對策問題五六年級奧數(shù)（課堂PPT）

1、1對策問題對策問題研究這種競賽策略的數(shù)學(xué)分支，叫作博弈論，也研究這種競賽策略的數(shù)學(xué)分支，叫作博弈論，也叫對策論，它是運(yùn)籌學(xué)中的一部分叫對策論，它是運(yùn)籌學(xué)中的一部分2專題簡析：專題簡析：同學(xué)們都熟悉同學(xué)們都熟悉“田忌與齊王賽馬田忌與齊王賽馬”的故事，這個的故事，這個故事給我們的啟示是：田忌采用了故事給我們的啟示是：田忌采用了“揚(yáng)長避短揚(yáng)長避短”的策略，取得了勝利。的策略，取得了勝利。生活中的許多事物都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)道理，人們在競生活中的許多事物都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)道理，人們在競賽和爭斗中總是玩游戲，大至體育比賽、軍事較賽和爭斗中總是玩游戲，大至體育比賽、軍事較量等，人們在競賽和爭斗中總是希望自己或自己量等，

2、人們在競賽和爭斗中總是希望自己或自己的所在的一方獲取勝利，這就要求參與競爭的雙的所在的一方獲取勝利，這就要求參與競爭的雙方都要制定出自己的策略，這就是所謂方都要制定出自己的策略，這就是所謂“知己知知己知彼，百戰(zhàn)不殆彼，百戰(zhàn)不殆”。哪一方的策略更勝一籌，哪一。哪一方的策略更勝一籌，哪一方就會取得最終的勝利。方就會取得最終的勝利。解決這類問題一般采用逆推法和歸納法。解決這類問題一般采用逆推法和歸納法。3智取火柴智取火柴在數(shù)學(xué)游戲中有一類取火柴游戲，在數(shù)學(xué)游戲中有一類取火柴游戲，它有很多種玩法，由于游戲的規(guī)它有很多種玩法，由于游戲的規(guī)則不同，取勝的方法也就不同。則不同，取勝的方法也就不同。但不論哪種

3、玩法，要想取勝，一但不論哪種玩法，要想取勝，一定離不開用數(shù)學(xué)思想去推算。定離不開用數(shù)學(xué)思想去推算。4例例1 1 桌子上放著桌子上放著6060根火柴，甲、乙二根火柴，甲、乙二人輪流每次取走人輪流每次取走1 13 3根。規(guī)定誰取走根。規(guī)定誰取走最后一根火柴誰獲勝。如果雙方都采最后一根火柴誰獲勝。如果雙方都采用最佳方法，甲先取，那么誰將獲勝？用最佳方法，甲先取，那么誰將獲勝？分析與解：本題采用逆推法分析。獲勝方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒數(shù)第二次取時，必須留給對方4根，此時無論對方取1，2或3根，獲勝方都可以取走最后一根；再往前逆推，獲勝方要想留給對方4根，在倒數(shù)第三次取時，必須留給對方8

4、根由此可知，獲勝方只要每次留給對方的都是4的倍數(shù)根，則必勝。現(xiàn)在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留給乙4的倍數(shù)根，而甲每次取完后，乙再取都可以留給甲4的倍數(shù)根，所以在雙方都采用最佳策略的情況下，乙必勝。5在例在例1 1中為什么一定要留給對方中為什么一定要留給對方4 4的倍數(shù)根，的倍數(shù)根，而不是而不是5 5的倍數(shù)根或其它倍數(shù)根呢？關(guān)鍵的倍數(shù)根或其它倍數(shù)根呢？關(guān)鍵在于規(guī)定每次只能取在于規(guī)定每次只能取1 13 3根，根，1 13 34 4，在兩人緊接著的兩次取火柴中，后取的在兩人緊接著的兩次取火柴中，后取的總能保證兩人取的總數(shù)是總能保證兩人取的總數(shù)是4 4。利用這一特。利用這一特點(diǎn)，就能分析出誰采用

