排列組合知識點總結(jié)+典型例題及答案解析

1、排列組合知識點總結(jié) +典型例題及答案解析基本原理1加法原理：做一件事有 n 類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2乘法原理：做一件事分 n 步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時常用基本原理求解。二 排 列 ：從 n 個不 同 元素中 ， 任取 m（ m n ）個 元素 ，按 照一 定的順 序 排成一列，叫做從 n個不同元素中取出 m個元素的一個排列，所 有排列的個數(shù)記為 Anm .1. 公式： 1. Anm n n 1 nm1n!n m!2.(1) n! n (n 1)!,( n 1) n!(n 1)!(2) nn!(n

2、 1) 1 n! (n 1) n! n! (n 1)! n! ；11(3) (n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! n!1(n 1)!三組合：從 n 個不同元素中任取 m（mn）個元素并組成一組，叫做從 n 個不同的m 元素中任取 m 個元素的組合數(shù)，記作 Cn 。1. 公式： CnmA nm n n 1 n m 1A mmm! m! n m !n! 規(guī)定： C 02.組合數(shù)性質(zhì)：Cnm Cnn m，Cnm Cnm 1 Cnm1，Cn0 C1nCnn 2n ； ； ；注：Crr Crr 1 Crr 2 L Cnr 1 CnrCr 1 r r r r r 1 r r r r 1

3、r 1Cr1Cr2 L Cn 1CnCr2Cr2 LCn 1CnCn1若Cnm1 Cnm2則m1 =m 2或m1+m2四處理排列組合應(yīng)用題1. 明確要完成的是一件什么事 （審題） 有序還是無序 分步還是分類規(guī)定： 0!2解排列、組合題的基本策略（1）兩種思路：直接法； 間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解 決排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法。（2）分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時， 常分成若干類， 再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論。 注意： 分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。（3）分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，

4、常常分成若干步，再由分步計 數(shù)原理解決。 在處理排列組合問題時， 常常既要分類， 又要分步。其原則是先分類， 后分步。（4）兩種途徑：元素分析法；位置分析法。3排列應(yīng)用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；（2） 、特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；（3）相鄰問題：捆邦法： 對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與 其余元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進行排列。（4）、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空 法. 即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩

5、 端的空隙之間插入。（5）、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插 解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全 排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。 即先全排， 再除以定序元素的全排列 解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對其他元素進行排列，剩余的幾個 位置放定序的元素， 若定序元素要求從左到右或從右到左排列， 則只有 1 種排法；若不要求， 則有 2 種排法；（6）“小團體”排列問題采用先整體后局部策略 對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體”時，可先將“小團體”看作一個元素與 其余元素排列，最后再進行“小團體”內(nèi)部的排列

6、。（7）分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)） 能被 2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被 2 整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能 被 3 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)；能被 9 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 9 的倍數(shù)能被 4 整除的數(shù)的特征：末兩位是 4 的倍數(shù)。 能被 5 整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是 0 或 5。能被 25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是 25，50，75。能被 6 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)的偶數(shù)。4組合應(yīng)用題：（ 1）. “至少”“至多”問題用間接排除法或分類法 : （2）

7、 “含”與 “不含” 用間接排除法或分類法 :3分組問題： 均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。 非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4分配問題： 定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5隔板法： 不可分辨的球即相同元素分組問題例 1. 電視臺連續(xù)播放 6 個廣告，其中含 4 個不同的商業(yè)廣告和 2 個不同的公益廣告， 要求首尾必須播放公益廣告，則共

8、有 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示） . 解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有 A22種；中間 4 個為不同的商業(yè)廣告有 A44 種，從而 應(yīng)當(dāng)填 A 22·A4448. 從而應(yīng)填 48例 3.6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？ 解一：間接法：即 A66 A55 A55 A44 720 2 120 24 504 解二：（ 1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類 .（1）甲排在最右端時 , 有 A55 種排法； （2） 甲不排在最右端（甲不排在最左端）時，則甲有 A14 種排法，乙有 A14種排法，其他人有 A44 種排法，共有 A41 A41 A44

