例，倘若要求炮彈的加速度在人體肌體所能承受的安全范圍之內(nèi)(即小于地球表面重力加速度的十倍)， 則 “炮彈 ”的加速過(guò)程必須持續(xù)一百秒以上，在這段時(shí)間內(nèi)“炮彈 ”的飛行距離約在五百公里以上?！芭趶?”越舒適(即加速度越小 )， 這段距離就越大。由于“炮彈 ”本身沒(méi)有動(dòng)力，因此這段距離必須都在炮管內(nèi)。這就是說(shuō)，凡爾納超級(jí)大炮的炮管起碼要有500 公里長(zhǎng)！顯然， 建造這樣規(guī)模的大炮是極其困難的，別說(shuō)凡爾納時(shí)代的技術(shù)無(wú)法辦到，即使在今天也是申請(qǐng)不到經(jīng)費(fèi)的。因此航天器的發(fā)射必須采用與凡爾納大炮完全不同的技術(shù)手段?；鸺褪沁@樣的一種技術(shù)手段。二

6、. 齊奧爾科夫斯基公式1火箭是一種通過(guò)向后噴射物質(zhì)而前進(jìn)的飛行器。從物理學(xué)上講，這種飛行器所利用的是反沖原理，或者說(shuō)是動(dòng)量守恒定律。十九世紀(jì)末，齊奧爾科夫斯基對(duì)火箭的飛行動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究，并于一九零三年 - 萊特兄弟(The Wright Brothers)在同年發(fā)明了飛機(jī)- 公開(kāi)發(fā)表了我們現(xiàn)在稱(chēng)之為齊奧爾科夫斯基公式的著名公式(新近發(fā)現(xiàn)的一些史料表明，英國(guó)皇家軍事科學(xué)院的科學(xué)家早在一八一三年就出于軍事目的做過(guò)類(lèi)似研究，但他們的結(jié)果沒(méi)有公開(kāi)發(fā)表) 。 這一公式的形式非常簡(jiǎn)單：v = u ln(mi/mf)這里mi 與 mf 分別為火箭的初始質(zhì)量及推進(jìn)過(guò)程完成后的末態(tài)質(zhì)量( 顯然 mi>m

7、f) 。從齊奧爾科夫斯基公式中我們可以看到一個(gè)重要的特點(diǎn)， 那就是火箭所能達(dá)到的速度可以高于噴射物的噴射速度。 這一點(diǎn)之所以重要，是因?yàn)樗砻魑覀兛梢酝ㄟ^(guò)較低的噴射速度來(lái)達(dá)到航天器所需要的高速度，這在技術(shù)上要遠(yuǎn)比直接達(dá)到高速度來(lái)得容易。從某種意義上講，凡爾納的超級(jí)大炮之所以沒(méi)能成功，正是因?yàn)樗噲D直接達(dá)到航天器所需要的高速度。但是火箭雖然能夠達(dá)到比噴射物噴射速度更高的速度，但為此付出的代價(jià)卻也不小。因?yàn)榛鸺_(dá)到的速度v 越高，其初始質(zhì)量與推進(jìn)過(guò)程完成后的質(zhì)量之比mi/mf就必須越大，從而火箭的有效載荷(mf 的一部分 ) 就必須越小。這是齊奧爾科夫斯基公式的第二個(gè)重要特點(diǎn)。最糟糕的是，齊奧

8、爾科夫斯基公式是一個(gè)對(duì)數(shù)關(guān)系式， 這是增長(zhǎng)極其緩慢的關(guān)系式， 它的出現(xiàn)表明燃料數(shù)量的增加( 即 mi/mf的增加 ) 對(duì)速度增加所起的作用非常有限。這一點(diǎn)極大地限制了火箭的運(yùn)載效率。那么，有沒(méi)有什么辦法可以改善火箭的運(yùn)載效率呢？齊奧爾科夫斯基提出了多級(jí)火箭的設(shè)想。多級(jí)火箭的好處 ， 是在每一級(jí)的燃料用盡后可以把該級(jí)的外殼拋棄， 從而減輕下一級(jí)所負(fù)載的質(zhì)量。 不過(guò)，多級(jí)火箭雖然有較高的運(yùn)載效率，但它在技術(shù)上的復(fù)雜性也較高。因此在實(shí)際使用時(shí)，人們往往在運(yùn)載效率與技術(shù)復(fù)雜性之間作折中，三級(jí)火箭就是最常見(jiàn)的折中結(jié)果。即便使用多級(jí)火箭，為了將幾噸的有效載荷送入近地軌道， 通常也需要發(fā)射質(zhì)量為幾百?lài)嵉幕鸺?/p>

