新型并聯(lián)機床數(shù)控系統(tǒng)插補算法的研究

1、新型并聯(lián)機床數(shù)控系統(tǒng)插補算法的研究1 并聯(lián)機床結(jié)構(gòu)布局并聯(lián)機床(又稱為虛擬軸機床)是二十世紀九十年代中期問世的一種新型結(jié)構(gòu)數(shù)控機床，它以并聯(lián)機構(gòu)作為主進給機構(gòu)，具有加工精度高、結(jié)構(gòu)抗振性好、切削穩(wěn)定性好等特點。并聯(lián)機床與傳統(tǒng)數(shù)控機床的本質(zhì)區(qū)別在于其刀具在工作空間的運動是關(guān)節(jié)空間伺服運動的非線性映射(虛實映射)。一個典型的數(shù)控系統(tǒng)中包含了插補器和伺服控制器，而并聯(lián)機床的插補器是以運動學(xué)逆解作為軌跡計算的基礎(chǔ)。 圖1所示為一種新型并聯(lián)機床主進給機構(gòu)的結(jié)構(gòu)布局簡圖。該并聯(lián)機床的主體為一四自由度空間并聯(lián)機構(gòu)，該機構(gòu)由固定平臺(A1，A2，A3)和動平臺(B1，B2，B3)組成。固定平臺與動平臺之間通過

2、四條驅(qū)動腿聯(lián)接。其中，周圍的三條驅(qū)動腿(長度分別為l1、l2、l3)與固定平臺之間通過虎克鉸聯(lián)接，與動平臺之間通過球鉸聯(lián)接；中間的驅(qū)動腿(長度為l4)一端與固定平臺中心O剛性固聯(lián)，另一端通過球鉸與動平臺聯(lián)接。 2 并聯(lián)機床運動學(xué)逆解數(shù)學(xué)模型建立圖1所示坐標系。基礎(chǔ)坐標系o-xyz的原點位于固定平臺中心，z 軸垂直于固定平臺。動平臺的姿態(tài)可由以下三個連續(xù)旋轉(zhuǎn)得到:繞基礎(chǔ)坐標系的z 軸旋轉(zhuǎn) 角，繞變換后的x軸旋轉(zhuǎn)角，再繞變換后的z軸旋轉(zhuǎn)角。其位置逆解表達式為 式中，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，可表示為 速度逆解表達式為 式中，G為速度傳遞矩陣，它反映了控制空間向工作空間速度傳遞的廣義傳動比。 3 并聯(lián)機床插補算

3、法分析3.1 插補方案并聯(lián)機床的CNC系統(tǒng)軟件一般采用粗插補與精插補分開進行的方式(見圖2)，即首先在工作空間中對直線、圓弧軌跡段以及由標準CAD/CAM刀位文件描述的刀位軌跡進行粗插補，得到刀具軌跡上離散的控制點，運用式(1)、(2)對離散點序進行虛實變換，計算出關(guān)節(jié)空間各伺服驅(qū)動腿的位置和速度，將其送入PMAC(多軸運動控制器)，然后由PMAC提供的PVT(位置、速度和時間)插補模式對伺服軸上的離散點進行精插補。 3.2 粗插補算法現(xiàn)以三次NURBS曲線為例對粗插補算法進行分析。由于NURBS曲線軌跡的計算較復(fù)雜，為提高NURBS曲線插補的實時性，在插補前需進行必要的預(yù)處理，以減少實時插補

4、的計算量。將NURBS曲線用分段矩陣形式表示并化簡，則第i段曲線的化簡結(jié)果可表示為 (3)式中，系數(shù)a、b、c、d、a1、b1、c1、d1由控制頂點和權(quán)因子決定。 根據(jù)CNC系統(tǒng)采樣插補工作原理，實時插補的任務(wù)是根據(jù)給定的進給速度產(chǎn)生插補直線段用于逼近實際曲線。為使加工面上的切削速度保持恒定，采用直接對加工曲面進行插補的策略，并假定在一個插補周期內(nèi)切削路徑上的進給步長為VT(V為進給速度，T為插補周期)。對插補過程討論如下:假設(shè)在當(dāng)前插補點pi(uj)處有一微小參數(shù)增量u，對應(yīng)于該參數(shù)增量的弦長為L，則弦長為VT時的參數(shù)增量可表示為 (4)由于u為微量，因此有L/u|pi(u)|/u=|pi(