9、種排法，分類相加得共有 A55+ A41 A14 A44 =504種排法例.有 4 個男生， 3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生 從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在 7 個位置上任取 4 個位置排男生，有 A74種排法. 剩余的 3 個位置排女生，因要 求“從矮到高”，只有 1 種排法，故共有 A47 · 1=840種.1. 從 4 臺甲型和 5 臺乙型電視機中任取 3 臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺， 則不同的取法共有解析 1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有 C93 C43 C53 70

10、 種,選. C解析 2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型 1 臺乙型 2 臺；甲型 2 臺乙型1 臺；故不同的取法有 C52C41 C51C42 70 臺,選C.2從 5 名男生和 4名女生中選出 4 人去參加辯論比賽（ 1）如果 4 人中男生和女生各選 2 人，有種選法；（2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有種選法；（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有 1 人在內(nèi)，有 種選法；（4）如果 4 人中必須既有男生又有女生，有種選法分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問題 . 由于選出的人沒有地位的差異， 所以是 組合問題.解：（1）先從男生中選 2人，有C52種選

11、法，再從女生中選 2人，有C42種選法，所以共有 C52C42 =60 （種）；（2）除去甲、乙之外，其余 2人可以從剩下的 7人中任意選擇， 所以共有 C22C72=21（種）；（3）在 9 人選 4 人的選法中，把甲和乙都不在內(nèi)的去掉， 得到符合條件的選法數(shù)： C94 C74 =91 （種）；直接法，則可分為 3 類：只含甲；只含乙；同時含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)C11C73 C11C73 C22C72 C73 C73 C72 =91（種） .（4）在 9 人選 4 人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù) C94 C54 C44 =120（種） .直接法：分別按照含

12、男生 1、2、3 人分類，得到符合條件的選法為 C51C43 C52C42 C53C41 =120 （種）.1 6 個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐 4 人，則不同的乘車方法數(shù)為 （ ）A40B50C60D70C36 解析 先分組再排列，一組 2人一組 4人有 C6215 種不同的分法；兩組各 3人共有A6210 種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為 25× 250，故選 B.2有 6 個座位連成一排，現(xiàn)有 3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有 ( )A36 種B48 種 C 72種D96 種 解析 恰有兩個空座位相鄰，相當(dāng)于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插 空，從

13、而共 A33A4272 種排法，故選 C.3只用 1,2,3 三個數(shù)字組成一個四位數(shù)， 規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用， 且同一數(shù)字不能相 鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有 ( )A6 個B9 個 C 18個D36個 解析 注意題中條件的要求，一是三個數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選 四個數(shù)字共有 C13 3(種)選法，即 1231,1232,1233 ，而每種選擇有 A22×C236(種)排法，所以 共有 3×618(種)情況，即這樣的四位數(shù)有 18 個4男女學(xué)生共有 8 人，從男生中選取 2 人，從女生中選取 1 人，共有 30種不同的選法，其 中女生有 ( )A2人或 3

14、人 B 3人或 4人 C 3人 D 4人解析 設(shè)男生有 n人，則女生有(8 n)人，由題意可得 C2nC81n30，解得 n5或n6，代 入驗證，可知女生為 2人或 3人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共 10 級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定 從二樓到三樓用 8 步走完，則方法有 ( )A45 種B36 種 C 28種D25 種解析 因為 10÷8 的余數(shù)為 2，故可以肯定一步一個臺階的有 6步，一步兩個臺階的有 2 步，那么共有 C8228 種走法6某公司招聘來 8 名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不 能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也

15、不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有()A24 種B36 種 C 38 種D108 種 解析 本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個部門，共有 2 種方法，第二步將 3 名電腦編程人員分成兩組，一組 1 人另一組 2 人，共有 C3 種分法，然后 再分到兩部門去共有 C3A2種方法，第三步只需將其他 3 人分成兩組，一組 1 人另一組 2 人即 可，由于是每個部門各 4 人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C13種方法，由分步乘法計數(shù)原理共有 2C31A22C3136(種) 7已知集合 A5 ， B1,2 ， C1,3,4 ，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)