9、(比如發(fā)射“神舟號(hào) ”飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F 型火箭的發(fā)射質(zhì)量約為四百八十噸，近地軌道的有效載荷則為八噸左右)。 這種巨大的消耗，使得航天發(fā)射的費(fèi)用極其高昂 。 如果你想到近地軌道上的國(guó)際空間站去遨游一下的話， 大約要準(zhǔn)備兩千萬(wàn)美元的費(fèi)用。三. 接近光速在人類(lèi)目前的火箭技術(shù)還是相當(dāng)初級(jí)的。迄今為止最快的航天器的速度也只有每秒幾十公里，這樣的速度通常還是借助于太陽(yáng)或其它行星的引力作用而達(dá)到的，并不單純是火箭的功勞。比方說(shuō)一九七六年發(fā)射的“太陽(yáng)神二號(hào) ” (Helios 2) 探測(cè)器在近日點(diǎn)的速度約為67 公里 /秒，這一探測(cè)器有時(shí)被稱(chēng)為是速度最快的航天器。它的速度就是借助于太陽(yáng)的引力作用而達(dá)到的。另一

10、方面，在人類(lèi)迄今發(fā)射的航天器中，飛得最遠(yuǎn)的也不過(guò)剛剛飛出冥王星軌道。用星際空間的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量，這是很微小的距離。人類(lèi)要想走得更遠(yuǎn)，必須要有更快的航天器。在齊奧爾科夫斯基公式中，火箭的速度是沒(méi)有上限的。通過(guò)提高噴射物的噴射速度，以及增加火箭質(zhì)量中噴射物所占的比例，火箭原則上可以達(dá)到任意高的速度。但我們知道，物體的運(yùn)動(dòng)速度不可能超過(guò)光速，這是相對(duì)論的基本要求。因此齊奧爾科夫斯基公式顯然不能隨意外推，尤其是不能外推到火箭速度接近光速的情形。那么，有沒(méi)有一個(gè)比齊奧爾科夫斯基公式更普遍的公式，在火箭運(yùn)動(dòng)速度接近光速時(shí)仍然成立呢？答案是肯定的。事實(shí)上，這樣的公式也很簡(jiǎn)單：v = c tanh(u/c) ln

11、(mi/mf)這里， c 表示光速，tanh 是雙曲正切函數(shù)，其它變量的含義與傳統(tǒng)的齊奧爾科夫斯基公式相同。這就是齊奧爾科夫斯基公式在相對(duì)論條件下的推廣。對(duì)于低速運(yùn)動(dòng)的火箭，這一公式會(huì)自動(dòng)退化為齊奧2爾科夫斯基公式。由于雙曲正切函數(shù)在任何時(shí)候都小于1，因此由上述公式給出的速度在任何情況下都不會(huì)超過(guò)光速，從而符合相對(duì)論的要求。上述公式的一個(gè)特例是噴射物的速度等于光速(u=c) ， 即噴射物為光子(或其它無(wú)質(zhì)量粒子)， 的情形。 這種火箭常常出現(xiàn)在科幻小說(shuō)中，通常是以物質(zhì)與反物質(zhì)的湮滅作為動(dòng)力來(lái)源。這是運(yùn)載效率最高的火箭。 對(duì)于這種火箭來(lái)說(shuō) ， 如果其90%的質(zhì)量轉(zhuǎn)化為能量作為動(dòng)力， 它的速度可以