5、u)|(pi(u)的表達式為一段已知的三次NURBS曲線)，為減少插補過程的計算量，|pi(u)|的表達式可在插補之前求得，這樣在插補過程中就省去了對曲線的求導(dǎo)過程。令Ri(u)=1/|pi(u)|，則對第i段曲線進行插補的參數(shù)表達式為 圖3所示為對一凸曲線進行插補的幾何模型，圖3a中pi(uj+1)為期望插補點，pi(uuj+1)為實際插補點，直線pi(uj)q為點pi(uj)處的切線，當(dāng)切線pi(uj)q與弦pi(uj)pi(uj+1)平行時，實際插補進給步長|pi(uj)pi(uj+1)|與期望插補進給步長|pi(uj)pi(uj+1)|相等。由于pi(uj+1)為待求的期望插補點，弦p

6、i ( uj)pi(uj+1)的方向未知，因此用曲線段pi(uj)pi(uj+1)的中間點pi(uj+uj+1)/2處的切線近似取代與弦pi(uj)pi(uj+1)平行的切線(見圖3b)，這樣式(5)可用更精確的表達式表示為 (6)式中，uj+1為待求插補點處的參數(shù)值，它是一未知量。由于每一插補段均為微小段，連續(xù)兩段插補段之間的參數(shù)增量變化不大，因此可將式(6)表示為 (7)式(7)即為插補運算的最終表達式。 3.3 精插補算法PMAC(多軸運動控制器)提供了多種精插補模式。PVT插補模式(又稱為位置、速度和時間運動模式)可為用戶提供更為直接的控制軌跡形狀。在PVT模式下，軌跡段插補周期T為一

7、設(shè)定的常數(shù)，加速度與時間成線性關(guān)系，因此位置是時間的三次曲線函數(shù)。在給定PVT段的位置、速度和加速度隨時間的變化關(guān)系可表示為 a(t)=a0+t(8)4 并聯(lián)機床插補誤差分析并聯(lián)機床的插補誤差可分為在工作空間的粗插補誤差和在控制空間(關(guān)節(jié)空間)的精插補誤差。并聯(lián)機床的粗插補誤差主要與插補周期、速度對插補精度的影響有關(guān)。由于按上述算法得到的所有插補點均在曲線上，無徑向誤差，因此誤差主要來源于進給步長逼近實際曲線所引起的弓高誤差和實際切削進給步長與期望切削進給步長之間的誤差。插補的弓高誤差h與步長L以及曲率半徑之間的近似關(guān)系式為 (9)由于曲率半徑計算相當(dāng)復(fù)雜(尤其對于NURBS曲線)，因此可選取

8、曲線段的中點和弦的中點之間的距離近似表示弓高誤差，即 (10)實際進給步長與期望進給步長之間的長度誤差為 的大小將影響切削進給速度的平穩(wěn)性，從而影響加工表面質(zhì)量。 并聯(lián)機床的精插補誤差主要與虛實映射的非線性特性及PVT插補有關(guān)。由前述插補方法可知，并聯(lián)機床首先在工作空間進行粗插補，通過虛實映射變換將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間，最后由PMAC進行PVT精插補。這種插補方法雖能保證工作空間離散插補點的精確性，但由于PVT插補模式轉(zhuǎn)換到工作空間將產(chǎn)生復(fù)雜的軌跡曲線，因此在兩離散點之間將引起實際軌跡與理想軌跡之間的差異。設(shè)PVT模式精插補產(chǎn)生的誤差為C(L1，L2，L3，L4)，在工作空間形成的對應(yīng)誤差為q(

9、Z，)，由此可得 式中，M-1為由伺服軸PVT插補誤差轉(zhuǎn)換到刀具軌跡誤差的線性映射矩陣。5 插補實例設(shè)第i段插補曲線為pi(u)=3u/(u3+1)，2u2/(u33+1)，u3/(u3+1)(0u1)，假定插補期望進給步長VT=0.04mm，周期T=0.01s，允許弓高誤差h0.001mm。運用式(7)方法在刀具作業(yè)空間對曲線進行粗插補，并分析計算插補誤差。圖4所示為分別采用兩種插補方法(對刀位軌跡(球形刀具的球心軌跡)進行插補和直接對加工曲面進行插補)時切削進給速度波動的對比情況(圖中實線1表示期望切削進給速度曲線，點劃線2表示直接對加工曲面進行插補時的切削進給速度曲線，虛線3表示對刀具球心軌跡進行插補時的切削進給速度曲線)：圖5所示為分別采用兩種插補算法(本文提出的插補算法和參數(shù)均勻分割插補算法(u=0.05)時弓高誤差變化曲線的對比情況(圖中實線1表示本文提出的插補算法，虛線2表示參數(shù)均勻分割插補算法)。由圖可見，本文提出的插補算法可實現(xiàn)切削進給速度的近似恒定，提高插補弓高誤差變化的平穩(wěn)性，從而可提高并聯(lián)機床的加工質(zhì)量。 6 結(jié)語本文提出一種基于粗、精插補策略的新型并聯(lián)機床插補算法。在粗插補中采用了直接對加工曲面進行插補