有限元第四章一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論

1、4-1 線性空間（向量空間）線性空間（向量空間） 1. 線性空間的定義滿足下列條件的空間E為線性空間(1) x, y , zE 有如下“加法加法”運算（i）（ii）（iii）存在“零元素零元素” q E x E 有（iv） x E 存在逆元素逆元素 x E 使xyyxzxyzyx)()(xx)( xx(2) 設(shè) 中的元素與實數(shù)域的元素有“數(shù)乘數(shù)乘”運算，即 x, y E，a, b K(實數(shù)域）（i）（ii）（iii）（iv）若為實數(shù)域則 稱為實線性空間實線性空間， 為復(fù)數(shù)域則 稱為復(fù)線性空間復(fù)線性空間。Exxabbaxx 1xxxbabayxyxaaa例C a,b 若、是a, b上的連續(xù)函數(shù)，

2、則 也是a, b上的連續(xù)函數(shù)。故定義在在a, b上的所有連續(xù)函數(shù)組成一個線性空間。記作上的所有連續(xù)函數(shù)組成一個線性空間。記作C a, b。 )(1x)(2x2211cc例L2 （a,b）若 、 是（a, b）上平方可積的函數(shù)，即 、 存在 )(1x)(2xdxxba21)(dxxba22)()()(2)()(2)()()()(2222212121212222212122211xcxcxxccxcxcxcxc則)()(2211xcxc所以 也是（a, b）上平方可積的函數(shù)。所有（所有（a, b）上平方可積的）上平方可積的函數(shù)組成一個線性空間，記作函數(shù)組成一個線性空間，記作L2 (a, b)。例C

3、1 a,b若 、 、 、 在a, b上連續(xù)，則)(1x)(2x)(1x)(2x2211cc2211cc也在（a, b）上連續(xù)。所有函數(shù)本身及一階導(dǎo)數(shù)都在（所有函數(shù)本身及一階導(dǎo)數(shù)都在（a, b）上連續(xù)的函數(shù)組成）上連續(xù)的函數(shù)組成一種線性空間，記作一種線性空間，記作C1 a, b。例Rn n 維歐氏空間是線性空間，R2（二維平面）, R3（三維空間）是 n 維歐氏空間的特例。例Pn(x) a,b 定義在定義在 a,b 上的上的n 次多項式次多項式 Pn(x) a,b C a,b 構(gòu)成線性空間構(gòu)成線性空間。 2 線性空間的維數(shù)( 1 ) 線性相關(guān)與線性無關(guān)n、102211nncccn、102211n

4、nccc021ncccn、1設(shè) 為線性空間的n個元素（i）若存在不全為零的常數(shù)使得則稱 線性相關(guān)； (ii) 若僅當(dāng)才成立，則稱 線性無關(guān)。( 2 ) 線性空間的維數(shù)若線性空間 滿足（i）任意n+1個元素一定線性相關(guān)。（ii）存在著n個線性無關(guān)的元素。則稱線性空間 的維數(shù)為n。n、1nnccc2211iniiiniivvuu11,例若 線性無關(guān)，則所有形式為的試探函數(shù)組成n維線性空間。而所有形式為的位移場則組成 2n 維線性空間。例由于可以找出任意多個線性無關(guān)的連續(xù)函數(shù)（ ） 所以空間為無限維線性空間。2 空間也是無限維線性空間。nxxx21、3. 線性空間的模（范數(shù)）模（范數(shù)）（）模的定義（

