基本積分方法Word版

1、2 基本積分方法一、換元積分法 1第一類換元積分法：設(shè)f(u)，為連續(xù)函數(shù)，可導(dǎo)，且，則常見的湊微分形式： 例2.1計算解:令，則 =。例2.2計算下列積分：（1）； （2）解：（1）1 / 10（2） 2第二類換元積分法：單調(diào)、可導(dǎo)且，又有原函數(shù)。則第二類換元法中常用的變量代換： 三角代換：變根式積分 三角有理式積分注意：輔助三角形可為變量還原提供方便。 倒數(shù)代換：可消去分母中的變量x。 指數(shù)代換： 適用被積函數(shù)由a x 或e x 構(gòu)成的代數(shù)式。例2.3計算積分解：令例2.4計算積分。解：=例2.5計算積分解：令，則 =二、分部積分法分部積分公式： 分部積分法條件： u，v 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。選

2、取u，v 的原則： 可用分部積分法求積分的類型：u(x)u，v 可任選dvu(x)dv例2.6 計算積分。解：原式=例2.7 計算積分解： 。例2.7設(shè)，計算。解：，設(shè)，則，。= 。三、幾種特殊類型的積分：1有理函數(shù)的積分 部分分式之和的積分對于任意有理函數(shù)，存在一個固定的代數(shù)算法，可以把它分解為四種基本形式的有理分式的和，而這四種基本形式的有理分式存在相應(yīng)的積分公式。列出如下：(1) (2) (3) (4)其中；dt=dx；。可以很容易地求出（4）中的第一個積分為。而對于第二個積分式，我們可以得到遞推公式，其中：?！咀⒁狻繌睦碚撋现v，任意有理函數(shù)的積分都可以被積出來，但要分析被積函數(shù)的特點，

3、靈活選擇解法，常用的方法中有湊微分法和變量替換法。例2.8 計算積分。解： =例2.9 計算下列積分（1）； （2）解：（1）令，則，于是原式= = =（2）令，則，于是原式= =2三角函數(shù)有理式的積分 有理函數(shù)的積分由，及常數(shù)，經(jīng)過有限次四則運算所得到的函數(shù)稱為三角函數(shù)有理式，記作：，積分稱為三角函數(shù)有理式積分?！窘忸}方法】 盡量使分母簡單，為此可以分子、分母同乘以某個因子，把分母化成 sinkx 或 coskx 的單項式，或?qū)⒎帜刚麄€看作一項。 盡量使 R(cosx，sinx) 的冪降低，常用倍角公式或積化和差公式。常用積化和差公式：倍角公式：， 在積分的過程中注意“”的妙用。例2.10

4、計算下列積分（1）；（2）；（3）。解： 故 原積分= （2） = = =（3） = = 故 原積分= =3無理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分無理函數(shù)的積分，一般是通過選擇變量替換，化為有理函數(shù)的積分來進行?！窘忸}方法】 利用第二類換元法中的三角代換； 若被積函數(shù)含有，可令，； 若被積函數(shù)含有，可令，其中m，n為正整數(shù)，p為m，n的最小公倍數(shù)?！咀⒁狻繜o理函數(shù)分子或分母可有理化時，應(yīng)先有理化。例2.11 計算積分解：令原積分= =。四、分段函數(shù)的積分 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，且原函數(shù)連續(xù)。因此有 如果函數(shù)在分界點連續(xù)，則在包含該點的區(qū)間內(nèi)原函數(shù)存在。 如果分界點是函數(shù)的間斷點，那么在包含該點的區(qū)間內(nèi)，不

5、存在原函數(shù)。 【解題方法】 方法一 先分別求出函數(shù)的各分段在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)； 由原函數(shù)的連續(xù)性確定出各積分常數(shù)之間的關(guān)系。方法二 利用變上限積分函數(shù)，先求出的一個原函數(shù)，則有=+C（注意：方法二省去了確定常數(shù)的麻煩）例2.12 設(shè)，求。解法一：由于f (x)在在x=0連續(xù)，故f (x)的原函數(shù)存在，因此先分別求出 f (x)在(，0)，(0，+)內(nèi)的原函數(shù)。由原函數(shù)F(x)的連續(xù)性，考慮F(x)在x= 0處的左、右極限，得 解法二：設(shè)f (x)的一個原函數(shù)為，而=故 =。例2.13 求。解：由于min1,x在x=1，x=1連續(xù)，故min1,x 的原函數(shù)存在，因此先分別求出min1,x在(，1)，(1，1)，(1，+ )內(nèi)的原函數(shù)。由原函數(shù)F(x)的連續(xù)性，考慮F(x)在x=1，x=1處的左、右極限，得故 ，。因此 五、抽象函數(shù)的積分所謂抽象函數(shù)的不定積分，是指被積函數(shù)由抽象函數(shù)所構(gòu)成的一類積分。其解法同樣可用換元法和分部積分法。例2.13 求不定積分。解：。例2.14 求設(shè) f (x)