線形系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合ppt課件

1、 現(xiàn)代控制理論中用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)，輸現(xiàn)代控制理論中用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)，輸入和輸出構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，而狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，入和輸出構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，而狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，這就存在著系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否可受輸入影響和是否可由這就存在著系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否可受輸入影響和是否可由輸出反映的問題，這就是可控性和可觀測(cè)性問題。如果系統(tǒng)輸出反映的問題，這就是可控性和可觀測(cè)性問題。如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可以由輸入來影響和控制而由任意的所有狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可以由輸入來影響和控制而由任意的初態(tài)達(dá)到原點(diǎn)，則稱系統(tǒng)是可控的，或者更確切地是狀態(tài)可初態(tài)達(dá)到原點(diǎn)，則稱系統(tǒng)是可控的，或者更

2、確切地是狀態(tài)可控的。否則，就稱系統(tǒng)是不完全可控的，或簡稱為系統(tǒng)不可控的。否則，就稱系統(tǒng)是不完全可控的，或簡稱為系統(tǒng)不可控。相應(yīng)地，如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量地任意形式的運(yùn)動(dòng)均可控。相應(yīng)地，如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量地任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完全反映，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測(cè)的，簡稱為系統(tǒng)可由輸出完全反映，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測(cè)的，簡稱為系統(tǒng)可觀測(cè)。觀測(cè)。二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性1 1） 例：例： 給定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為給定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 將其表示為標(biāo)量方程組的形式，有將其表示為標(biāo)量方程組的形式，有 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2 2） 11

3、22401052xxuxx 1206xyxuxx114uxx252226xy這表明狀態(tài)變量這表明狀態(tài)變量 和和 都可通過選擇控制量都可通過選擇控制量 而由始點(diǎn)達(dá)到而由始點(diǎn)達(dá)到原點(diǎn)，因而系統(tǒng)完全可控。但是，輸出原點(diǎn)，因而系統(tǒng)完全可控。但是，輸出 只能反映狀態(tài)變量只能反映狀態(tài)變量 ，而與狀態(tài)變量，而與狀態(tài)變量 既無直接關(guān)系也無間接關(guān)系，所以系既無直接關(guān)系也無間接關(guān)系，所以系統(tǒng)是不完全可觀測(cè)的。統(tǒng)是不完全可觀測(cè)的。例：下圖所示網(wǎng)絡(luò)，設(shè)例：下圖所示網(wǎng)絡(luò)，設(shè) ，輸出，輸出 。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性3 3） 1x2xuy2x1x2121,CCuxux2xy 當(dāng)當(dāng)

4、且初始狀態(tài)且初始狀態(tài) 時(shí)，則不論將時(shí)，則不論將輸入輸入 取為何種形式，對(duì)于所有取為何種形式，對(duì)于所有 ，只能是，只能是 ，不可能做到不可能做到 。也就是說，輸入。也就是說，輸入 能夠做到使能夠做到使和和 同時(shí)轉(zhuǎn)移到任意相同的目標(biāo)值，但不能將同時(shí)轉(zhuǎn)移到任意相同的目標(biāo)值，但不能將 和和 分別分別轉(zhuǎn)移到不同的目標(biāo)值。這表明此電路不完全可控，簡稱電路轉(zhuǎn)移到不同的目標(biāo)值。這表明此電路不完全可控，簡稱電路不可控。由于不可控。由于 ，故系統(tǒng)可觀測(cè)。，故系統(tǒng)可觀測(cè)。1、可控性、可控性 考慮線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程考慮線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性4 4）

5、2121,CCRR)()(0201txtxu0tt )()(21txtx)()(21txtx21xxyu2x1x1x2x),()()()()(TutBtxtAtxtTt其中其中 為為 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； 為為 維輸入向量；維輸入向量； 為時(shí)間定義為時(shí)間定義區(qū)間；區(qū)間； 和和 分別為分別為 和和 矩陣?，F(xiàn)對(duì)狀態(tài)矩陣?，F(xiàn)對(duì)狀態(tài)可控、系統(tǒng)可控和不可控分別定義如下：可控、系統(tǒng)可控和不可控分別定義如下： 狀態(tài)可控：狀態(tài)可控： 對(duì)于上式所示線性時(shí)變系統(tǒng)，如果對(duì)取定對(duì)于上式所示線性時(shí)變系統(tǒng)，如果對(duì)取定初始時(shí)刻初始時(shí)刻 的一個(gè)非零初始狀態(tài)的一個(gè)非零初始狀態(tài) ，存在一個(gè)，存在一個(gè)時(shí)辰時(shí)辰 和一個(gè)無約束的容

6、許控制和一個(gè)無約束的容許控制 ，使?fàn)顟B(tài)由使?fàn)顟B(tài)由 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到 時(shí)的時(shí)的 ，則稱此，則稱此 是是在在 時(shí)刻可控的。時(shí)刻可控的。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性5 5） xnuptT)(tA)(tBnnpn tTt 000)(xtx011,ttTtt10,),(ttttu00)(xtx1t0)(1tx0 x0t 系統(tǒng)可控：系統(tǒng)可控： 對(duì)于上式所示線性時(shí)變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空對(duì)于上式所示線性時(shí)變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在間中的所有非零狀態(tài)都是在 時(shí)刻可控的，則稱系時(shí)刻可控的，則稱系統(tǒng)在統(tǒng)在 時(shí)刻是完全可控的，簡稱系統(tǒng)在時(shí)刻是完全可控的，簡稱系統(tǒng)在 時(shí)刻可控