5、）模的定義 當(dāng)線性空間 E 中的任意一個元素 x 可用一個非負(fù)實數(shù)與之對應(yīng)，記作x（表示“大小”或“長度”）稱為E 空間為模線性空間模線性空間或賦范線性空間賦范線性空間，實數(shù)x稱為模或范數(shù)。模的性質(zhì)如下： (i) x0 ,僅當(dāng) x 0 時 x=0(ii) 對任一常數(shù)有: x= x(iii) 對任意x、y E有: x + yxy （此式又稱三角不等式）。x-元素 x 的“大小”，x - y-兩個元素 x、y 之間的“距離”。 當(dāng)當(dāng)u-uh0， 設(shè)真實解為設(shè)真實解為u，有限元解為，有限元解為uh，有限元解收斂于真實解。有限元解收斂于真實解。模的定義不同，收斂的意義也不同。模的定義不同，收斂的意義也

6、不同。例 在 平面() 內(nèi)，向量 x（x1, x2）可以有下列三種模的定義:2121122212,maxxxxxxxxxx例設(shè) x, y E 則， II x- y II 可以表示這兩個元素的“接近程度”，若在R2 空間中的兩個元素，x ( 1, 1 ), y ( 2, 4 )可以有如下模的定義:3,max4102211221112222112yxyxyxyxyxyxyxyxyxx (1,1) 3y (2,4)10圖在實數(shù)域內(nèi)， 模 與絕對值 是等價的。xx（）兩種常用的模（）兩種常用的模 一致模一致模若u C a, b，則 u 必在 a, b 上取到最大值和最小值，故:uubxamax L2

7、模模若u L2 (a, b)則 存在，dxuLba22L2 模模 定義為：2122dxuubaL按一致模收斂是一致收斂一致收斂，按 L2 模收斂則是平均收斂平均收斂。 4-2 內(nèi)積空間（酉空間）內(nèi)積空間（酉空間）. 內(nèi)積內(nèi)積對于線性空間 的每一對元素 u、v 定義一個確定的實數(shù)與之對應(yīng)，稱為 u、v 的內(nèi)積，記作（u、v），且滿足:(i)（ u、v）（v、u） （對稱性）(ii) 對任一常數(shù)有(u, v) = (u, v) （齊次性）(iii) 對于u1、u2、v E有 ( u1+u2 , v ) = ( u1 , v )+( u2 , v ) （可加性）(iv) (u , u) 0 僅當(dāng) u

8、 0 時(u , u ) = 0。定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。例 u(x), v(x) C2 a, b 至少存在以下四種形式的內(nèi)積： dxvuxvudxvuvuvuvudxvuvuvudxvuvubabababa ,其中 (x) 是a, b上的給定函數(shù)。. 內(nèi)積模內(nèi)積模 uuu,dxvubadxvuvuba),(2Lbaudxuuu0dxvubavuvuvu,在內(nèi)積空間，可以直接利用內(nèi)積來定義元素的模 在內(nèi)積空間中，u 與 v 之間的距離可用內(nèi)積模表示 3. 正交性正交性 內(nèi)積空間與一般線性空間的不同之處是可以用內(nèi)積來定義兩個元素之間的正交關(guān)系，函數(shù)之間的

9、“正交”。若若（ u、v）則稱）則稱 u、v正交。模及正交性涵義取決于內(nèi)積的定義。正交。模及正交性涵義取決于內(nèi)積的定義。 例 若積分 存在， 可定義內(nèi)積則模的定義而u、v 正交的含義為：例如，在 0, 上當(dāng) mn 時 sinmx 與sinnx 正交。例若 0 且積分dxvuba存在 0,dxvuvuba而 u、v 正交則意味著dxvuvuba,內(nèi)積dxuuuba模即通常理解的 u、v以 為權(quán)正交。4. Schwarz 不等式不等式 設(shè) u、v 是內(nèi)積空間的兩個元素，t 為任一實數(shù)，則 tu-v 也是內(nèi)積空間的一個元素，顯然，它自身的內(nèi)積 0,vtuvtu 0,2,2vvvutuut上式對任何實

