微分幾何-陳維桓-習題答案2

1、習題答案2p. 58 習題3.12. 在球面上，命，. 對于赤道平面上的任意一點，可以作為一的一條直線經(jīng)過兩點，它與球面有唯一的交點，記為. (1) 證明：點的坐標是，并且它給出了球面上去掉北極的剩余部分的正則參數(shù)表示；(2) 求球面上去掉南極的剩余部分的類似的正則參數(shù)表示；(3) 求上面兩種正則參數(shù)表示在公共部分的參數(shù)變換；(4) 證明球面是可定向曲面. 證明. (1) 設(shè). 如圖，三點共線，故有使得. (1)由于，取上式兩邊的模長平方，得. 從而，. (2)由(1)可知，又，所以， . (3)因此給出了的正則參數(shù)表示. (2)令是兩點連線與赤道平面的交點. 同理，有，. (4)， . (5

2、)因此(4)給出了的正則參數(shù)表示.(3) 由(2)和(4)式可得，從而上面兩種正則參數(shù)表示在公共部分上的參數(shù)變換公式為，. (6)由(3)和(5)可知.所以參數(shù)變換是可允許的，并且是改變定向的參數(shù)變換. 注. 如果采用復坐標，令，則上面的參數(shù)變換可寫成. 這就是廣義復平面上的共形變換. (4) 在上采用(1)式給出的正則參數(shù)表示，在上采用正則參數(shù)表示則在公共部分的參數(shù)變換公式為，. (4)由于構(gòu)成的開覆蓋，并且，所以是可定向的. 5 寫出單葉雙曲面和雙曲拋物面作為直紋面的參數(shù)方程. 解. (1) 對單葉雙曲面，取腰橢圓，為準線. 設(shè)直母線的方向向量為. 則直紋面的參數(shù)方程為.由于的分量滿足單葉

3、雙曲面的方程，可得，.由得任意性得到，.因此. 取得，.(2) 對雙曲拋物面，令，則. 曲面的參數(shù)方程為 ，.p. 94 習題3.21. 證明：一個正則參數(shù)曲面是球面它的所有法線都經(jīng)過一個固定點. 證明. “”設(shè)是球面，參數(shù)方程為，球心為，半徑為. 則有，. (1)微分可得，. (2)所以，從而，即有函數(shù)使得. (3)這說明球心在它的所有法線上. “” 設(shè)的所有法線都經(jīng)過一個固定點. 則有函數(shù)使得(3)式成立，即有. 分別用作內(nèi)積，可得(2). 這說明，從而(1)式成立，其中(否則只是一個點，不是正則曲面)是常數(shù). 因此是以為球心，以為半徑的球面，或球面的一部分. 3. 證明：一個正則參數(shù)曲面

4、是旋轉(zhuǎn)面它的所有法線都與一條固定直線相交.證明. “”設(shè)是旋轉(zhuǎn)面，旋轉(zhuǎn)軸為軸. 它的參數(shù)方程為，.因為，所以上任意一點處的法線的參數(shù)方程為.由于軸的參數(shù)方程為，并且，所以與共面. 如果與處處平行，則，從而. 此時是垂直于軸的平面. 所以當不是垂直于軸的平面時，旋轉(zhuǎn)面的所有法線都與軸相交. “” 通過選取坐標系，不妨設(shè)固定直線為軸. 設(shè)的參數(shù)方程為，. 由條件，的所有法線都與軸相交，所以法線不能與軸平行，即，.因此，不能全為零. 不妨設(shè)在點鄰近. 通過參數(shù)變換，曲面的參數(shù)方程可以寫成，. (1)于是，.因為所有法線都與軸相交，即有. 這說明是一個僅僅依賴于的函數(shù). 設(shè)，其中. 作參數(shù)變換. 由上

5、式得，的參數(shù)方程(1)可以改寫為.這是一個旋轉(zhuǎn)面，由平面上的母線繞軸旋轉(zhuǎn)而得. 5. 設(shè)是圓錐面，是上的一條曲線. (1) 將曲線的切向量用的線性組合表示出來；(2) 證明：的切向量平分了和的夾角. (1) 解. 的參數(shù)方程為.的切向量為(2) 證明. 因為，在曲線上每一點處，.由上可知. 所以，；，. p. 104 習題3.32. 設(shè)球面的參數(shù)方程是.求它的第一基本形式. 解. 記. 則，.所以， ，從而.5. 設(shè)在曲面上一點，由微分的二次方程 (1)確定了在該點的兩個切方向. 證明：這兩個切方向彼此正交函數(shù)滿足 ，其中是曲面的第一基本形式. 證明. 由條件，二次方程(1)有兩個互異的實根和

