圓的方程經(jīng)典例題

1、高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類型一：圓的方程(1)；示準(zhǔn)方程，圓心a,b,半徑為r；點(diǎn)M(X0,y0)與圓(xa2(yb)2r2的位置關(guān)系：當(dāng)，點(diǎn)在圓外當(dāng)，點(diǎn)在圓上當(dāng)，點(diǎn)在圓內(nèi)(2)般方程當(dāng)時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為當(dāng)時，表示一個點(diǎn)；當(dāng)時，方程不表示任何圖形。(3)求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需求出 a,b,r;若利用一般方程，需要求出 D,E,F;另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。1.若過點(diǎn) P(a,a)可作圓 x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 的兩條切線，則實(shí)數(shù) a 的取

2、值范圍是2,圓 x2+y22x+6y+5a=0 關(guān)于直線 y=x+2b 成軸對稱圖形，則 ab 的取值范圍是()A.(巴 4)B.(8,0)C.(-4,+8)D.(4,+8)3.求過兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2)且圓心在直線y0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)P(2,4)與圓的關(guān)224.求半徑為 4,與圓xy4x2y40相切，且和直線y0相切的圓的萬程.5.求經(jīng)過點(diǎn)A(0,5),且與直線x2y0和2xy0都相切的圓的方程.6.已知直線 l:x+y-2=0 和圓 C:x2+y2-12x-12y+54=0，則與直線 l 和圓 C 都相切且半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.7、設(shè)圓滿足：(1)截 y y 軸所得弦長

3、為 2;(2)被 x x 軸分成兩段弧，其弧長白比為 3:1,3:1,在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線l:x2y0的距離最小的圓的方程.118.已知點(diǎn) P(2,2)，點(diǎn) M 是圓 O1：x2+(y-1)2q上的動點(diǎn)，點(diǎn) N 是圓 O2：(x-2)2+y2互上的動點(diǎn),|PN|-|PM|的最大值是()A.-1B.45-2.V5%S類型二：直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種情況：(1)設(shè)直線l:AxByC0,圓 C:xa2yb2r2,圓心 Ca,bCa,b 到 l 的距離為(2)過圓外一點(diǎn)的切線：k 不存在，驗(yàn)證是否成立k 存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑,求解 k

4、,得到方程【一定兩解】(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點(diǎn)為(x,y),則過此點(diǎn)的切線方程1、已知直線3xy2V33xy2V30 0 和圓 x x2y y24,4,判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.222：直線xy1與圓xy2ay0(a0)沒有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是223：若直線ykx2與圓(x(x2)2)(y(y3)13)1 有兩個不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是.4,圓 x2+y22x2y+1=0 上的動點(diǎn) Q 到直線 3x+4y+8=0 距離的最小值為.5 .圓(x3)2(y3)29上到直線3x4y110的距離為 1 的點(diǎn)有幾個6 .、若直線yxm與曲線 y

5、J4yJ4X X2有且只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m m 的取值范圍227 .已知圓 M:x(y2)1,Q 是 X X 軸上的動點(diǎn)，QA、QB 分別切圓 M 于 A,B 兩點(diǎn)(1 靖點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(1,0),求切線 QAQB 的方程；類型三：圓與圓的位置關(guān)系通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。幾同人222222僅圓。：xayb1r r, ,C C2: :x8x82ybyb2R R兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。當(dāng)時兩圓外離，此時有公切線條；當(dāng)時兩圓夕卜切，連心線過切點(diǎn)，有夕卜公切線兩條，內(nèi)公切線一條;當(dāng)時兩圓相交，連心線垂直平分

6、公共弦，有兩條夕卜公切線;當(dāng)時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d0時，為同心圓。注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切,兩圓心與切點(diǎn)共線圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)1、判斷圓C1:x2y22x6y260與圓C2：x23,圓 x2+y22x5=0 與圓 x2+y2+2x4y4=0 的交點(diǎn)為 A,B,則線段 AB 的垂直平分線的方程是().A.x+y1=0B.2x-y+1=0C.x-2y+1=0D.x-y+1=04：求與圓 x x2y y25 5 外切于點(diǎn)P(1,2),且半徑為 2J52J5 的圓的方程.xOy 中，圓 C 的方程為 x2

7、+y2-8x+15=0,若直線 y=kx+2 上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1 為半徑的圓與圓 C 有公共點(diǎn)，則 k 的最小值是(3C.D.54,相互垂直的兩條直線 1 11、l l2都過點(diǎn)A(a,0).(I)若 1 11、l l2都和圓C相切，求直線 1 11、l l2的方程；(n)當(dāng)a2時，若圓心為M(1,m)的圓和圓C外切且與直線 1 11、l l2都相切，求圓 M M 的方程;(出)當(dāng)a1時，求 l l1、l l2被圓C所截得弦長之和的最大值.(2)求四邊形 QAMB 的面積的最小值;(3)若ABMQ 的方程.y24x2y40的位置關(guān)系,2222：圓 xy2x0 xy2x0 和圓