10、數(shù) t 都成立的充分必要條件是： 0,2vvuuvu222,vuvu即vuvu,或Schwarz不等式不等式 對于a、b 兩個向量 bababaacosEuclid空間的三角不等式 5. 收斂性與完備性收斂性與完備性（1）收斂性0lim0 xxnn Exn點列（賦范線性空間），若存在0 x則，稱 為點列 的強極限強極限，讀作： 強收斂于 ，模的定義不同收斂的涵義不同。0 x nx nx（2）完備性若若 E 空間中的每一個元素列收斂于空間中的每一個元素列收斂于 E 中的一個元素，則稱空間中的一個元素，則稱空間 E 是完備的。是完備的。 Hilbert空間-完備的內(nèi)積空間。Banach空間-完備的

11、賦范線性空間。 是Hilbert空間的子空間。 是 的子集。 baL,2baL,2baC, 許多數(shù)學(xué)物理問題的許多數(shù)學(xué)物理問題的解解存在于存在于某一類函數(shù)空間某一類函數(shù)空間中。換句話來說為了得中。換句話來說為了得到有意義的解，必需明確到有意義的解，必需明確解的存在空間解的存在空間。即對組成解的函數(shù)的類型作一限。即對組成解的函數(shù)的類型作一限定。值得注意的是，如果限制的過于嚴(yán)格會將一些解排除在外，限制過寬定。值得注意的是，如果限制的過于嚴(yán)格會將一些解排除在外，限制過寬可能導(dǎo)致解無意義?？赡軐?dǎo)致解無意義。 有限元解的存在空間為索伯列夫空間，是有限元解的存在空間為索伯列夫空間，是Hilbert 空間的

12、子空間?？臻g的子空間。4-3 索伯列夫空間索伯列夫空間HK. HK 空間的定義及實例廣義導(dǎo)數(shù)空間的定義及實例廣義導(dǎo)數(shù) 當(dāng)當(dāng) k 為非負(fù)整數(shù)時，為非負(fù)整數(shù)時，HK() 表示在定義域表示在定義域內(nèi)，內(nèi)，函數(shù)本身以及直到函數(shù)本身以及直到k階導(dǎo)數(shù)都平方可積的函數(shù)全體。階導(dǎo)數(shù)都平方可積的函數(shù)全體。 （）若 u(x) H1(0, L)，則積分dxuL02dxuL02)(xuu1u2u3u4u5x5x4x3x2x10圖4-2對于圖對于圖4-2 所示的分段線性插值函數(shù)所示的分段線性插值函數(shù)u(x)而言，顯然上兩式成立。而言，顯然上兩式成立。 在點在點 x2、x3、x4 處，按通常的意義處，按通常的意義u 不存

13、在，左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)。不存在，左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)。 補充定義：補充定義：取兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的平均值作為該點的導(dǎo)數(shù)值（廣義導(dǎo)數(shù)）。取兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的平均值作為該點的導(dǎo)數(shù)值（廣義導(dǎo)數(shù)）。定義了廣義導(dǎo)定義了廣義導(dǎo)數(shù)的空間就是完備的線性空間數(shù)的空間就是完備的線性空間 在通過結(jié)點時不連續(xù)，有限跳躍量，在通過結(jié)點時不連續(xù)，有限跳躍量， 在結(jié)點處為在結(jié)點處為函數(shù)。函數(shù)。函數(shù)本身可積，但平方不可積。函數(shù)本身可積，但平方不可積。結(jié)論：結(jié)論：對于分段線性插值的函數(shù)對于分段線性插值的函數(shù)u(x)而言：而言：u H1(0, L)，但，但u H2(0, L)。 u u（）設(shè)（）設(shè)為一平面二維區(qū)域，為一平面二維區(qū)域， 將將分