5、最佳方法必勝，點(diǎn)，就能分析出誰采用最佳方法必勝，最佳方法是什么。由此出發(fā)，對于例最佳方法是什么。由此出發(fā)，對于例1 1的的各種變化，都能分析出誰能獲勝及獲勝各種變化，都能分析出誰能獲勝及獲勝的方法。的方法。6例例2 2 在例在例1 1中將中將“每次取走每次取走1 13 3根根”改改為為“每次取走每次取走1 16 6根根”，其余不變，其余不變，情形會怎樣？情形會怎樣？分析與解：由例分析與解：由例1 1的分析知，只要始終留給對方的分析知，只要始終留給對方（1+6=1+6=）7 7的倍數(shù)根火柴，就一定獲勝。因?yàn)榈谋稊?shù)根火柴，就一定獲勝。因?yàn)?0607 78484，所以只要甲第一次取走，所以只要甲第一

6、次取走4 4根，剩根，剩下下5656根火柴是根火柴是7 7的倍數(shù)，以后總留給乙的倍數(shù)，以后總留給乙7 7的倍數(shù)根的倍數(shù)根火柴，甲必勝?；鸩?，甲必勝。 由例由例2 2看出，在每次取看出，在每次取1 1n n根火柴，取到最后根火柴，取到最后一根火柴者獲勝的規(guī)定下，誰能做到總給對方留一根火柴者獲勝的規(guī)定下，誰能做到總給對方留下（下（1+n1+n）的倍數(shù)根火柴，誰將獲勝。）的倍數(shù)根火柴，誰將獲勝。7例例3 3 將例將例1 1中中“誰取走最后一根火柴誰獲勝誰取走最后一根火柴誰獲勝”改為改為“誰取走最后一根火柴誰輸誰取走最后一根火柴誰輸”，其余，其余不變，情形又將如何？不變，情形又將如何？解：最后留給對方

7、1根火柴者必勝。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留給對方4的倍數(shù)加1根火柴必勝。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都將除以4余1的根數(shù)留給乙，甲必勝。由例3看出，在每次取1n根火柴，取到最后一根火柴者為輸?shù)囊?guī)定下，誰能做到總給對方留下（1n）的倍數(shù)加1根火柴，誰將獲勝。有許多游戲雖然不是取火柴的形式，但游戲取勝的方法及分析思路與取火柴游戲完全相同。8例例4 4 兩人從兩人從1 1開始按自然數(shù)順序輪流依開始按自然數(shù)順序輪流依次報(bào)數(shù)，每人每次只能報(bào)次報(bào)數(shù)，每人每次只能報(bào)1 15 5個數(shù)，個數(shù)，誰先報(bào)到誰先報(bào)到5050誰勝。你選擇先報(bào)數(shù)還是誰勝。你選擇先報(bào)數(shù)還是后報(bào)

8、數(shù)？怎樣才能獲勝？后報(bào)數(shù)？怎樣才能獲勝？解：對照例解：對照例1 1、例、例2 2可以看出，本例是取火柴可以看出，本例是取火柴游戲的變形。因?yàn)橛螒虻淖冃巍Ｒ驗(yàn)?050（1 15 5）8282，所以要想獲勝，應(yīng)選擇先報(bào)，第一次報(bào)所以要想獲勝，應(yīng)選擇先報(bào)，第一次報(bào)2 2個個數(shù)，剩下數(shù)，剩下4848個數(shù)是（個數(shù)是（1 15 5）6 6的倍數(shù)，以的倍數(shù)，以后總把后總把6 6的倍數(shù)個數(shù)留給對方，必勝。的倍數(shù)個數(shù)留給對方，必勝。9例例5 11115 1111個空格排成一行，最左端空格中個空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后輪流向右移動棋放有一枚棋子，甲先乙后輪流向右移動棋子，每次移動子，每次移動