16、成空間 直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，則確定的不同點的個數(shù)為 ( )A 33B34 C 35D 36解析 所得空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)中不含 1 的有 C21·A3312 個； 所得空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)中含有 1 個 1 的有 C12·A33A3318個； 所得空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)中含有 2 個 1 的有 C133 個 故共有符合條件的點的個數(shù)為 1218333 個，故選 A.8由 1、2、3、4、5、6 組成沒有重復(fù)數(shù)字且 1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是 ( )A 72B96 C 108D144解析 分兩類：若 1 與 3 相鄰，有 A22·C

17、31A22A2372(個) ，若 1 與 3 不相鄰有 A33·A3336(個) 故共有 7236108 個9如果在一周內(nèi) ( 周一至周日 )安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館， 每天最多只安排一所 學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有 ( )A 50 種B60 種 C 120 種D210種解析 先安排甲學(xué)校的參觀時間， 一周內(nèi)兩天連排的方法一共有 6種：（1,2） 、（2,3） 、（3,4） 、 （4,5） 、（5,6） 、（6,7） ，甲任選一種為 C61，然后在剩下的 5天中任選 2 天有序地安排其余兩所 學(xué)校參觀，安排方法有 A52種，按照分步

18、乘法計數(shù)原理可知共有不同的安排方法 C16·A25120 種， 故選 C.10安排 7位工作人員在 5月1日到 5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不 能安排在 5月 1日和 2日，不同的安排方法共有 種（用數(shù)字作答）解析 先安排甲、乙兩人在后 5天值班，有 A5220（種）排法，其余 5人再進行排列，有A55 120（種） 排法，所以共有 20×1202400（種）安排方法11今有 2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這 9 個球排成一列有 種不同的排法 （用數(shù)字作答 ）解析 由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實際上是一個組合問題，共有 C49

19、3;C52·C331260（種） 排法12將 6位志愿者分成 4組，其中兩個組各 2人，另兩個組各 1 人，分赴世博會的四個不同 場館服務(wù)，不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答 ）C26C24解析 先將 6名志愿者分為 4組，共有 A2 種分法，再將 4組人員分到 4個C2· C2不同場館去，共有 A44種分法，故所有分配方案有： C6·A2 C4·A441 080 種13要在如圖所示的花圃中的 5個區(qū)域中種入 4種顏色不同的花， 要求相鄰區(qū)域不同色， 有種不同的種法 （用數(shù)字作答 ） 解析 5有4種種法， 1有 3種種法， 4有2種種法若 1、3同色， 2

20、有2種種法，若 1、3不同色， 2有 1種種法，有 4×3×2×（1×21×1）72 種14. 將標(biāo)號為 1，2， 3，4， 5，6 的 6 張卡片放入 3 個不同的信封中若每個信封放 2 張，其中標(biāo)號為 1，2 的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12 種（B）18種（C）36 種（D）54 種【解析】標(biāo)號 1,2 的卡片放入同一封信有 種方法；其他四封信放入兩個信封，每個信封兩個有 種方法，共有 種，故選 B.15. 某單位安排 7 位員工在 10 月 1日至 7日值班，每天 1人，每人值班 1天，若 7位員 工中的甲、乙排在相鄰兩天

21、，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，則不同的安排方案 共有A. 504 種 B. 960 種 C. 1008 種 D. 1108 種 解析：分兩類：甲乙排 1、2號或 6、7 號 共有 2 A22A41A44種方法甲乙排中間 ,丙排 7號或不排 7號，共有 4 A22 （ A44 A31A31A33）種方法故共有 1008 種不同的排法排列組合 二項式定理1，分類計數(shù)原理 完成一件事有幾類方法，各類辦法相互獨立每類辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以 獨立的完成這個事情）分步計數(shù)原理 完成一件事，需要分幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法2，排列排列定義：從 n 個不同