14、成若干三角形的片（單元），取各三角形的項點為結(jié)點，分成若干三角形的片（單元），取各三角形的項點為結(jié)點， 以結(jié)點處的函數(shù)值對單元內(nèi)的位移場進(jìn)行分片線性插值。以結(jié)點處的函數(shù)值對單元內(nèi)的位移場進(jìn)行分片線性插值。 函數(shù)函數(shù)u(x,y)在在上連續(xù)，且積分上連續(xù)，且積分 x圖4-3ydxdyu2dxdyxu2dxdyyu2存在存在在單元邊界和結(jié)點處在單元邊界和結(jié)點處 ：yxuyuxu22222,xuyu單元邊界上單元邊界上取邊界兩側(cè)的平均值，在取邊界兩側(cè)的平均值，在結(jié)點處結(jié)點處取包圍這個結(jié)點各取包圍這個結(jié)點各單元的加權(quán)平均值（按各單元所占有的角度加權(quán)）單元的加權(quán)平均值（按各單元所占有的角度加權(quán)） 為一為一

15、函數(shù)函數(shù)結(jié)論：二維分片線性插值的函數(shù)結(jié)論：二維分片線性插值的函數(shù)u，有，有u H1()，但，但u H2()。（）在研究梁的彎曲時（）在研究梁的彎曲時 以結(jié)點處的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值作為結(jié)點參數(shù)，采用分段三次以結(jié)點處的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值作為結(jié)點參數(shù)，采用分段三次Hermite插值插值來構(gòu)造試探函數(shù)來構(gòu)造試探函數(shù)v(x)(圖圖4-4)。v(x)、v(x)在在 0, L上連續(xù)上連續(xù)xvx1x2x3x4圖4-4dxvL02 dxvL02 dxvL 02存在存在在結(jié)點處：在結(jié)點處：v 為一為一函數(shù)，平方以后不可積。函數(shù)，平方以后不可積。結(jié)論：對于分段三次結(jié)論：對于分段三次Hermite插值的函數(shù)插值的函數(shù)

16、v(x) 有有v H2(a, b)， 但但u 3(a, b)。HK空間中所提到的導(dǎo)數(shù)，都是指廣義導(dǎo)數(shù)。如果通常意義下的導(dǎo)數(shù)存在，空間中所提到的導(dǎo)數(shù)，都是指廣義導(dǎo)數(shù)。如果通常意義下的導(dǎo)數(shù)存在，它將與廣義導(dǎo)數(shù)完全一致。它將與廣義導(dǎo)數(shù)完全一致。任何一個任何一個HK空間都是無限維線性空間?？臻g都是無限維線性空間。H2()是是H1()的子空間；的子空間；H()是是H()的子空間又是的子空間又是H)的子空間。的子空間。H()只要求函數(shù)本身平方可積，與只要求函數(shù)本身平方可積，與L2()是一回事。是一回事。一般說來，用分片插值多項式定義的函數(shù)，在單元內(nèi)部的可微性都比較好。一般說來，用分片插值多項式定義的函數(shù)，

17、在單元內(nèi)部的可微性都比較好。在整個區(qū)域上的可微性主要取決于插值函數(shù)在穿過單元邊界時的性質(zhì)。在整個區(qū)域上的可微性主要取決于插值函數(shù)在穿過單元邊界時的性質(zhì)。. 索伯列夫空間的模索伯列夫空間的模 設(shè)設(shè)為一平面二維區(qū)域為一平面二維區(qū)域212222dxdyyuxuuu當(dāng)當(dāng)u H1()時，模的定義為：時，模的定義為：21222222222222dxdyxuyxuxuyuxuuu當(dāng)當(dāng)u H2() 時，定義時，定義如此定義模的意義：如此定義模的意義：若若u 為位移函數(shù)，則在討論收斂性時，若收斂一定為位移函數(shù)，則在討論收斂性時，若收斂一定意味著函數(shù)本身（位移）的收斂性，也包括了函數(shù)的若干階導(dǎo)數(shù)（自然意味著函數(shù)本

