知識要點(diǎn)-空間直角坐標(biāo)系

1、.第5講 空間直角坐標(biāo)系知識梳理1.右手直角坐標(biāo)系右手直角坐標(biāo)系的建立規(guī)則：軸、軸、軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指；已知點(diǎn)的坐標(biāo)作點(diǎn)的方法與步驟（路徑法）：沿軸正方向（時）或負(fù)方向（時）移動個單位，再沿軸正方向（時）或負(fù)方向（時）移動個單位，最后沿軸正方向（時）或負(fù)方向（時）移動個單位，即可作出點(diǎn)已知點(diǎn)的位置求坐標(biāo)的方法：過作三個平面分別與軸、軸、軸垂直于，點(diǎn)在軸、軸、軸的坐標(biāo)分別是，則就是點(diǎn)的坐標(biāo)2、在軸上的點(diǎn)分別可以表示為，在坐標(biāo)平面，內(nèi)的點(diǎn)分別可以表示為;3、點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的

2、對稱點(diǎn)為；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)。4. 已知空間兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為5空間兩點(diǎn)間的距離公式已知空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)的距離為 ，特殊地,點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為;5以為球心,為半徑的球面方程為特殊地,以原點(diǎn)為球心,為半徑的球面方程為重難點(diǎn)突破重點(diǎn):了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系表示點(diǎn)的位置，會推導(dǎo)和使用空間兩點(diǎn)間的距離公式難點(diǎn):借助空間想象和通過與平面直角坐標(biāo)系的類比，認(rèn)識空間點(diǎn)的對稱及坐標(biāo)間的關(guān)系重難點(diǎn): 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的位置關(guān)系及空間兩點(diǎn)間的距離公式的使用1借助空間幾何模型進(jìn)行想象，理解空間點(diǎn)的位置關(guān)系及坐標(biāo)關(guān)系問題1：點(diǎn)到軸的距離為解析借助長方體來思考，以點(diǎn)為

3、長方體對角線的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為長方體一條面對角線的長度，其值為2將平面直角坐標(biāo)系類比到空間直角坐標(biāo)系問題2：對于任意實(shí)數(shù)，求的最小值解析在空間直角坐標(biāo)系中，表示空間點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和，它的最小值就是點(diǎn)與點(diǎn)之間的線段長，所以的最小值為。3利用空間兩點(diǎn)間的距離公式，可以解決的幾類問題(1)判斷兩條相交直線是否垂直(2)判斷空間三點(diǎn)是否共線(3)得到一些簡單的空間軌跡方程熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1: 空間直角坐標(biāo)系題型1:認(rèn)識空間直角坐標(biāo)系例1 （1）在空間直角坐標(biāo)系中，表示 （ ） A軸上的點(diǎn) B過軸的平面 C垂直于軸的平面 D平行于軸的直線（2）在空間直角坐標(biāo)系中，方程表示A在坐標(biāo)

4、平面中，1，3象限的平分線 B平行于軸的一條直線 C經(jīng)過軸的一個平面 D平行于軸的一個平面【解題思路】認(rèn)識空間直角坐標(biāo)系,可以類比平面直角坐標(biāo)系,如在平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系中,方程表示所有橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的集合 解析（1）表示所有在軸上的投影是點(diǎn)的點(diǎn)的集合，所以表示經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的平面 （2）方程表示在任何一個垂直于軸的一個平面內(nèi)，1，3象限的平分線組成的集合【名師指引】(1)類比平面直角坐標(biāo)系,可以幫助我們認(rèn)識空間直角坐標(biāo)系 (2)要從滿足某些特殊條件的點(diǎn)的坐標(biāo)特征去思考問題。如：經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的平面上的點(diǎn)都可表示為題型2: 空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式與點(diǎn)的對稱問題例2 點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于平面