7、。若系統(tǒng)時(shí)刻可控。若系統(tǒng)在所有時(shí)刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的。在所有時(shí)刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的。 系統(tǒng)不完全可控：系統(tǒng)不完全可控： 對(duì)于上式所示線性時(shí)變系統(tǒng)，取定對(duì)于上式所示線性時(shí)變系統(tǒng)，取定初始時(shí)刻初始時(shí)刻 ，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在態(tài)在 時(shí)刻是不可控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻是不可控的，則稱系統(tǒng)在 時(shí)刻是不完全可控的，時(shí)刻是不完全可控的，也稱為系統(tǒng)是不可控的。也稱為系統(tǒng)是不可控的。 可控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)定性特性?？煽匦允潜碚飨到y(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)定性特性。 必需必需是容許控制，即是容許控制，即 的每個(gè)分量均在時(shí)間的每個(gè)分量均在

8、時(shí)間 區(qū)間上平方可區(qū)間上平方可積，即積，即 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性6 6） )(00tTtt0t0ttTt 00t0t)(tu)(tutT02( ),titu tdt tTtt, 0此外，對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，其可控性與初始時(shí)刻此外，對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，其可控性與初始時(shí)刻 的選取有的選取有關(guān)，是相對(duì)于關(guān)，是相對(duì)于 中的一個(gè)取定時(shí)刻來定義的。而對(duì)于線性定中的一個(gè)取定時(shí)刻來定義的。而對(duì)于線性定常系統(tǒng)，其可控性與初始時(shí)刻常系統(tǒng)，其可控性與初始時(shí)刻 的選取無關(guān)。的選取無關(guān)。 狀態(tài)與系統(tǒng)可達(dá)：狀態(tài)與系統(tǒng)可達(dá)： 若存在能將狀態(tài)若存在能將狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到 的控制作用，則稱

9、狀態(tài)的控制作用，則稱狀態(tài) 是是 時(shí)刻可達(dá)的。假時(shí)刻可達(dá)的。假設(shè)設(shè) 對(duì)所有時(shí)刻都是可達(dá)的，則稱狀態(tài)對(duì)所有時(shí)刻都是可達(dá)的，則稱狀態(tài) 為完全可達(dá)或一為完全可達(dá)或一致可達(dá)。若系統(tǒng)對(duì)于狀態(tài)空間中的每一個(gè)狀態(tài)都是致可達(dá)。若系統(tǒng)對(duì)于狀態(tài)空間中的每一個(gè)狀態(tài)都是 時(shí)刻可時(shí)刻可達(dá)的，則稱該系統(tǒng)是達(dá)的，則稱該系統(tǒng)是 時(shí)刻狀態(tài)完全可達(dá)的，或簡稱該系統(tǒng)時(shí)刻狀態(tài)完全可達(dá)的，或簡稱該系統(tǒng)是是 時(shí)刻可達(dá)的。時(shí)刻可達(dá)的。 對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，可控性與可達(dá)性是等價(jià)的。但對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，可控性與可達(dá)性是等價(jià)的。但對(duì)于離散系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，嚴(yán)格地說兩者是不等價(jià)的。對(duì)于離散系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，嚴(yán)格地說兩者是不等價(jià)的。 二、二、 線性

10、系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性7 7） 0ttT0t0)(0txffxtx)(fx0tfxfx0t0t0t2 2、可觀測(cè)性、可觀測(cè)性 可觀測(cè)性表征狀態(tài)可由輸出完全反映的性能，所以可觀測(cè)性表征狀態(tài)可由輸出完全反映的性能，所以應(yīng)同時(shí)考應(yīng)同時(shí)考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程 其中，其中， 分別為分別為的滿足狀態(tài)方程解的存在惟一性條件的時(shí)變矩陣。的滿足狀態(tài)方程解的存在惟一性條件的時(shí)變矩陣。狀態(tài)方程狀態(tài)方程的解為的解為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性8 8） tTttutBtxtAtx),()()()()( 00)(),()()()

11、()(xtxtutDtxtCty)()(),(),(tDtCtBtA和)()(),(),(pqnqpnnn和ttduBtxtttx0)()(),(),()(00其中其中 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。將上式代入輸出方程，為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。將上式代入輸出方程，可得輸出響應(yīng)為可得輸出響應(yīng)為若定義若定義 則輸出響應(yīng)可寫為則輸出響應(yīng)可寫為 這表明可觀測(cè)性即是這表明可觀測(cè)性即是 可由可由 完全估計(jì)的性能。由于完全估計(jì)的性能。由于 和和可取任意值，所以這又等價(jià)于研究可取任意值，所以這又等價(jià)于研究 時(shí)由時(shí)由 來估計(jì)來估計(jì) 的的可能性，即研究零輸入方程可能性，即研究零輸入方程 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性

12、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性9 9） ),(0tt)()()()(),()(),()()(00tutDduBttCxtttCty)()()()(),()()()(tutDduBttCtyty00),()()(xtttCtyy0 x0uy0 xy0 x的可觀測(cè)性。輸出響應(yīng)成為的可觀測(cè)性。輸出響應(yīng)成為下面給出系統(tǒng)可觀測(cè)性的有關(guān)定義。下面給出系統(tǒng)可觀測(cè)性的有關(guān)定義。 系統(tǒng)完全可觀測(cè)：對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，如果取定初始時(shí)刻系統(tǒng)完全可觀測(cè)：對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，如果取定初始時(shí)刻 ，存在一個(gè)有限時(shí)刻，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ，對(duì)于所有，對(duì)于所有 ，系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)的輸出 能惟一確定狀態(tài)向量能惟一確定狀態(tài)向量 的初值，則稱系