18、身（位移）的收斂性，也包括了函數(shù)的若干階導(dǎo)數(shù)（自然包括了應(yīng)力）的收斂性。包括了應(yīng)力）的收斂性。 . 索伯列夫空間的半模（積分中不含函數(shù)自身）索伯列夫空間的半模（積分中不含函數(shù)自身） 當(dāng)當(dāng)為一平面二維區(qū)域時，半模的定義下：為一平面二維區(qū)域時，半模的定義下：21221dxdyyuxuu當(dāng)當(dāng) 時時 1Hu21222222221dxdyxuyxuxuu 2Hu當(dāng)當(dāng) 時時上兩式定義的半模描述了某一階廣義導(dǎo)數(shù)的上兩式定義的半模描述了某一階廣義導(dǎo)數(shù)的“大小大小”。 . 能量模和能量內(nèi)積能量模和能量內(nèi)積 彈性體的彈性體的變形能總是非負(fù)的變形能總是非負(fù)的， 可以用一非負(fù)實數(shù)與其對應(yīng)。如果所加的位移約束可以用一非

19、負(fù)實數(shù)與其對應(yīng)。如果所加的位移約束條件使整個系統(tǒng)不能做剛體運動，那么只有在系統(tǒng)的位移恒為零時總變形能才等于零。條件使整個系統(tǒng)不能做剛體運動，那么只有在系統(tǒng)的位移恒為零時總變形能才等于零。在這種情況下就允許我們把在這種情況下就允許我們把變形能作為一種模的定義（能量模），變形能作為一種模的定義（能量模），并且由此受到啟發(fā)并且由此受到啟發(fā)去定義能量內(nèi)積。去定義能量內(nèi)積。 借用了數(shù)學(xué)上的借用了數(shù)學(xué)上的模模與與內(nèi)積內(nèi)積的概念，可以抽象的表達(dá)總勢能函數(shù)及分析解的性質(zhì)。的概念，可以抽象的表達(dá)總勢能函數(shù)及分析解的性質(zhì)。將將u, v 的能量內(nèi)積寫成的能量內(nèi)積寫成 D(u, v)u 的能量模的能量模),(uuDu

20、H LdxvuEAvuD0),(LHdxuEAuuDu022)(),(對于的軸向受拉桿（圖對于的軸向受拉桿（圖4-5），有），有 Lf(x)x,u0圖4-5vx圖4-6 對于彈性基礎(chǔ)上的簡支梁（圖對于彈性基礎(chǔ)上的簡支梁（圖4-6），若），若支承剛度為支承剛度為k(x), 則能量內(nèi)積和能量模的則能量內(nèi)積和能量模的平方分別為平方分別為 LdxwkvwvEIwuD0)()(),( LHdxkvvEIvvDv0222)(),(),(21vvD當(dāng)當(dāng)k 0 時，梁彎曲變形能時，梁彎曲變形能 能量內(nèi)積能量內(nèi)積能量模的平方能量模的平方x,uy,v圖4-7平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 vuU分別表達(dá)兩種不同的位移場

21、分別表達(dá)兩種不同的位移場 tdxdyxyyxEUxyyxUD0000),(T能量模的平方能量模的平方 tdxdyuxyyxEuxyyxuuDuH0000),(T2能量內(nèi)積能量內(nèi)積 外力外力 f 在位移場在位移場 u 上作的功也可表示為內(nèi)積形式上作的功也可表示為內(nèi)積形式 (f, u),(),(21ufuuDP0),(),(ufuuDP勢能駐值條件勢能駐值條件 這里這里 u 泛指一般的位移場，而泛指一般的位移場，而 f 則泛指一般外載荷。這樣借助能量內(nèi)積和則泛指一般外載荷。這樣借助能量內(nèi)積和能量模的概念，我們就可以暫時擺脫問題的具體物理背景，而理論分析得到的結(jié)能量模的概念，我們就可以暫時擺脫問題的

