點(diǎn)估計的評價標(biāo)準(zhǔn)ppt課件

1、8.2 點(diǎn)估計的評價標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計的評價標(biāo)準(zhǔn) 對于同一個未知參數(shù), 不同的方法得到的估計量可能不同,于是提出問題應(yīng)該選用哪一種估計量?用什么標(biāo)準(zhǔn)來評價一個估計量的好壞?常用常用規(guī)范規(guī)范(1) 無偏性(3) 一致性(2) 有效性)(E 定義定義 設(shè)設(shè) ),(21nXXX是總體X 的樣本是總體參數(shù) 的估計量),(21nXXX則稱是 的無偏估計量. 存在,)(E都有且對于任意 無偏性),(21nXXX是總體X 的樣本,證明: 不論 X 服從什么分布,nikikXnA11是k的無偏估計量.證證nikinikikXEnXnEAE11)(1)1()(例例1 設(shè)總體設(shè)總體X 的的 k 階矩階矩)(kkXE存在因

2、此niXEkki, 2 , 1)(由于kknn1特別地, 樣本二階原點(diǎn)矩niiXnA1221 是總體二階的無偏估計量)(22XE原點(diǎn)矩是總體期望 E( X ) 的無偏估計量X樣本均值例例2 設(shè)總體設(shè)總體 X 的期望的期望 E( X )與方差與方差 D( X )存在存在, ),(21nXXX是 X 的一個樣本, n 1 (1) 不是 D( X ) 的無偏估計量; niinXXnS122)(1(2) 是 D( X ) 的無偏估計量. niiXXnS122)(11證證212121)(1XXnXXnniinii前已證. 證明證明2)()(,)()(XDXDXEXEiinXDXEXE2)(,)()()(

3、)(1)(121212XEXEnXXnEniinii因此)()(2222n221nn212)(11niiXXnE故 證畢.例例3 設(shè)設(shè)),(21mXXX是總體 X 的一個樣本 ,X B ( n , p ) n 1 , 求 p 2 的無偏估計量. 解解 由于樣本矩是總體矩的無偏估計量以及由于樣本矩是總體矩的無偏估計量以及數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì), 只要將未知參數(shù)表示成只要將未知參數(shù)表示成總體矩的線性函數(shù)總體矩的線性函數(shù), 然后用樣本矩作為總體矩然后用樣本矩作為總體矩的估計量的估計量, 這樣得到的未知參數(shù)的估計量即為這樣得到的未知參數(shù)的估計量即為無偏估計量無偏估計量. npXEX)(令

4、)1 ()()(12212pnpnpXEXmmiiXXmnnpmii122211因此, p 2 的無偏估計量為) 1() 1(11nnXXmmiii故XXmpnnmii12221)(例例4 設(shè)總體設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為00, 01);(xxexfx0為常數(shù)),(21nXXX為 X 的一個樣本證明X與,min21nXXXn都是的無偏估計量證證 )(1XEEX故)()(XEXE是 的無偏估計量.X,min21nXXXZ令000)(zenzzfnzZ即nZEnEZ)(0100zeznz)(nZE故 nZ 是 的無偏估計量.)()()(121zXPzXPzXPnniizXP1)(1 (1

5、),(1)(21zXzXzXPzFnZ例例5 設(shè)總體設(shè)總體 X N ( , 2),),(21nXXX為 X 的一個樣本求常數(shù) k , 使niiXXk1|為 的無偏估計量niiniiXXEkXXkE11|解解注意到XXi是 X1, X2, Xn 的線性函數(shù), niiXXnXXnXX) 1(1210)(XXEi21)(nnXXDi21, 0nnNXXidzennzXXEnnzi2212121|)(|dzennznnz221201212nn122 niiniiXXEkXXkE11|故nnkn122令)1(2nnk),(2111nXXX都是總體參數(shù) 的無偏估計量, 且)()(21DD則稱12比更有效.

6、定義定義 設(shè)有效性有效性),(2122nXXX所以所以,X比比,min21nXXXn更有效更有效.是是 的無偏估計量的無偏估計量,問哪個估計量更有效？問哪個估計量更有效？ X與,min21nXXXn由前面例由前面例4 可知可知, 都都00, 01);(xxexfx0為常數(shù)為常數(shù)例例6 設(shè)設(shè) 密度函數(shù)為密度函數(shù)為),(21nXXX為為 X 的一個樣本的一個樣本,221),min(nXXXnDnXD2)(解解 ，例例7 設(shè)總體期望為設(shè)總體期望為 E( X )= , 方差方差 D( X )= 2 ),(21nXXX為總體X 的一個樣本設(shè)) 1 (常數(shù). 11niic., 2 , 11ninci證明i

7、niiXc11是 的無偏估計量(2) 證明X比iniiXc11更有效證證: (1) niiiniicXEcE111)()(2) niiiniicXDcD122121)()(ncnii112)(1) (12DnDniinjijiniicnccc1212212)(結(jié)論結(jié)論算術(shù)均值比加權(quán)均值更有效.而njijiniiniicccc1122121例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一樣本.213212211212143413132XXXXXX都是 的無偏估計量由例7(2) 知3最有效.羅羅克拉美克拉美Rao Cramer） 不等式不等式假設(shè)是參數(shù) 的無偏估計量, 那么)(),(

8、ln1)(02DXpnED其中 p ( x , ) 是總體 X 的概率分布或密度函數(shù)， 稱為方差的下界.)(0D 當(dāng) 時, 稱 為達(dá)到方差下界的無偏估計量, 此時稱 為最有效的估計量, 簡稱有效估計量.)()(0DD例例8 設(shè)總體設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為00, 01);(xxexfx),(21nxxx為 X 的一個樣本值.求 的極大似然估計量，并判斷它是否是達(dá)到方差下界的無偏估計量.0為常數(shù)解解 由似然函數(shù)由似然函數(shù)niixneL11)(niixnL1ln)(ln21)(lnddniixnL0令xxnnii11 的極大似然估計量為XXnnii11它是 的無偏估計量.nXnDDnii

9、21)1()(而xxfln),(ln故 是達(dá)到方差下界的無偏估計量.X2221),(lnxxf2221),(lnXEXfE21nXfnE22),(ln1)(XD0)(limPn定義定義 設(shè)設(shè) 是總體參數(shù)是總體參數(shù) 的的),(21nXXX則稱是總體參數(shù) 的一致(或相合)估計量.估計量. 若對于任意的 , 當(dāng)n 時, 依概一致性一致性率收斂于 , 即,0一致性估計量僅在樣本容量 n 足夠大時,才顯示其優(yōu)越性.關(guān)于一致性的兩個常用結(jié)論關(guān)于一致性的兩個常用結(jié)論1. 樣本樣本 k 階矩是總體階矩是總體 k 階矩的一致性估計量階矩的一致性估計量. 2.設(shè) 是 的無偏估計量, 且 , 那么0)(limDn 是 的一致估計量.由大數(shù)定律證明用切貝雪夫不 等式證明矩