13、統(tǒng)的初值，則稱系統(tǒng)在在 內(nèi)是完全可觀測(cè)的，簡稱可觀測(cè)。如果對(duì)于一切內(nèi)是完全可觀測(cè)的，簡稱可觀測(cè)。如果對(duì)于一切系統(tǒng)都是可觀測(cè)的，則稱系統(tǒng)在系統(tǒng)都是可觀測(cè)的，則稱系統(tǒng)在 內(nèi)完全可觀測(cè)。內(nèi)完全可觀測(cè)。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性10 10） tTttxtxtxtAtx,)(),()()(000)()()(txtCty00),()()(xtttCtytTt 0011,ttTtt10,ttt)(ty)(0tx10,tt01tt ,0t 系統(tǒng)不可觀測(cè)：系統(tǒng)不可觀測(cè)： 對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，如果取定初始時(shí)對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，如果取定初始時(shí)刻刻 ，存在一個(gè)有限時(shí)刻，存在一個(gè)有限時(shí)

14、刻 ，對(duì)于所有，對(duì)于所有 ，系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)的輸出 不能惟一確定所有狀態(tài)不能惟一確定所有狀態(tài) 的的初值，即至少有一個(gè)狀態(tài)的初值不能被初值，即至少有一個(gè)狀態(tài)的初值不能被 確定，則稱系統(tǒng)在確定，則稱系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間時(shí)間區(qū)間 內(nèi)是不完全可觀測(cè)的，簡稱不可觀測(cè)。內(nèi)是不完全可觀測(cè)的，簡稱不可觀測(cè)。3、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù) 考慮線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程考慮線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程 其中其中 為為 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； 為為 維輸入向量；維輸入向量； 和和 分別為分別為 和和 常陣。常陣。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性11 11）

15、tTt 0011,ttTtt10,ttt)(tynitxi, 2 , 1),(0)(ty10,tt0,)0(),()()(0txxtButAxtx xupnAB)(nn ()np下面根據(jù)下面根據(jù) 和和 給出系統(tǒng)可控性的常用判據(jù)。給出系統(tǒng)可控性的常用判據(jù)。 格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，存在時(shí)刻要條件是，存在時(shí)刻 ，使如下定義的格拉姆矩陣：，使如下定義的格拉姆矩陣：為非奇異。為非奇異。 格拉姆矩陣判據(jù)主要用于理論分析。線性定常連續(xù)系統(tǒng)格拉姆矩陣判據(jù)主要用于理論分析。線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控性的常用判據(jù)是直接由矩陣可控性的常用判

16、據(jù)是直接由矩陣 和和 判斷可控性的秩判據(jù)。判斷可控性的秩判據(jù)。 凱萊哈密頓定理凱萊哈密頓定理 設(shè)階矩陣的特征多項(xiàng)式為設(shè)階矩陣的特征多項(xiàng)式為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性12 12） AB01tdteBBetWtATAtT), 0(1AB0111)(aaaAIfnnn那么那么 滿足其特征方程，即滿足其特征方程，即推論推論1 矩陣矩陣 的的 次冪可表示為次冪可表示為 的的 階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式推論推論2 矩陣指數(shù)矩陣指數(shù) 可表示為可表示為 的的 階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式 秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是其中其中 為

17、矩陣為矩陣 的維數(shù)，的維數(shù)， 稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。可控性判別陣。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性13 13） A0)(0111IaAaAaAAfnnn)(nkk) 1( nAA10nmmmkAaAAte) 1( nA10)(nmmmAtAtaenBAABBrankn1nABAABBSn 1例：例： 橋式網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試用可控性判據(jù)判斷其可控性。橋式網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試用可控性判據(jù)判斷其可控性。解：解： 該橋式電路的微分方程為該橋式電路的微分方程為選取狀態(tài)變量選取狀態(tài)變量 ，消去消去 ，可得狀態(tài)方程，可得狀態(tài)方程 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性

18、系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性14 14） uiRiRdtdiLiRuciRiRuciRiiiiiLL3311221133444321CLuxix21,4321,iiii其可控性矩陣為其可控性矩陣為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性15 15） uLxRRRRRRLxRRRRRRRRLx1112433211143432121124321143421221111xRRRRCxRRRRRRCx2124344343212121011RRRRRRLCRRRRRRRRLLAbbS當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，系統(tǒng)可控。，系統(tǒng)可控。當(dāng)電橋處于平衡狀態(tài)，即當(dāng)電橋處于平衡狀態(tài)，即 時(shí)，時(shí)，及及 成立

19、，這時(shí)狀態(tài)方程變?yōu)槌闪?，這時(shí)狀態(tài)方程變?yōu)?二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性16 16） 212434RRRRRRnrankS 23241RRRR433211RRRRRR434212RRRRRRuLxRRRRRRRRLx111434321211243212111xRRRRCx可控性矩陣為可控性矩陣為 ，系統(tǒng)不可控，系統(tǒng)不可控， 不能控制不能控制 ， 是不可控是不可控狀態(tài)變量。狀態(tài)變量。例：例： 判別下列系統(tǒng)的可控性：判別下列系統(tǒng)的可控性： 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性17 17） 0011434321212RRRRRRRRLLAbb

20、SnrankS1u2x2x21321321111112310020231uuxxxxxx解解 可控性判別矩陣為可控性判別矩陣為顯見矩陣的第二行與第三行線性相關(guān)，顯見矩陣的第二行與第三行線性相關(guān)， ，系統(tǒng)，系統(tǒng)不可控。不可控。 PBH秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，對(duì)矩陣件是，對(duì)矩陣 的所有特征值的所有特征值 ，均成立，或等價(jià)地表示為均成立，或等價(jià)地表示為即即 和和 是左互質(zhì)的。是左互質(zhì)的。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性18 18） 4422114422114523122BAABBS32rankS),