22、具體物理背景，而理論分析得到的結(jié)論將適用于任何一個具體的問題（橢圓型方程邊值問題）。論將適用于任何一個具體的問題（橢圓型方程邊值問題）。 系統(tǒng)的總勢能寫成系統(tǒng)的總勢能寫成 ：uuuu,2222泛定方程泛定方程邊界條件邊界條件初始條件初始條件偏微分方程的定解問題偏微分方程的定解問題4-4 插值逼近的誤差分析插值逼近的誤差分析hP2 (x)x1A1A2x2x3A3圖4-81. 一維情況一維情況單元單元 e 為長為長 h 的區(qū)間，設(shè)真解的區(qū)間，設(shè)真解 u H3 (0, h) A1、A2、A3 為曲線為曲線 u(x) 上的三個點，過上的三個點，過這三個點作一條二次曲線這三個點作一條二次曲線 p2(x.

23、)xu(x)u0研究以研究以 p2(x) 代替代替 u(x) 造成的誤差造成的誤差 )()()(2xpxuxE), 0(H3hu), 0(H)(3hxE3333dxuddxEd誤差函數(shù)誤差函數(shù): 22)(dxEddxdExE、在在 0, h 上連續(xù)上連續(xù) x1E(x)xx2x*1x30 x*2圖4-90)(0)(0)(321xExExE、0dxdE必存在兩個點必存在兩個點x1*,x2*, x1x1*x2x2*x3 (圖圖4-9)使得使得 x*xx*10 x*2圖4-10 xE因此又可以找到一點因此又可以找到一點x*,x1*x*x2* (圖圖4-10) 使得使得0dxEd22dxxxdxuddx

24、xxdxEddxEd*333322dxhdxuddxhdxuddxxxdxuddxEd010*33333322利用利用Schwarz不等式，則不等式，則23023302203322211uhdxdxuddxdxdxuddxEdhhh32123210232102222uhuhhdxuhdxdxEdEhh進(jìn)一步可得到誤差函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)的進(jìn)一步可得到誤差函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)的半半模與函數(shù)模與函數(shù) u 的三次導(dǎo)數(shù)半模之間的關(guān)系的三次導(dǎo)數(shù)半模之間的關(guān)系類似有類似有huhEhdxdxdEE03222121)(101EhdxdxdEdxdxdEEhxx放大積分區(qū)間放大積分區(qū)間函數(shù)函數(shù)u 對對x 的三次導(dǎo)數(shù)的半模的

25、平方的三次導(dǎo)數(shù)的半模的平方3321022uhdxEEhL3322uhpuL重要結(jié)論：重要結(jié)論： （1）適當(dāng)增加單元內(nèi)插值點個數(shù)，增加插值多項式次數(shù)，有可能提高精）適當(dāng)增加單元內(nèi)插值點個數(shù)，增加插值多項式次數(shù)，有可能提高精度，但要受到函數(shù)本身（真解）可微性的限制。當(dāng)度，但要受到函數(shù)本身（真解）可微性的限制。當(dāng)u HK(e) 、(k2)時采用時采用k1次多項式可以達(dá)到最高的精度次多項式可以達(dá)到最高的精度 (函數(shù)本身的誤差為函數(shù)本身的誤差為hk (e) )。再增加插值多項式次數(shù)，精度當(dāng)然不會降低，但也未必能夠提高。當(dāng)再增加插值多項式次數(shù)，精度當(dāng)然不會降低，但也未必能夠提高。當(dāng)uH1(e) 時一般采用

26、線性插值。時一般采用線性插值。（2）函數(shù)本身的精度最好，導(dǎo)數(shù)的精度低于函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高，精度越低。）函數(shù)本身的精度最好，導(dǎo)數(shù)的精度低于函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高，精度越低。2. 一般情況一般情況若函數(shù)（真解）若函數(shù)（真解）u HK(e), (k2)。在單元內(nèi)用一個多項式逼近函數(shù)在單元內(nèi)用一個多項式逼近函數(shù)u； 插值多項式記作插值多項式記作k1u。其中下標(biāo)。其中下標(biāo) k1 意味著插值多項式完全到意味著插值多項式完全到 k1 次次; 33232132uhPuuhEuhE當(dāng)當(dāng)k2 時有時有 euhCeuukKLk,21 euhCeuukKk,111 euhCeuukKk,221(4-4-1)(4-4-

