第二節(jié)(平面向量的定理

1、第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示強(qiáng)取基知識(shí)能否憶起一、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1. 平面向量基本定理如果e1, e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)?i, d 使 a =入ei+ )2e2.其中，不共線的向量 ei, e?叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2. 平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3. 平面向量的坐標(biāo)表示(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i, j作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) x, y,使a = x i+ yj,把有序數(shù)對(duì)(x, y)叫

2、做向量a的坐標(biāo)，記作a= (x, y), 其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo).TTT設(shè)0A = xi + yj，則向量0A的坐標(biāo)(x, y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)，即若 0A = (x, y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(x, y),反之亦成立.(0是坐標(biāo)原點(diǎn))二、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算1. 向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè) a = (xi, yi), b= (X2, y?)，貝U a + b= (xi+ x?, 丫丄+ y?), a b= (x x?, y一y?), ?a=(入x 入).2. 向量坐標(biāo)的求法(1)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).HT 設(shè) A(X1, y1), B(

3、X2, y?)，貝y AB = (x? X1, y? y), | AB |= x?冷 ?+ y?如 .已知向量 a= (2,1) , b= (x, 2),若 a / b,貝U a+ b 等于()三、平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) a =(冷，y”, b=(X2,旳？，其中0若 a/ b? xy? x?y1 = 0.小題能否全取_T T11. (2012 廣東高考)若向量 AB = (1,2), BC = (3,4)，則 AC =()A . (4,6)B . ( 4, 6)C. ( 2, 2)D . (2,2)T T T T解析：選 A / AC = AB + BC , AC = (1,2) + (3

4、,4) = (4,6).A (-2, - 1)C (3, - 1)B (2,1)D (- 3,1)解析：選 A 由 a II b可得 2X ( 2) 1X x= 0，故 x=- 4,所以 a+ b= (-2, - 1).3.（教材習(xí)題改編）已知兩點(diǎn)A（4,1）, B（7，- 3），則與AB同向的單位向量是B.d£- D解析：選 A/ A(4,1), B(7,- 3),. AB = (3, - 4),C.-4, IAB同向的單位向量為=I'! 4、| AB | C' 5T TT4 .在平行四邊形 ABCD 中，若 AB = (1,3), AC = (2,5)，則 AD

5、= 解析：aD = BC = Ac - AB = (2,5) - (1,3) = (1,2),與BD=BD = AD - AB=(1,2) - (1,3)=(0,-1).答案：(1,2)(0, - 1)5 .梯形 ABCD 中，AB I CD , AB= 2CD , M , N 分別是 CD , =a , aD = b.若 mN = ma+ nb,則=.解析:：MN=MD + DA+AN 一 *a-b+碁4a- b,424中點(diǎn)，設(shè)AB m=14,nn = 1.4.m答案：41.基底的不唯一性只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量a都可被這個(gè)平面的一組基

6、底 e1, eg線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯 一的.2.向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向的信息也有大小的信息.iis頻考點(diǎn)襄遇美GAOF1N KA,OI>lfliN平面向量基本定理及其應(yīng)用AB=b,若 AB=2 DC，則 AO =（用BD相交于點(diǎn)向量a和b表自主解答tAB = 2DC , AZDOCsOA,且0C = 2 Ao例1 （2012蘇北四市聯(lián)考）如圖，在四邊形 ABCD中，AC和 O,設(shè) Ad = a,1CQ解析：選D . 1T T T TT T T設(shè) CM = mCB = m( A

7、B AC )(0w mW 1)，貝V AM = AC + CM=(1 - m) AC +m Ab , AN=1 aM = mAB + 1衛(wèi)AC，所以入+ 尸羅 +1-m 12 2'2 1答案3a+ -b由題悟法用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，再用該基底表示向量，也就是利用已知向 量表示未知向量，其實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算.以題試法1. （2012南寧模擬）在厶ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，AN =入AB + AC，貝U入 + 的值為（平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算ll典題導(dǎo)入例2 （1）（2012西城期末）已知向量a =

8、 （ 3, 1）, b= （0, - 2）.若實(shí)數(shù)k與向量c滿足a + 2b= kc,則c可以是（）A . ( 3, - 1)C. (- 3, - 1)B . ( - 1,- 3)D . (- 1, .3)已知 A(-2,4), B(3, - 1), C(-3, - 4).設(shè) AB = a, BC = b, CA = c.求 3a + b- 3c;求滿足a= mb+ nc的實(shí)數(shù) m, n.自主解答(1) -a= ( .3, 1), b= (0, - 2),a+ 2b= ( .3,- 3)一 3(- 1, .3).(2)由已知得 a= (5, - 5), b= (-6, - 3), c= (1,