6、，因此可以分解為兩個一次因子的乘積：. (2)其中是關(guān)于變量的函數(shù). 因為上式是關(guān)于文字的二次多項式，比較兩邊的系數(shù)，得，. (3)由(2)可知(1)所確定兩個切方向為，. (4)這兩個切方向彼此正交 (課本(3.18) (由(4)式) . (由(3)式) 8. 已知曲面的第一基本形式為. (1) 求曲線與的交角；(2) 求曲線，和所圍成的曲邊三角形的各個邊長和各個內(nèi)角. (3) 求曲線，和所圍成的曲邊三角形的面積. 解. (1) 已知. 因為交點為. 在交點處. 對于，；對于，. 所以它們的切方向滿足.于是它們的交角為，或. (2) 不妨設(shè)常數(shù). 如圖，在曲紋坐標下，與的交點為，與的交點為，

7、與的交點為. 因為是計算內(nèi)角，在點. 同理，所以內(nèi)角. 在點，所以.在點，.所以，. 曲線，的弧長分別為，.注. 在90版中，本題為，故，.(3) 因為，所以曲邊三角形的面積 p. 110 習題3.41. 設(shè)空間曲線以弧長為參數(shù)，曲率是. 寫出它的切線曲面的參數(shù)方程，使得相應的參數(shù)曲線構(gòu)成正交曲線網(wǎng). 解. 設(shè)曲線的Frenet標架是. 則它的切線曲面參數(shù)方程可寫為.由，可得它的第一基本形式. (1)直母線(即-曲線)的正交軌線的微分方程為，即. 為此，作參數(shù)變換，. 則逆變換為，切線曲面的參數(shù)方程為.在新參數(shù)下，. 第一基本形式化為.所以參數(shù)曲線構(gòu)成正交曲線網(wǎng). 也可將，直接代入(1)式得到

8、上式：.3. 求曲線的參數(shù)曲線的正交軌線，其中是常數(shù). 解. ，. 第一基本形式為.-曲線的正交軌線的微分方程為，即. 解這個微分方程：，得到-曲線的過的正交軌線為.-曲線的正交軌線的微分方程為，即. 過的正交軌線為. p. 110 習題3.51. 證明：在懸鏈面，與正螺面，之間存在保長對應. 證明. 懸鏈面的第一基本形式為 . 正螺面的第一基本形式為 .對正螺面作參數(shù)變換，令. 則，參數(shù)變換是可允許的. 由于，正螺面的第一基本形式化為.根據(jù)定理5.3，在懸鏈面與正螺面之間存在保長對應. 對應關(guān)系式為. p. 110 習題3.51. 判斷下列曲面中哪些是可展曲面？說明理由. (1) ；(2)

9、；(3) ； (4) .解. (1) .所以它是可展曲面，因為它是正則曲線()的切線面. (2) ，其中是圓柱螺線，. 所以它是可展曲面. (3) 令，.則，直接計算得. 當時，它是馬鞍面，所以不是可展曲面.當或時，它是平面，所以是可展曲面.當且時，它不是正則曲面.(4) 令，. 則. 由于，它不是可展曲面. 2. 考慮雙參數(shù)直線族，其中是直線族的參數(shù). (1) 求參數(shù)和之間的關(guān)系，使得由此得到的單參數(shù)直線族是一個可展曲面的直母線族；(2) 確定相應的可展曲面的類型. 解. (1) 對于固定的參數(shù)，該雙參數(shù)直線族中的一條直線可以寫成點向式：.設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系為. 則得到一個單參數(shù)直線族，它們構(gòu)成的直紋面的方程為.于是是可展曲面，其中是任意常數(shù). 即所求的函數(shù)關(guān)系為.(2) 此時的參數(shù)方程為，其中，.由于，不是柱面. 如果是錐面，則有函數(shù)使得，其中為常向量. 于是，從而，是常數(shù). 由此得，矛盾. 因此是切線曲面. 事實上，記，其中. 則.取新的準線. 則.于是的參數(shù)