21、2 , 1(niiA; nBArankini, 2 , 1CsnBAsIrank,)(AsI B由于這一判據(jù)是由波波夫和貝爾維奇首先提出，并由豪塔斯由于這一判據(jù)是由波波夫和貝爾維奇首先提出，并由豪塔斯最先指出其可廣泛應(yīng)用性，故稱為最先指出其可廣泛應(yīng)用性，故稱為PBH秩判據(jù)。秩判據(jù)。例：例： 已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試判別系統(tǒng)的可控性。試判別系統(tǒng)的可控性。解：解： 根據(jù)狀態(tài)方程可寫出根據(jù)狀態(tài)方程可寫出 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性19 19） ,021001100500100001000010uxx4n考慮到考慮到 的特征值為的

22、特征值為 ，所以只，所以只需對(duì)它們來檢驗(yàn)上述矩陣的秩。通過計(jì)算知，當(dāng)需對(duì)它們來檢驗(yàn)上述矩陣的秩。通過計(jì)算知，當(dāng)時(shí)，有時(shí)，有 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2020） 02500101000101010001ssssBAsI5, 5, 04321A021s42050010010100001rankBAsIrank當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有計(jì)算結(jié)果表明，系統(tǒng)完全可控。計(jì)算結(jié)果表明，系統(tǒng)完全可控。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性21 21） 53s40200100001501015rankBAsIrank54s40200100

23、001501015rankBAsIrank PBH特征向量判據(jù)特征向量判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，必要條件是， 不能有與不能有與 的所有列相正交的非零左特征向的所有列相正交的非零左特征向量。即量。即 對(duì)的任一特征值對(duì)的任一特征值 ，使同時(shí)滿足，使同時(shí)滿足 的特征向量的特征向量 。 一般地說，一般地說，PBH特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。別是線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)約當(dāng)規(guī)范型判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件分兩種情況：條

24、件分兩種情況：1矩陣矩陣 的特征值的特征值 是兩兩相異的。是兩兩相異的。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2222） ABiA,TiTA0BT0n,21A由線性變換可將狀態(tài)方程變?yōu)閷?duì)角線規(guī)范型由線性變換可將狀態(tài)方程變?yōu)閷?duì)角線規(guī)范型則系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，在上式中，不包含元素則系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，在上式中，不包含元素全為零的行。全為零的行。 2矩陣的特征值為矩陣的特征值為 ，且，且 。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2323） uBxxn21)(,),(),(2211重重重llnl21由線性變換化為約當(dāng)規(guī)范型由線性變

25、換化為約當(dāng)規(guī)范型其中其中 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2424） uBxAxlpnlnnBBBBJJJA,21)(21)(,21)(1iiiJiaJJJiiiiiaiipiBBBB21)(而而 ，由，由 的最后一的最后一行所組成的矩陣行所組成的矩陣對(duì)對(duì) 均為行線性無關(guān)。均為行線性無關(guān)。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2525） rikikikprikiiirrikbbbBJikikik,11121)()(iiaiiirrr)(21), 2 , 1(ikikBiiririribbbB21li, 2 , 14 4、輸出可控性、輸出可

26、控性 如果系統(tǒng)需要控制的是輸出量而不是狀態(tài)，則需研如果系統(tǒng)需要控制的是輸出量而不是狀態(tài)，則需研究系統(tǒng)的究系統(tǒng)的輸出可控性。輸出可控性。 輸出可控性：輸出可控性： 若在有限時(shí)間間隔若在有限時(shí)間間隔 內(nèi)，內(nèi)，存在無約束存在無約束分段連續(xù)控制函數(shù)分段連續(xù)控制函數(shù) ，能使任意初，能使任意初始輸出始輸出 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移到任意最終輸出移到任意最終輸出 ，則稱此系統(tǒng)是輸出完全，則稱此系統(tǒng)是輸出完全可控，簡稱可控，簡稱輸出可控。輸出可控。 輸出可控性判據(jù)輸出可控性判據(jù) 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸方程和輸出方程為出方程為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性262

27、6） 10,tt10,),(ttttu)(0ty)(1ty10, 0,)0(,ttxxBuAxxDuCxy式中，式中， 為為 維輸入向量；維輸入向量； 為為 維輸出向量；維輸出向量； 為為 維狀態(tài)維狀態(tài)向量。狀態(tài)方程的解為向量。狀態(tài)方程的解為 則輸出則輸出不失一般性，令不失一般性，令 ，有，有 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2727） upyqxn10)(01, 0,)()(111ttdttBuexetxtttAAt)()()(10)(01111tDudttBueCxCetytttAAt0)(1ty 1001010110)(011111)()()()()()()

28、(nmtmmtnmmmtttAAttDudttutBACtDudttBuAtCtDudteCxCe令令 ，那么，那么 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2828） 101)()()(tmmdttuttu10110)()(1nmmmAttDutBuACxCe)()()()(11111110tDutBuCAtCAButCBunn)()()()(11111101tutututuDBCACABCBnn令令 為為 矩陣，稱為輸出一矩陣。輸出可控的充矩陣，稱為輸出一矩陣。輸出可控的充分必要條件是，輸出可控性矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù)分必要條件是，輸出可控性矩陣的秩等于輸出變量的

29、維數(shù) ，即即 留意：狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個(gè)不同的概念，二者沒留意：狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個(gè)不同的概念，二者沒 有什么必然的聯(lián)系。有什么必然的聯(lián)系。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2929） DBCACABCBSn 100Spnq) 1( qqrankS 0例：例： 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為試判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。試判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。解：解： 系統(tǒng)的狀態(tài)可控性矩陣為系統(tǒng)的狀態(tài)可控性矩陣為 ，故狀態(tài)不完全可控。，故狀態(tài)不完全可控。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性