12、達(dá)到光速的99%。顯然， 這樣的火箭既具有很高的運(yùn)載效率， 又能達(dá)到普通火箭望塵莫及的速度， 是一種非常誘人的技術(shù)。不過(guò)，我們目前的技術(shù)距離這種火箭的研制還相差很遠(yuǎn)。四. 飛向深空宇宙的浩瀚是星際旅行家們面臨的最基本的事實(shí)。即使能夠達(dá)到接近光速的速度，飛越恒星際空間所需的時(shí)間仍然是極其漫長(zhǎng)的。從地球出發(fā)，飛到銀河系的中心約需要三萬(wàn)年的時(shí)間，飛到仙女座星云 (M31 -河外星系 ) 約需要二百二十萬(wàn)年的時(shí)間，而到室女座星系團(tuán)(Virgo -河外星系團(tuán) ) 則需要約六千萬(wàn)年的時(shí)間. .相對(duì)于人類(lèi)彈指一瞬的短暫生命來(lái)說(shuō)， 這些時(shí)間顯然都太漫長(zhǎng)了。 但是幸運(yùn)的是 ， 所有這些時(shí)間都是在靜止參照系中測(cè)量

13、的。相對(duì)論中有一個(gè)著名的時(shí)鐘延緩效應(yīng)，它表明運(yùn)動(dòng)參照系中的時(shí)間流逝會(huì)比靜止參照系中測(cè)量到的慢?；鸺娘w行速度越高，這種時(shí)鐘延緩效應(yīng)就越可觀，宇航員所感受到的時(shí)間流逝也就越緩慢?？紤]到這個(gè)因素，宇航員是不是有可能在自己的有生之年，到銀河系的中心、仙女座星云、甚至室女座星系團(tuán)去旅行呢？答案是肯定的。我們考慮一個(gè)非常簡(jiǎn)單的情形，即火箭始終處于勻加速過(guò)程之中(不用說(shuō)，這種火箭耗費(fèi)的能量將是極其驚人的， 不過(guò)這里我們姑且把技術(shù)上的困難拋在一邊， 只討論理論上的可能性)。同時(shí)，我們把火箭的加速度選為與地球表面的重力加速度一樣(這樣，宇航員在飛船上感受到的重力環(huán)境就與地球表面一樣，不會(huì)象我們?cè)陔娨暽峡吹降哪?/p>

14、樣在飛船內(nèi)隨意飄蕩)， 并且假定火箭在后半程做減速運(yùn)動(dòng)(這樣，宇航員才能在目的地著陸)。 在這樣的飛行條件下，如果飛行距離非常大( 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一光年) ， 飛船上的時(shí)間流逝t 與航程S 之間的關(guān)系大致為：t 2ln(S)這里時(shí)間以年為單位，航程則以光年為單位。這個(gè)公式與齊奧爾科夫斯基公式一樣，也出現(xiàn)了以增長(zhǎng)緩慢著稱(chēng)的對(duì)數(shù)函數(shù)。只不過(guò)，在齊奧爾科夫斯基公式中，對(duì)數(shù)函數(shù)的出現(xiàn)是一件不幸的事情，因?yàn)樗拗屏嘶鸺俣鹊脑黾?，從而限制了火箭的運(yùn)載效率；而在現(xiàn)在這個(gè)公式中，對(duì)數(shù)函數(shù)的出現(xiàn)卻成了一件幸事，因?yàn)樗泳徚孙w船上的時(shí)間流逝，從而極大地?cái)U(kuò)展了宇航員在有生之年可以飛越的距離。通過(guò)這個(gè)公式不難看到，假如旅行的目的地是銀河系的中心，即 S 30000 光年，飛行時(shí)間約為二十年。這就是說(shuō)，在宇航員看來(lái)，僅僅二十年的時(shí)間，他就可以到達(dá)銀河系的中心。即使算上返航， 前后也只要四十年的時(shí)間。這就是相對(duì)論的奇妙結(jié)論！只不過(guò)，當(dāng)他回到地球時(shí)，地球上的日歷已經(jīng)翻過(guò)了整整六萬(wàn)年，他的孫子的孫子的孫子. . ( 如果有的話 ) 都早已長(zhǎng)眠