5、的對稱點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為【解題思路】類比平面直角坐標(biāo)系中的對稱關(guān)系，得到空間直角坐標(biāo)系中的對稱關(guān)系解析因點(diǎn)和關(guān)于軸對稱, 所以點(diǎn)和的豎坐標(biāo)相同,且在平面的射影關(guān)于原點(diǎn)對稱,故點(diǎn)的坐標(biāo)為,又因點(diǎn)和關(guān)于平面對稱, 所以點(diǎn)坐標(biāo)為【名師指引】解決空間點(diǎn)的對稱問題,一要借助空間想象,二要從它們在坐標(biāo)平面的射影找關(guān)系,如借助空間想象,在例2中可以直接得出點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn),故坐標(biāo)為【新題導(dǎo)練】1已知正四棱柱的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則的坐標(biāo)為。解析正四棱柱過點(diǎn)A的三條棱恰好是坐標(biāo)軸，的坐標(biāo)為（2，2，5）2平行四邊形的兩個頂點(diǎn)的的坐標(biāo)為，對角線的交點(diǎn)為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 , 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為解析由已知得線段的中點(diǎn)

6、為,線段的中點(diǎn)也是,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式易得，3已知，記到軸的距離為，到軸的距離為，到軸的距離為，則（ ）A B C D解析借助長方體來思考,、分別是三條面對角線的長度。，選C考點(diǎn)2：空間兩點(diǎn)間的距離公式題型：利用空間兩點(diǎn)間的距離公式解決有關(guān)問題XAYBOZP例3 如圖：已知點(diǎn)，對于軸正半軸上任意一點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得恒成立.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由?！窘忸}思路】轉(zhuǎn)化為距離問題，即證明解析設(shè) ，對于軸正半軸上任意一點(diǎn)，假設(shè)在軸上存在一點(diǎn)，使得恒成立，則即，解得：所以存在這樣的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為時，恒成立【名師指引】在空間直角坐標(biāo)系中，利用距離可以證明垂直問題。此外，用距離還可以解決空

7、間三點(diǎn)共線問題和求簡單的點(diǎn)的軌跡?！拘骂}導(dǎo)練】4已知，當(dāng)兩點(diǎn)間距離取得最小值時，的值為 （ ） A19 B C D解析當(dāng)時，取得最小值5已知球面，與點(diǎn)，則球面上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的最大值與最小值分別是。解析球心，球面上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的最大值與最小值分別是9和36已知三點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使A、B、C共線.若存在，求出的值；若不存在，說明理由。解析，因?yàn)?，所以，若三點(diǎn)共線，有或，若，整理得：，此方程無解；若，整理得：，此方程也無解。所以不存在實(shí)數(shù)，使A、B、C共線。搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1將空間直角坐標(biāo)系(右手系)畫在紙上時，我們通常將軸與軸，軸與軸所成的角畫成（ ）A B C D解析：選B2. 點(diǎn)在平面上

8、的投影點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ ）A B C D 解析：兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變，選B3.三棱錐中，此三棱錐的體積為（ ）A1 B2 C3 D 6解析兩兩垂直，4（2007山東濟(jì)寧模擬）設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A(2,-3,5)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則|AB|等于( )A10 B C D38 解析 A點(diǎn)A(2,-3,5)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為,5（2007年湛江模擬）點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則=解析，6正方體不在同一表面上的兩頂點(diǎn)P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），則正方體的體積是解析不共面，為正方體的一條對角線，正方體的棱長為4，體積為64綜合提高訓(xùn)練7空間直角坐標(biāo)系中，到坐標(biāo)平面，的距離分別為2，2

9、，3的點(diǎn)有A.1個 B.2個 C.4個 D.8個解析：8個。分別為（3，2，2）、（3，2，-2）、（3，-2，2）、（3，-2，-2）、（-3，2，2）、（-3，2，-2）、（-3，-2，2）、（-3，-2，-2）8（2007山東昌樂模擬）三角形的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的形狀為（ ）A正三角形 B銳角三角形 C直角三角形 D鈍角三角形解析C9(2008年佛岡一中模擬)已知空間直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的直線上的動點(diǎn)，則兩點(diǎn)的最短距離是（ ）A B C3 D 解析因?yàn)辄c(diǎn)B在平面內(nèi)的直線上，故可設(shè)點(diǎn)B為，所以，所以當(dāng)時，AB取得最小值，此時點(diǎn)B為。BXACYDZOQP10如圖，以棱長為的正方體的三條棱為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)在正方體的對角線上，點(diǎn)在正方體的棱上。（1）當(dāng)點(diǎn)為對角線的