30、3030） uxx112110 xy011111ABBS2, 0rankSS輸出可控性矩陣為輸出可控性矩陣為 ，輸出可控。，輸出可控。 5、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù) 考慮輸入考慮輸入 時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程 其中，其中， 為為 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； 為為 維輸出向量；維輸出向量； 和和 分別為分別為 和和 的常值矩陣。的常值矩陣。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性31 31） 0110DCABCBSqrankS100uCxytxxAxx, 0,)0(,0yqxnACnn nq 格拉姆矩陣判據(jù)格

31、拉姆矩陣判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是，存在有限時(shí)刻必要條件是，存在有限時(shí)刻 ，使如下定義的格拉姆矩，使如下定義的格拉姆矩陣：陣：為非奇異。為非奇異。 秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是是 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性3232） 01tdtCeCetMAtTttAT101), 0(nCACACrankn1或或上兩式中的矩陣均稱為系統(tǒng)可觀測(cè)性判別陣，簡稱可觀測(cè)性陣。上兩式中的矩陣均稱為系統(tǒng)可觀測(cè)性判別陣，簡稱可觀測(cè)性陣。例：例： 判斷下列系統(tǒng)的可觀測(cè)性

32、：判斷下列系統(tǒng)的可觀測(cè)性： 1） 2） 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性3333） nCACACACrankTnTTTTTT12)()(,BuAxxCxy 01,13,1002CBA1101,0112,1111CBA解：解：1）故系統(tǒng)不可觀測(cè)。故系統(tǒng)不可觀測(cè)。2）故系統(tǒng)可觀測(cè)。故系統(tǒng)可觀測(cè)。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性3434） , 21, 10021nrankVranCACrankrankVTTT11102,2,0112TTTrankVrank CA CrankrankVn PHB秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分

33、必要條線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是，對(duì)矩陣件是，對(duì)矩陣 的所有特征值的所有特征值 ，均有，均有或等價(jià)地表示為或等價(jià)地表示為也即也即 和和 是右互質(zhì)的。是右互質(zhì)的。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性3535） ), 2 , 1(niiAninAICranki, 2 , 1;CsnAsICrank,)(AsI C PBH特征向量判據(jù)特征向量判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是，分必要條件是， 沒有與沒有與 的所有行相正交的非零右特征向的所有行相正交的非零右特征向量。即對(duì)量。即對(duì) 的任一特征值的任一特征值 ，使同時(shí)

34、滿足，使同時(shí)滿足的特征向量的特征向量 。 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)約當(dāng)規(guī)范型判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件分兩種情況：必要條件分兩種情況： 1當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣 的特征值的特征值 兩兩相異時(shí)，由線性變換兩兩相異時(shí)，由線性變換導(dǎo)出的對(duì)角線規(guī)范型為導(dǎo)出的對(duì)角線規(guī)范型為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性3636） 0,sAi), 2 , 1(niiACA0n,21AxCyxxn,21式中式中 不包含元素全為零的列。不包含元素全為零的列。 2當(dāng)當(dāng) 矩陣的特征值為矩陣的特征值為 ，且，且 時(shí)，對(duì)原式進(jìn)行線性變換導(dǎo)出的約當(dāng)時(shí)，對(duì)原式進(jìn)行線性變換

35、導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型為規(guī)范型為 其中其中 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性3737） C)(,),(),(2211重重重llAnl21xCyxAx, lnqlnnCCCCJJJA,21)(21)(二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性3838） ,21)(iiiiiiiJJJJiiiiiqiCCCC21)(li, 2 , 1rikikikrqikiiirrikCCCCJikikik;11121)(1)(且且 ，由，由 的第一的第一列所組成的矩陣列所組成的矩陣對(duì)對(duì) 均為列線性無關(guān)。均為列線性無關(guān)。 例：已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為例：已知線性

36、定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為試判定系統(tǒng)的可觀測(cè)性。試判定系統(tǒng)的可觀測(cè)性。解：解： 顯然，此規(guī)范型中顯然，此規(guī)范型中 不包含元素全為零的列，故系統(tǒng)不包含元素全為零的列，故系統(tǒng) 為完全可觀測(cè)。為完全可觀測(cè)。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性3939） iiaiiirrr)(21), 2 , 1(ikikCiiiiiCCCC12111li, 2 , 1xyxx320001,200010008C6 6、線性離散系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性、線性離散系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 （1 1線性離散系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性線性離散系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性 設(shè)線性時(shí)變離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)線性時(shí)變離

37、散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 其中其中 為離散時(shí)間定義區(qū)間。如果對(duì)初始時(shí)刻為離散時(shí)間定義區(qū)間。如果對(duì)初始時(shí)刻 和狀態(tài)和狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài) ，都存在時(shí)，都存在時(shí)刻刻 ，和，和對(duì)應(yīng)的控制對(duì)應(yīng)的控制 ，使得，使得 ，則稱系統(tǒng)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻在時(shí)刻 為完為完全可控。對(duì)應(yīng)地，如果對(duì)初始時(shí)刻全可控。對(duì)應(yīng)地，如果對(duì)初始時(shí)刻 和初始和初始狀態(tài)狀態(tài) ，存在時(shí)刻存在時(shí)刻 和相應(yīng)的控制和相應(yīng)的控制 ，使，使 可為狀態(tài)可為狀態(tài)空間中的任意非零點(diǎn)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻空間中的任意非零點(diǎn)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻 為完全可為完全可達(dá)。達(dá)。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性4040） kT

38、kkukHkxkGkx),()()()() 1(kTkTl)(lxlmTmk,)(ku0)(mxlkTl0)(lxlmTmk,)(ku)(mxl 對(duì)于離散系統(tǒng)，不管是時(shí)變的還是定常的，其可控性和對(duì)于離散系統(tǒng)，不管是時(shí)變的還是定常的，其可控性和可達(dá)性只有在一定條件下才是等價(jià)的。其等價(jià)的條件分別為可達(dá)性只有在一定條件下才是等價(jià)的。其等價(jià)的條件分別為1線性離散時(shí)間系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性為等價(jià)的充分必要線性離散時(shí)間系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性為等價(jià)的充分必要 條件是，系統(tǒng)矩陣條件是，系統(tǒng)矩陣 對(duì)所有對(duì)所有 為非奇異；為非奇異；2線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)線性定常離散時(shí)間系統(tǒng) 可控性和可達(dá)性等價(jià)的充分必要條件是系統(tǒng)矩陣