9、8).3a+ b-3c= 3(5 , - 5) + (- 6,- 3) - 3(1,8)=(15 - 6- 3, - 15- 3 -24)=(6, - 42).5匕+ nc= ( 6m+ n,- 3m+ 8n),6m+ n= 5,3 m + 8n = 5,m=- 1,解得n = - 1.答案(1)D題芻變MN的坐標(biāo).本例中第 題增加條件CM = 3c, ON = 2b,求M , N的坐標(biāo)及向量 解：'.cM = oM - OC = 3c,/oM = 3c+ OC = (3,24) + (- 3,- 4) = (0,20).T T TM(0,20).又/ CN = ON - OC =-

10、2 b,ON = -2b+ OC = (12,6) + (-3, - 4) = (9,2),N(9,2) .MN = (9 , - 18).|皿 1平面向量共線的坐標(biāo)表示i典題導(dǎo)入例3(2011廣東高考)已知向量a= (1,2), b= (1,0),c=(3,4).若入為實(shí)數(shù)，(a +血)/c,貝U L ()1A.1C. 1D . 2自主解答1可得 a + ?b= （1 + 人 2），由（a + ?） / 得（1 + ? x 4 3x 2= 0，所以?=.答案B一題多變/ 、在本例條件下，問是否存在非零常數(shù)入使a+血和a-處平行？若平行，是同向還是反向?解： V+ ?b= (1 +入 2),

11、a- ?c= (1- 3 入 2- 4?),若(a + ?) /(a ?),(1 + ?(2 4? 2(1 3? = 0.1.*'a+ ?b= (2,2)與 a ?c= ( 2, 2)反向.即存在?= 1使a+血與a ?平行且反向.C.入右一1D .入 u 1解析：選DA, B, C三點(diǎn)共線，.存在實(shí)數(shù)t,滿足AB = t AC，即 滄+ b=ta+ b,又a, b是不高分障礙襄硝除GAOFEN ZHANi&Al vOPOCHU共線的向量,攻重點(diǎn)補(bǔ)短板導(dǎo)滿分墩學(xué)思想活用一巧得分喺列之（六）方程思想在平面向量中的應(yīng)用典例如圖，在平 行四邊形ABCD中，M, N 分別為DC，BC的

12、中點(diǎn)，已知AM = c, AN = d,試用c, d表示AB , AD解在ADM中,AD=AM在ABN中，1AB = AN BN = d- 2 AD .2由得AB = 2(2d c),AD = 3(2 c d).題后悟道本題求解利用了方程思想， 首先利用三角形法則表示出向量 AB , AD，然后解關(guān)于 AB ,AD的方程組，方程思想在利用平面向量基本定理求參數(shù)經(jīng)常用到所謂方程思想，是指在解決問題時(shí)， 用事先設(shè)定的未知數(shù)表示問題中所涉及的各量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，求出未知數(shù)及各量的值,或者用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.針對(duì)訓(xùn)練如圖所示，在 ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且

13、 aN = 1 NC ,AC = b,試用基底a, b表示向量aE .AC = 3b, AM = 2 AB = p，由 N , E, B 三點(diǎn)共線知,TT=m AN + (1 m) ABBN與CM相交于點(diǎn)E,設(shè)AB = a,1解：易得AN=-存在實(shí)數(shù)m,滿足aEi=§mb+ (1 m) a.T T由C, E, M三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù) n,滿足AE = n AM+ (1 n) AC =如 + (1 n)b.、1 1所以 §mb+ (1 m) a= gn a+ (1 n)b.11 m = ?n, 由于a, b為基底，所以1§m= 1 n,解得3m=5,4n= 5，所以A

14、E拒樂狠高手低刖.解題高效IKJIA級(jí)全員必做題1 .在 ABC中，點(diǎn)T TTTP 在 BC 上，且 BP = 2 PC，點(diǎn) Q 是 AC 的中點(diǎn)，若 PA = (4,3), PQ = (1,5),則BC等于（）A ( 2,7)B ( 6,21)C (2, 7)解析：選BD (6, 21)3 PA = (6,30) (12,9) = ( 6,21) 2. 已知平面向量 a= (1,2), b= ( 2, m)，且 a/ b,貝U 2a+ 3b=()A ( 2, 4)B ( 3, 6)C ( 4, 8)D ( 5, 10)解析：選C由 a = (1,2),b= ( 2, m),且 a/ b,得