9、1 17 7格。規(guī)定將棋子移到最格。規(guī)定將棋子移到最后一格者輸。甲為了獲勝，第一步必須向后一格者輸。甲為了獲勝，第一步必須向右移多少格？右移多少格？10分析與解：本例是例分析與解：本例是例3 3的變形，但應(yīng)注意，的變形，但應(yīng)注意，一開始棋子已占一格，棋子的右面只有一開始棋子已占一格，棋子的右面只有1111-11111-111101110（個）空格。由例（個）空格。由例3 3知，只知，只要甲始終留給乙（要甲始終留給乙（1+7=1+7=）8 8的倍數(shù)加的倍數(shù)加1 1格，格，就可獲勝。就可獲勝。（111-1111-1）（1 17 7）13861386，所以甲第一步必須移所以甲第一步必須移5 5格，還

10、剩下格，還剩下11051105格，格，11051105是是8 8的倍數(shù)加的倍數(shù)加1 1。以后無論乙移幾。以后無論乙移幾格，甲下次移的格數(shù)與乙移的格數(shù)之和是格，甲下次移的格數(shù)與乙移的格數(shù)之和是8 8，甲就必勝。因?yàn)榧滓仆旰?，給乙留下，甲就必勝。因?yàn)榧滓仆旰?，給乙留下的空格數(shù)永遠(yuǎn)是的空格數(shù)永遠(yuǎn)是8 8的倍數(shù)加的倍數(shù)加1 1。11例例6 6 今有兩堆火柴，一堆今有兩堆火柴，一堆3535根，另一根，另一堆堆2424根。兩人輪流在其中任一堆中拿根。兩人輪流在其中任一堆中拿取，取的根數(shù)不限，但不能不取。規(guī)取，取的根數(shù)不限，但不能不取。規(guī)定取得最后一根者為贏。問：先取者定取得最后一根者為贏。問：先取者有何策

11、略能獲勝？有何策略能獲勝？12分析與解：本題雖然也是取火柴問題，但由于火分析與解：本題雖然也是取火柴問題，但由于火柴的堆數(shù)多于一堆，故本題的獲勝策略與前面柴的堆數(shù)多于一堆，故本題的獲勝策略與前面的例題完全不同。的例題完全不同。先取者在先取者在3535根一堆火柴中取根一堆火柴中取1111根火柴，使得根火柴，使得取后剩下兩堆的火柴數(shù)相同。以后無論對手在取后剩下兩堆的火柴數(shù)相同。以后無論對手在某一堆取幾根火柴，你只須在另一堆也取同樣某一堆取幾根火柴，你只須在另一堆也取同樣多根火柴。只要對手有火柴可取，你也有火柴多根火柴。只要對手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是說，最后一根火柴總會被你拿到?？扇。?/p>

12、就是說，最后一根火柴總會被你拿到。這樣先取者總可獲勝。這樣先取者總可獲勝。請同學(xué)們想一想，如果在上面玩法中，兩堆請同學(xué)們想一想，如果在上面玩法中，兩堆火柴數(shù)目一開始就相同，例如兩堆都是火柴數(shù)目一開始就相同，例如兩堆都是3535根火根火柴，那么先取者還能獲勝嗎？柴，那么先取者還能獲勝嗎？13例例7 7 有有3 3堆火柴，分別有堆火柴，分別有1 1根、根、2 2根與根與3 3根火柴。根火柴。甲先乙后輪流從任意一堆里取火柴，取的甲先乙后輪流從任意一堆里取火柴，取的根數(shù)不限，規(guī)定誰能取到最后一根或最后根數(shù)不限，規(guī)定誰能取到最后一根或最后幾根火柴就獲勝。如果采用最佳方法，那幾根火柴就獲勝。如果采用最佳方