39、可控性和可達(dá)性等價(jià)的充分必要條件是系統(tǒng)矩陣 為非奇異。為非奇異。3如果離散時(shí)間系統(tǒng)是相應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)間離散化模如果離散時(shí)間系統(tǒng)是相應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)間離散化模型，則其可控性和可達(dá)性必是等價(jià)的。型，則其可控性和可達(dá)性必是等價(jià)的。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性41 41） )(kG1,mlk, 2 , 1 , 0);()() 1(kkHukGxkxG 線性定常離散系統(tǒng)的可控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的可控性判據(jù) 設(shè)單輸入線性定常離設(shè)單輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中其中 為為 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； 為標(biāo)量輸入；為標(biāo)量輸入； 為為 非奇異非

40、奇異矩陣。狀態(tài)方程的解為矩陣。狀態(tài)方程的解為根據(jù)可控性定義，假定根據(jù)可控性定義，假定 時(shí)，時(shí)， ，將上式兩端左，將上式兩端左乘乘 ，則有，則有 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性4242） )()() 1(khukGxkxxnuG)(nn 101)()0()(kiikkihuGxGkxnk 0)(nxnG)()0(101ihuGxnii) 1() 1 ()0(21nhuGhuGhuGn記記 稱稱 為為 可控性矩陣。由線性方程組解的存在定理可可控性矩陣。由線性方程組解的存在定理可知，當(dāng)矩陣知，當(dāng)矩陣 的秩與增廣矩陣的秩與增廣矩陣 的秩相等時(shí)，方的秩相等時(shí)，方程組有解且

41、為惟一解，否則無解。在程組有解且為惟一解，否則無解。在 為任意的情況下，為任意的情況下，使方程線有解的充分必要條件是矩陣使方程線有解的充分必要條件是矩陣 滿秩，即滿秩，即 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性4343） ) 1() 1 ()0(21nuuuhGhGhGnhGhGhGSn2111S)(nn )0(1xS1S)0(x1SnSrank1或矩陣或矩陣 的行列式不為零的行列式不為零 或矩陣或矩陣 是非奇異的。是非奇異的。 由于滿秩矩陣與另一滿秩矩陣由于滿秩矩陣與另一滿秩矩陣 相乘其秩不變，故相乘其秩不變，故交換矩陣的列，且記為交換矩陣的列，且記為 ，其秩也不變，

42、故有，其秩也不變，故有在判斷系統(tǒng)的可控性時(shí)，使用上式比較方便。在判斷系統(tǒng)的可控性時(shí)，使用上式比較方便。上面四式即為可控性判據(jù)。上面四式即為可控性判據(jù)。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性4444） 1S1S0det1SnG11SGrankSranknnhGhhGrankn11SnhGGhhrankrankSn11 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)不可控，表示不存在使任意時(shí)，系統(tǒng)不可控，表示不存在使任意轉(zhuǎn)移至轉(zhuǎn)移至 的控制。的控制。 以上研究了終態(tài)為以上研究了終態(tài)為 的情況，若令終態(tài)為任意的情況，若令終態(tài)為任意給定狀態(tài)給定狀態(tài) ，則狀態(tài)方程的解變?yōu)椋瑒t狀態(tài)方程的解變?yōu)?將上式兩端左乘將

43、上式兩端左乘 ，有，有 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性4545） nrankS 1)0(x0)(nx)(nx0)(nx101)()()0(niinnihuGnxxGnG) 1() 1 ()0()()0(21nuuuhGhGhGnxGxnn當(dāng)當(dāng) 滿秩時(shí)，前式左端只不過是任一給定的另一初態(tài)，其狀滿秩時(shí)，前式左端只不過是任一給定的另一初態(tài)，其狀態(tài)可控性條件可用以上推導(dǎo)方法得出完全相同的結(jié)論。若令態(tài)可控性條件可用以上推導(dǎo)方法得出完全相同的結(jié)論。若令 ，上述結(jié)論同樣成立。可見，當(dāng)，上述結(jié)論同樣成立?？梢?，當(dāng) 為非奇異陣時(shí)，為非奇異陣時(shí)，系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性是等價(jià)的。系統(tǒng)的

44、可控性和可達(dá)性是等價(jià)的。上述研究單輸入離散系統(tǒng)可控性的方法可推廣到多輸入系統(tǒng)。上述研究單輸入離散系統(tǒng)可控性的方法可推廣到多輸入系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 所謂可控性問題，即是能否求出無約束控制向量序列所謂可控性問題，即是能否求出無約束控制向量序列 ，使，使 系統(tǒng)能從任意初態(tài)系統(tǒng)能從任意初態(tài) 轉(zhuǎn)移至轉(zhuǎn)移至 。上式的解為。上式的解為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性4646） G0)0(xG)()() 1(kHukGxkx) 1(,),1 (),0(nuuu0)(nx)0(x)()0()(101iHuGxGkxkiikk令令 ，且方程兩端左乘，且方程兩