22、元素中，任取 m（ m n）個元素（被取出的元素各不相同） ，按照一定的順 序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m個元素的一個排列。排列數(shù)定義；從 n 個不同元素中，任取 m（mn）個元素的所有排列的個數(shù)Anm公式m = n!An (n m)!規(guī)定 0！ =13，組合組合定義 從 n 個不同元素中，任取 m（m n）個元素并成一組，叫做從n 個不同元素中取出 m 個元素 的一個組合組合數(shù) 從 n 個不同元素中，任取 m（mn）個元素的所有組合個數(shù)mCnm=n!m!(n m)!性質(zhì)m n mCn=Cnm n1Cnm1n排列組合題型總結(jié)一 直接法1 . 特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，

23、5，6 這 6 個數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個（1）數(shù)字 1 不排在個位和千位（ 2）數(shù)字 1 不在個位，數(shù)字 6 不在千位。分析：（1）個位和千位有 5 個數(shù)字可供選擇 A52，其余 2 位有四個可供選擇 A42，由乘法原理： A52 A42 =2402特殊位置法（2）當(dāng) 1 在千位時余下三位有 A53 =60 ，1 不在千位時，千位有 A41 種選法，個位有 A41種，余下的有 A42，共 有 A41 A41 A42 =192 所以總共有 192+60=252二 間接法 當(dāng)直接法求解類別比較大時，應(yīng)采用間接法。如上例中（ 2）可用間接法 A64 2A53 A4

24、2 =252 例：有五張卡片，它的正反面分別寫 0 與 1 ，2 與 3， 4 與 5， 6 與 7 ，8 與 9 ，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝?起組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？分析：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù) C53 23 A33個，其中 0 在百位的有 C42 22 A22個，這是不合題 意的。故共可組成不同的三位數(shù) C53 23 A33- C42 22 A22 =432例： 三個女生和五個男生排成一排 （ 1 ） 女生必須全排在一起 有多少種排法（ 捆綁法）（2） 女生必須全分開 （插空法 須排的元素必須相鄰）（3）兩端不能排女生（4）兩端不能全排女生（5）如果三個女生占前

25、排，五個男生站后排，有多少種不同的排法二 插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例 3 在一個含有 8 個節(jié)目的節(jié)目單中， 臨時插入兩個歌唱節(jié)目， 且保持原節(jié)目順序， 有多少中插入方法？ 分析：原有的 8 個節(jié)目中含有 9 個空檔，插入一個節(jié)目后， 空檔變?yōu)?10 個，故有 A19 A110 =100 中插入方法。 三 捆綁法 當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。1四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有種（ C42 A33）,2，某市植物園要在 30 天內(nèi)接待 20 所學(xué)校的學(xué)生參觀， 但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較 多，要

26、安排連續(xù)參觀 2 天，其余只參觀一天，則植物園 30 天內(nèi)不同的安排方法有（ C219 A2189 ）（注意連續(xù)參 觀 2 天，即需把 30 天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有 C219 其余的就是 19 所學(xué)校選 28 天進 行排列）四 閣板法 名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例 5 某校準(zhǔn)備組建一個由 12 人組成籃球隊， 這 12 個人由 8 個班的學(xué)生組成， 每班至少一人， 名額分配 方案共 種 。分析：此例的實質(zhì)是 12 個名額分配給 8 個班，每班至少一個名額，可在 12 個名額種的 11 個空當(dāng)中插 入 7 塊閘板，一種插法對應(yīng)一種名額的分配方式，故有 C171種五 平均分推問題例： 6 本不同的書按一下方式處理，各有幾種分發(fā)？（1）平均分成三堆，2）平均分給甲乙丙三人3）一堆一本，一堆兩本，一對三本4）5）一人的一本，一人的兩本，一人的三本甲得一本，乙得兩本，丙得三本（一種分組對應(yīng)一種方案）分析：堆方式，故 6 本不同的書平均分成三堆方式有C6 CA43C2 =15 種A332，六本不同的書，平均分成三堆有 x 種，平均分給甲乙丙三人就有 x A33 種222C6C4C 21233， C16C25