15、1 x m= 2x ( 2)? m= 4,從而 b= ( 2,那么 2a+ 3b = 2(1,2) + 3( 2, 4) = ( 4, 8) T T TB, C在一條直3.（2013昆明模擬）如圖所示，向量 OA = a , OB = b , OC = c 線上，且AC = 3CB ,則（）31c=尹©b c= a+ 2bc= a+ 2b解析：選A13,即 c=尹 + 2 b. AC=3 CB , OC OA= 3( OB OC). OC = 2OA+14 .已知點(diǎn)A(2,1),直線OC與直線B(0,2), C( 2,1) , O(0,0).給出下面的結(jié)論：AB + BC = CA

16、: OA + OC =BA平行；OB : AC = OB 2 OA 淇中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（解析：選 C / OC = ( 2,1),4TT TBA = (2, 1) , OC / BA ,A, B, C, O不共線, OC / AB.正確；/ AB + BC = AC，錯(cuò)誤;T T ；,正確；AC = （ 4,0），正確./ OA + OC = (0,2) = O/ OB 2 OA = ( 4,0),b= （m,3m 2）,且平面內(nèi)的任一向量5. （2012鄭州模擬）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a = （1,2）,c都可以唯一的表示成 c=淪+ pb（入為實(shí)數(shù)），貝U m的取值范圍是（A

17、. ( s ,2)D . ( s ,2)U (2 , +s )解析：選D由題意知向量a, b不共線,故3m 2解得m 2.6 .在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O , E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與 CD交于點(diǎn)1 1A.4 a+ 2 bC.1 a+ 4bF.若 AC = a , BD = b,則 AF =()2 1B.3a+3 b1 2解析：選B由已知得DE = 1EB ,D.3a + 3b又VZDEF sEA,，DF = 3AB.1 2 即 DF = 3DC./CF = 3CD.2 2 CF = 3CD = 3(0D 0C )AF=AC+CF1121=a+3b3a=3a+3b7.

18、 (2012 洛陽質(zhì)檢)已知向量 a= 8, 2 , b= (x,1)，其中 x>0，若(a 2b)/ (2a + b)，則 x =.解析：a 2b=匹2x, X 2 ), 2a+ b= (16+ x, x + 1),由題意得(8 2x)(x+ 1)= g 2 ；(16 + x),整理得 x2= 16,又 x>0,所以 x= 4.答案：48. (2013 九江模擬)P = a|a = ( 1,1) + m(1,2), m R , Q = b|b= (1 , 2) + n(2,3), n R是兩個(gè)向量集合，則Pnq等于.解析：P 中，a= ( 1 + m,1+ 2m), Q 中，b=

19、 (1+ 2n, 2+ 3n).m= 12, 得n= 7.1 + m= 1 + 2n, 則1 + 2m= 2 + 3n.此時(shí) a= b= ( 13, 23).答案： 13 , 23 9. 已知向量 OA = (1, 3) , OB = (2 , 1) , OC = (k+ 1, k 2),若 A , B , C 三點(diǎn)能構(gòu)成三角形, 則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是.解析：若點(diǎn)A, B, C能構(gòu)成三角形,則向量AB , AC不共線.VAB = OB OA = (2, 1) (1, 3) = (1,2),AC = OC OA = (k+ 1, k 2) (1, 3) = (k , k+ 1),1X (k+

20、1) 22 0,解得心 1.答案：kz 110 .已知 A(1,1) , B(3 , 1) , C(a , b).若A, B, C三點(diǎn)共線，求a, b的關(guān)系式；若AC = 2 AB，求點(diǎn)C的坐標(biāo).1),A,B, C三點(diǎn)共線,2(b 1) + 2(a 1) = 0，即 a + b = 2. T T'/AC = 2 AB ,a 1, b 1) = 2(2 , 2).fa 1 = 4,|a= 5,解得|b 1 = 4,| b= 3.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5, 3).11.已知 a= (1,0), b= (2,1).求：(1) |a + 3 b|;當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，ka b與a + 3b平行，平行時(shí)它們

21、是同向還是反向?解：(1)因?yàn)?a= (1,0), b= (2,1)，所以 a+ 3b= (7,3),故 |a + 3 b|= '72 + 32 = 58.(2) ka b= (k 2, 1) , a+ 3 b= (7,3),因?yàn)閗a b與a+ 3b平行，1所以 3(k 2) + 7 = 0,即 k= 此時(shí) ka b= (k 2, 1) = |, 1 ,a + 3b= (7,3),則 a+ 3b= 3(ka b),即此時(shí)向量a + 3b與ka b方向相反.12 .已知 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2) , B(4,6) , OM = t1 OA + t2 AB .(1)求點(diǎn)M在第二或第三象