45、端左乘 ，有，有 記記 為為 矩陣，由子列向量矩陣，由子列向量 構(gòu)成的控構(gòu)成的控制列向量是制列向量是 維的。上式含維的。上式含 個(gè)方程，但有個(gè)方程，但有 個(gè)待求的控個(gè)待求的控制量。制量。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性4747） 0)(,nxnknG) 1() 1 ()0()()0(21101nHuGHuGHuGiHuGxnnii)1()1()0(21nuuuHGHGHGnHGHGHGSn212)(npn ) 1(,),1 (),0(nuuunpnpn由于初態(tài)由于初態(tài) 可任意給定，根據(jù)解存在定理，矩陣可任意給定，根據(jù)解存在定理，矩陣 的秩的秩為為 時(shí)，方程組才有

46、解。于是多輸入線性離散系統(tǒng)狀態(tài)可時(shí)，方程組才有解。于是多輸入線性離散系統(tǒng)狀態(tài)可控的充分必要條件是控的充分必要條件是或或或或或或或或二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性4848） )0(x2SnnSrank2nHGHHGrankSGrankSranknn122nHGGHHrankSrankn120det22TSSnSrankST22例：例： 雙輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為雙輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷可控性，并研究使試判斷可控性，并研究使 的可能性。的可能性。解：解： 顯然，由前三列組成的矩陣的行列式不為零，故系顯然，由前三列組成的矩陣的行列式不為零，故系

47、統(tǒng)可控。統(tǒng)可控。二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性4949） )()() 1(kHukGxkx,041020122G011000H0) 1 (x101400140201042210022HGGHHS一定能求得控制序列使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)三步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。一定能求得控制序列使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)三步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。 由由 可得可得設(shè)初始狀態(tài)為設(shè)初始狀態(tài)為 ，由于，由于 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性5050） 0)0()0() 1 (HuGxx)0()0(3221021)0()0(0110002310210120)0()0(21211uuu

48、uHuGxTx201)0(233202101213221021rankrank可求得可求得 ，在一步內(nèi)使系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移，在一步內(nèi)使系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。設(shè)初始狀態(tài)到原點(diǎn)。設(shè)初始狀態(tài) ，也可使系統(tǒng)在，也可使系統(tǒng)在一步內(nèi)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，但一步內(nèi)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，但 。本例。本例不能使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)一步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。不能使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)一步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。（2線性離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性線性離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性 設(shè)離散系統(tǒng)為設(shè)離散系統(tǒng)為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性51 51） 0)0(, 1)0(21uuTx3212)0(1) 0(, 0) 0(2

49、1uukTkkukHkxkGkx),()()()() 1()()()()()(kukDkxkCky若對(duì)初始時(shí)刻若對(duì)初始時(shí)刻 的任一非零初始狀態(tài)的任一非零初始狀態(tài) ，都存在，都存在有限時(shí)刻有限時(shí)刻 ，且可由，且可由 上的輸出上的輸出 惟一地惟一地確定確定 ，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻 是完全可觀測(cè)的。是完全可觀測(cè)的。 線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù) 設(shè)線性定常離散系設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為其中其中 為為 維狀態(tài)向量，維狀態(tài)向量， 為為 維輸出向量，其解為維輸出向量，其解為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性5252

50、） kTl0)(xlxlmTmk,ml,)(ky0 xl)()()(),()() 1(kDukCxkykHukGxkx)(kxnq)(ky101)()0()(kiikkiHuGxGkx101)()()0()(kiikkkDuiHuGCxCGky研究可觀測(cè)性問題時(shí)，研究可觀測(cè)性問題時(shí)， 均為已知，故不失均為已知，故不失一般性，可將動(dòng)態(tài)方程簡化為一般性，可將動(dòng)態(tài)方程簡化為 對(duì)應(yīng)的解為對(duì)應(yīng)的解為 將將 寫成展開式寫成展開式 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性5353） DCHGku,),()()(),() 1(kCxkykGxkx)0()(),0()(xCGkyxGkxk

51、k)(ky)0() 1()0() 1 ()0()0(1xCGnyCGxyCxyn其向量矩陣形式為其向量矩陣形式為 令令 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性5454） )0()0()0() 1() 1 ()0(211nnxxxCGCGCnyyy11nTCGCGCV 稱為線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣，為稱為線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣，為 矩陣。矩陣。系統(tǒng)可觀充分必要條件為系統(tǒng)可觀充分必要條件為由于由于 ，故線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性判，故線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)常表示為據(jù)常表示為 （3連續(xù)動(dòng)態(tài)方程離散化后的可控性和可觀測(cè)性連續(xù)動(dòng)態(tài)方程離散化后的可控性和可觀測(cè)

52、性 一個(gè)可控的或可觀測(cè)的連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)其離散化后并不一定能一個(gè)可控的或可觀測(cè)的連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)其離散化后并不一定能保持其可控性或可觀測(cè)性?，F(xiàn)舉例來說明。保持其可控性或可觀測(cè)性。現(xiàn)舉例來說明。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性5555） TV1)(nnqnrankVT111rankVrankVTnCCCGCrankrankVTnTTTT11)( 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為設(shè)連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程為可控標(biāo)準(zhǔn)型，故一定可控。根據(jù)可觀由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程為可控標(biāo)準(zhǔn)型，故一定可控。根據(jù)可觀測(cè)性判據(jù)有測(cè)性判據(jù)有故系統(tǒng)可觀測(cè)。故系統(tǒng)可觀測(cè)。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)

53、性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性5656） ,1001021221uxxxx2101xxynrankrankV210011系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性5757） 12222111122222211( )()sssstLsIALLssss ttdbdtGttsincos1cossin)()(200sincossincostttt系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)方程為系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)方程為 離散化后系統(tǒng)的可控性矩陣為離散化后系統(tǒng)的可控性矩陣為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性5858） )()()()() 1