13、法，那么誰將獲勝？么誰將獲勝？分析與解：根據(jù)例分析與解：根據(jù)例6 6的解法，誰在某次取過火柴之的解法，誰在某次取過火柴之后，恰好留下兩堆數(shù)目相等的火柴，誰就能取勝。后，恰好留下兩堆數(shù)目相等的火柴，誰就能取勝。甲先取，共有六種取法：從第甲先取，共有六種取法：從第1 1堆里取堆里取1 1根，根，從第從第2 2堆里取堆里取1 1根或根或2 2根；第根；第3 3堆里取堆里取1 1根、根、2 2根或根或3 3根。無論哪種取法，乙采取正確的取法，都可以根。無論哪種取法，乙采取正確的取法，都可以留下兩堆數(shù)目相等的火柴（同學(xué)們不妨自己試留下兩堆數(shù)目相等的火柴（同學(xué)們不妨自己試試），所以乙采用最佳方法一定獲勝。

14、試），所以乙采用最佳方法一定獲勝。14練習(xí)練習(xí)25251.1.桌上有桌上有3030根火柴，兩人輪流從中根火柴，兩人輪流從中拿取，規(guī)定每人每次可取拿取，規(guī)定每人每次可取1 13 3根，且根，且取最后一根者為贏。問：先取者如何取最后一根者為贏。問：先取者如何拿才能保證獲勝？拿才能保證獲勝？ 2. 2.有有19991999個球，甲、乙兩人輪流取個球，甲、乙兩人輪流取球，每人每次至少取一個，最多取球，每人每次至少取一個，最多取5 5個，取到最后一個球的人為輸。如果個，取到最后一個球的人為輸。如果甲先取，那么誰將獲勝？甲先取，那么誰將獲勝？153 3、有、有100100根火柴，甲乙兩人輪流玩火根火柴，甲

15、乙兩人輪流玩火柴游戲，規(guī)定每人每次可取柴游戲，規(guī)定每人每次可取1010根以內(nèi)根以內(nèi)的任何火柴（包括的任何火柴（包括1010根），以誰取完根），以誰取完火柴使對手無火柴可取者勝，如果甲火柴使對手無火柴可取者勝，如果甲先取，問誰一定能獲勝？他怎樣才能先取，問誰一定能獲勝？他怎樣才能獲勝？獲勝？164.4.甲、乙二人輪流報(bào)數(shù)，甲先乙后，每甲、乙二人輪流報(bào)數(shù)，甲先乙后，每次每人報(bào)次每人報(bào)1 14 4個數(shù)，誰報(bào)到第個數(shù)，誰報(bào)到第888888個數(shù)個數(shù)誰勝。誰將獲勝？怎樣獲勝？誰勝。誰將獲勝？怎樣獲勝？5.5.有兩堆枚數(shù)相等的棋子，甲、乙兩人有兩堆枚數(shù)相等的棋子，甲、乙兩人輪流在其中任意一堆里取，取的枚數(shù)輪

16、流在其中任意一堆里取，取的枚數(shù)不限，但不能不取，誰取到最后一枚不限，但不能不取，誰取到最后一枚棋子誰獲勝。如果甲后取，那么他一棋子誰獲勝。如果甲后取，那么他一定能獲勝嗎？定能獲勝嗎？176.6.黑板上寫著一排相連的自然數(shù)黑板上寫著一排相連的自然數(shù)1 1，2 2，3 3，5151。甲、乙兩人輪流劃掉連續(xù)的。甲、乙兩人輪流劃掉連續(xù)的3 3個數(shù)。規(guī)定在誰劃過之后另一人再也劃不個數(shù)。規(guī)定在誰劃過之后另一人再也劃不成了，誰就算取勝。問：甲有必勝的策略成了，誰就算取勝。問：甲有必勝的策略嗎？嗎？7.7.有三行棋子，分別有有三行棋子，分別有1 1，2 2，4 4枚棋子，兩枚棋子，兩人輪流取，每人每次只能在同一行中