22、限的充要條件;求證：當(dāng)t1= 1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A , B , M三點(diǎn)都共線. T T T解：(1) OM = t1 OA + t2 AB = t1 (0,2) + t2(4,4) = (4t2,2t1+ 4.當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有4t2<0 ,2t1 + 4t2 豐 0 ,解：(1)由已知得 AB = (2, - 2), AC = (a 1, b 故所求的充要條件為t2<0且t1 + 2t2工0.OB OA = (4,4),當(dāng) t1= 1 時(shí)，由(1)知 oM = (4t2,412+ 2).T T TTAM = OM OA = (4t2,4t2)= t2(4,4) =

23、 t2 AB ,不論t2為何實(shí)數(shù)，A, B, M三點(diǎn)共線.日級(jí)重點(diǎn)選做題1如圖，在平行四邊形 ABCD中，0是對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E,則下列說法錯(cuò)誤A . AC = AB + ADC. Ao = 1 AB + 2 AD的是（）T T BD = AD AE=5 AB+ADN是線段0D解析：選D 由向量減法的三角形法則知，BD = IS AB ，排除B;由向量加法的平行四邊形法則知，AC =AB + AD , AO = 2 AC = 2 AB + 2 AD，排除 A、C.西四校聯(lián)考）在厶ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且上（與點(diǎn)C、D不重合），若AO = x

24、 AB + （1 x） AC，貝U x的取值范圍是2. (2012BC = 3CD，點(diǎn)0在線段CDA. 0, 1B.0,1C. - 2, 0D.2,0解析：選D 依題意，設(shè)BO = XBC，其中1< ?4,則有AO +BO = AB+ 入BC = ABAC AB ) = (1 力T T又 AO = x AB + (1 x)T TAB + 入AC .Ac，且AB , AC不共線，于是有 x= 1 入3, 0 ,即卩x的取值范圍是3 .(2012東營(yíng)模擬)已知PABC內(nèi)一點(diǎn)，且3 AP + 4 BP + 5CP = 0.延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，若ABT一曰 TT=a, AC = b,用 a,

25、b表示向量 AP , AD . TTT TTTT 解：vBP = AP AB = AP a, CP = AP AC = AP-b,又 3 AP + 4 BP + 5 CP = 0,3 AP + 4( AP a) + 5( AP b)= 0,15化簡(jiǎn)，得 AP = §a+ 12b.15設(shè) AD = t AP (t )，則 AD =卞 a+b.又設(shè)BD=k BC(k R),BC = AC - AB=b a，得TT T T TBD = k(b a).而 AD = AB + BD = a+ BDAD = a + k( b a) = (1 k) a+ kb.1(3t =1 k,34由，得解得t

26、= 3.1靜=k，代入，有45AD = 9 a+ 9b.I數(shù)味備遞甌1.已知向量 a= C 3, 1), b= (sin a m, cos a，且a/ b,則實(shí)數(shù) m的最小值為()A . 2B . 1C. .2D . 3解析：選 A / a / b,.3cos a sin a+ m= 0./ m= sin a 3cos a= 2sin2 .若a, B是一組基底，向量Y= xa+ y x, y R),則稱(x, y)為向量丫在基底a, B下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p= (1, 1), q= (2,1)下的坐標(biāo)為(一2,2)，貝U a在另一組基底 m= ( 1,1), n = (1,2)下的坐

27、標(biāo)為()A . (2,0)B . (0, 2)C . ( 2,0)D . (0,2)解析：選D t a在基底p, q下的坐標(biāo)為(2,2)，即a= 2p+ 2q= (2,4).令 a = x m + y n = ( x+ y, x+ 2y),x+ y= 2,x= 0,故/即fx+ 2y= 4,y= 2.3如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0, 0), B(4,1), C(6,8).(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo);若DE = 2 EC , F為AD的中點(diǎn)，求AE與BF的交點(diǎn)I的坐標(biāo).-4 I解：(1)設(shè)點(diǎn) D(x, y),因?yàn)?AD = BC ,所以(x, y)= (6,8) (4,1) = (2,7),所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,7).T TDE = 2 EC設(shè)點(diǎn)I(x, y),則有F點(diǎn)坐標(biāo)為1, 2，由于，故(xe 2, yE 7) = 2(6