54、(kuTGkxTkx2121 cossin( )cos( )( )sinsincosTTx kTu kx kTTTTTTTTTTTTGTTGSsincossin2sinsincoscoscos1)()()(22221離散化后系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣為離散化后系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣為當(dāng)采樣周期時(shí)當(dāng)采樣周期時(shí) ，可控性矩陣，可控性矩陣 和可觀測(cè)性和可觀測(cè)性矩陣矩陣 均出現(xiàn)零行，均出現(xiàn)零行， ，系統(tǒng)不可，系統(tǒng)不可控也不可觀測(cè)。這表明連續(xù)系統(tǒng)可控或可觀測(cè)時(shí)，若采樣周控也不可觀測(cè)。這表明連續(xù)系統(tǒng)可控或可觀測(cè)時(shí)，若采樣周期選擇不當(dāng)，對(duì)應(yīng)的離散化系統(tǒng)便有可能不可控或不可觀測(cè)，期選擇不當(dāng)，對(duì)應(yīng)的離散化系統(tǒng)便有可能不可控

55、或不可觀測(cè)，也有可能既不可控又不可觀測(cè)。若連續(xù)系統(tǒng)不可控或不可觀也有可能既不可控又不可觀測(cè)。若連續(xù)系統(tǒng)不可控或不可觀測(cè)，不管采樣周期測(cè)，不管采樣周期 如何選擇，離散化后的系統(tǒng)一定是不可如何選擇，離散化后的系統(tǒng)一定是不可控或不可觀測(cè)的。控或不可觀測(cè)的。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性5959） TTCTCVTTTsin0cos1)(1), 2 , 1(kkT1S1VnrankVnrankS1,111T1 1、狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換、狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換 設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 令令 式中式中 為非奇異線性變換矩陣，它將為非奇異線性變換矩陣，它將 變

56、換變換為為 ，變換后，變換后的動(dòng)態(tài)方程為的動(dòng)態(tài)方程為式中式中并稱為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行變換。線性變換的目的在于使并稱為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行變換。線性變換的目的在于使 陣規(guī)范化，陣規(guī)范化，并不會(huì)改變系統(tǒng)的原有性質(zhì)，故稱為等價(jià)變換。分并不會(huì)改變系統(tǒng)的原有性質(zhì)，故稱為等價(jià)變換。分析計(jì)算后，析計(jì)算后，再引入反變換關(guān)系再引入反變換關(guān)系 ，得出最終結(jié)果。，得出最終結(jié)果。 三、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換1 1） cxybuAxx,xPx PxxyxcyubxAx,cPcbPbAPPA11,AxPx1下面概括給出本章中常用的幾種線性變換關(guān)系。下面概括給出本章中常用的幾種線性變換關(guān)系。 （1化陣為對(duì)角型化陣

57、為對(duì)角型 1設(shè)設(shè) 陣為任意形式的方陣，且有陣為任意形式的方陣，且有 個(gè)互異實(shí)數(shù)特征個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值值 ，則可由非奇異線性變換化為對(duì)角陣，則可由非奇異線性變換化為對(duì)角陣 。 陣由陣由 陣的實(shí)數(shù)特征向量陣的實(shí)數(shù)特征向量 組成組成 三、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換2 2） n,21AnnAPP111P), 2 , 1(nipiAnpppP21特征向量滿足特征向量滿足2假設(shè)假設(shè) 陣為友矩陣，且有陣為友矩陣，且有 個(gè)互異實(shí)數(shù)特征個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值值 ，則下列的范德蒙特則下列的范德蒙特 矩陣矩陣 可使可使 對(duì)角化：對(duì)角化： 三、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換3 3）

58、 nipApiii, 2 , 1n,21An(mod )VanderePA1121122221211210111,100001000010nnnnnnnPaaaaA3設(shè)設(shè) 陣具有陣具有 重實(shí)數(shù)特征值重實(shí)數(shù)特征值 ，其余為，其余為 個(gè)互異個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值，但在求解實(shí)數(shù)特征值，但在求解 時(shí)仍有時(shí)仍有 個(gè)個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量獨(dú)立實(shí)特征向量 ，則仍可使，則仍可使 陣化為對(duì)角陣陣化為對(duì)角陣 。 三、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換4 4） Am1)(mn ), 2 , 1(1mipApiimmppp,21A111100nnP AP nmmpppppP121nmAPPJ010111111式中

59、式中 是互異實(shí)數(shù)特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。是互異實(shí)數(shù)特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。（2化化 陣為約當(dāng)陣陣為約當(dāng)陣1設(shè)設(shè) 陣具有陣具有 重實(shí)特征值重實(shí)特征值 ，其余為，其余為 個(gè)互異實(shí)特個(gè)互異實(shí)特征值，但在求解征值，但在求解 時(shí)只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量時(shí)只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量 ， 只能化為約當(dāng)陣只能化為約當(dāng)陣 。 三、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換5 5） nmmppp,21Am1)(mn iipAp11pAJA 中虛線示出存在一個(gè)約當(dāng)塊。中虛線示出存在一個(gè)約當(dāng)塊。式中式中 是廣義實(shí)特征向量，滿足是廣義實(shí)特征向量，滿足 是互異特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。是互異特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。 三、

60、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換6 6） JnmmpppppP121mppp,32mmpppAppp211112111nmpp,12設(shè)設(shè) 為友矩陣，具有為友矩陣，具有 重實(shí)特征值重實(shí)特征值 ，且只有一個(gè)獨(dú)立，且只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量實(shí)特征向量 ，則使，則使 約當(dāng)化的約當(dāng)化的 為為式中式中3設(shè)設(shè) 陣具有五重實(shí)特征值陣具有五重實(shí)特征值 ，但有兩個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量，但有兩個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量 ，其余為，其余為 個(gè)互異實(shí)特征值，個(gè)互異實(shí)特征值， 陣約當(dāng)化的可陣約當(dāng)化的可能形式是能形式是 三、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換7 7） mA11pAPnmnnppppppP11