8、x x2y4y0y4y0 的公切線共有條。5.在平面直角坐標(biāo)系4A.36.已知圓C:(x5B.42)2類型四：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程類型五：弦長、弧問題一-一一一一、一22一一一、1、求直線l:3xy60被圓C:x2y22x4y0截得的弦AB的長.2、直線 J3xy2m0J3xy2m0 截圓 x x2y y24 4 得的劣弧所對的圓心角為.22223、求兩圓xyxy20和xy5的公共弦長4.過點(diǎn) A(11,2)作圓 x2+y2+2x4y164=0 的弦，其中弦長為整數(shù)的共有()221.已知圓O:xy4,求過點(diǎn)P2,4與圓O相切的切線.222.兩圓C1:xyD1xE1yF1220與C2

9、:xyD2xE2yF20相交于 A A、B B 兩點(diǎn),求它們的公共弦ABAB 所在直線的方程.223、 過圓xy1外一點(diǎn)M(2,3),作這個圓的兩條切線線 A AB B 的方程。MAMA、MBMB, ,切點(diǎn)分別是A、B,求直224.求過點(diǎn)M(3,1),且與圓(x1)y4相切的直線l的方程.5、過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓x2y24x2y50相切的直線的方程為2A.16 條 B.17 條 C.32 條 D.34 條類型六：圓中的對稱問題221、圓xy2x6y90關(guān)于直線2xy50對稱的圓的方程是2 自點(diǎn)A3,3發(fā)出的光線l射到 x x 軸上，被 x x 軸反射，反射光線所在的直線與圓C:x2y24x4y70

10、相切(1)求光線 l 和反射光線所在的直線方程.(2)光線自 A 到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程.類型七：圓中的最值問題221：圓xy4x4y100上的點(diǎn)到直線xy140的最大距離與最小距離的差是.一.9.9.一-99一.一.2(1)已知圓O1:(x3)(y4)1,P(x,y)為圓O上的動點(diǎn)，求dxy的最大、最小值.(2)已知圓O2:(x2)2y21,P(x,y)為圓上任一點(diǎn).求上一2的最大、最小值，求x2y的最大、x1最小值.3,已知圓 O:x2+y2=c(0c1),點(diǎn) P(a,b)是該圓面(包括 OO 圓周及內(nèi)部)上一點(diǎn)，則 a+b+c 的最小值等于.cc2224、已知點(diǎn) A(A(2,2),2,2),

11、B(B(2,6),2,6),C(4,C(4,2),2),點(diǎn)P在圓 x x2y y24 4 上運(yùn)動，求 PAPBPC 的最大值和最小值.類型八：軌跡問題1 .設(shè) A 為圓(x1)2+y2=1 上的動點(diǎn)，PA 是圓的切線，且|PA|=1,則 P 點(diǎn)的軌跡方程是()A.(x1)2+y2=4B.(x1)2+y2=2C.y2=2xD.y2=2x2、已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x(x1)1)2y y24 4 上運(yùn)動，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.223 .如圖所不，已知圓O:xy4與 y y 軸的正方向父于 A A 點(diǎn)，點(diǎn) B B 在直線y2上運(yùn)動，過 B B 做圓O的切線，切點(diǎn)為

12、C,求 ABCABC 垂心 H H 的軌跡.,2224 .已知圓的方程為xyr,圓內(nèi)有定點(diǎn)P(a,b),圓周上有兩個動點(diǎn) A A、B B, ,使 PAPBPAPB, ,求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.練習(xí)：1、由動點(diǎn)P向圓 x x2y y21 1 引兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別為A、B,APBAPB=600,則動點(diǎn)P的軌跡方程是.軌跡方程是y y24 4 相交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,求點(diǎn)P的軌跡方程類型九：圓的綜合應(yīng)用2、已知定點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)A在圓 x x2y y21 1 上運(yùn)動,AOB的平分線交AB于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的23.已知直線ykx1與圓 x x2例 2

13、5、已知圓x2y2x6ym0與直線x2y30相交于 P P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OPOQ,求實(shí)數(shù) m m 的值.例 26、已知對于圓x2(y1)21上任一點(diǎn)P(x,y),不等式xym0恒成立，求實(shí)數(shù) m m 的取值范圍.例 27 有一種大型商品，A A、B B 兩地都有出售，且價格相同.某地居民從兩地之一購得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位距離 A A 地的運(yùn)費(fèi)是 B B 地的運(yùn)費(fèi)的 3 倍.已知 A A、B B 兩地距離為 10 公里，顧客選擇 A A 地或 B B 地購買這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價格的總費(fèi)用較低.求 A A、B B 兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線

14、外的居民應(yīng)如何選擇購貨地點(diǎn).分析：該題不論是問題的背景或生活實(shí)際的貼近程度上都具有深刻的實(shí)際意義和較強(qiáng)的應(yīng)用意識，啟示我們在學(xué)習(xí)中要注意聯(lián)系實(shí)際，要重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活以及相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用.解題時要明確題意，掌握建立數(shù)學(xué)模型的方法.解：以 A A、B B 所確定的直線為 x x 軸，ABAB 的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.AB10,10,A(5,0),B(5,0).設(shè)某地 P P 的坐標(biāo)為(x,y),且 P P 地居民選擇 A A 地購買商品便宜，并設(shè) A A 地的運(yùn)費(fèi)為3a元/公里，B B 地的運(yùn)費(fèi)為 a a 元/公里.因?yàn)?P P 地居民購貨總費(fèi)用滿足條件：價格+A A 地運(yùn)費(fèi) w 價格+B B 地的運(yùn)費(fèi)即：3