27、2)(4-4-3)當(dāng)當(dāng) k3 時有時有 （2）當(dāng)）當(dāng)uH3(e) 時，可以采用二次插值多項式，提高收斂速度。當(dāng)時，可以采用二次插值多項式，提高收斂速度。當(dāng)uH1(e) 時前述誤差估計式不能直接用，但仍可采有線性插值，函數(shù)和一時前述誤差估計式不能直接用，但仍可采有線性插值，函數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)的收斂性可以加以證明，但收斂速度可能較慢。階導(dǎo)數(shù)的收斂性可以加以證明，但收斂速度可能較慢。 其中其中 h 為單元直徑為單元直徑，即單元內(nèi)任意兩點之間的最大距離，對三角形為最長邊，對矩，即單元內(nèi)任意兩點之間的最大距離，對三角形為最長邊，對矩形為對角線。形為對角線。C 代表與代表與 u 和、和、h 無關(guān)、只與單元形狀

28、（對三角元指內(nèi)角，對矩形元指長無關(guān)、只與單元形狀（對三角元指內(nèi)角，對矩形元指長寬比）有關(guān)的常數(shù)。寬比）有關(guān)的常數(shù)。 （1）當(dāng)）當(dāng)uH2(e) 時，采用完全到一次項的多項式，當(dāng)時，采用完全到一次項的多項式，當(dāng)h0時函數(shù)時函數(shù)誤差為誤差為(h2)階，一階導(dǎo)數(shù)誤差為階，一階導(dǎo)數(shù)誤差為(h)階。階。 有限元解的誤差不僅取決于插值多項式次數(shù)，而且有賴于真有限元解的誤差不僅取決于插值多項式次數(shù)，而且有賴于真實解的可微性（實際的位移場的平緩性）。實解的可微性（實際的位移場的平緩性）。4-5 廣義解的可微性角點廣義解的可微性角點 . 有限元解的容許空間有限元解的容許空間 ),(),(21ufuuDP橢圓型方程

29、邊值問題的總勢能函數(shù)為：橢圓型方程邊值問題的總勢能函數(shù)為： 滿足強制性邊界條件和協(xié)調(diào)條件、且使總勢能取駐值（最小值）的滿足強制性邊界條件和協(xié)調(diào)條件、且使總勢能取駐值（最小值）的 u 稱為在稱為在Ritz 意義下的廣義解。意義下的廣義解。 二階問題：二階問題： D (u, u) 可能包括可能包括 u 和和 u 的一階導(dǎo)數(shù)，為使的一階導(dǎo)數(shù)，為使P存在必須要求存在必須要求u H1()。H1()稱為二階問題的容許空間。稱為二階問題的容許空間。 而四階問題的容許空間則是而四階問題的容許空間則是H()。 u 的能量模的能量模),(uuDuH2. 廣義解可微性廣義解可微性 (解函數(shù)的平滑性解函數(shù)的平滑性)三

30、方面的因素：三方面的因素：材料性質(zhì)不連續(xù)材料性質(zhì)不連續(xù)、載荷不連續(xù)載荷不連續(xù)以及以及角點角點。 (1) 材料性質(zhì)不連續(xù)材料性質(zhì)不連續(xù) 假設(shè)求解區(qū)域假設(shè)求解區(qū)域由兩種材料組成，材料分界線由兩種材料組成，材料分界線是一光滑曲線。是一光滑曲線。 只要在劃分單元時使只要在劃分單元時使作為單元邊界，那么這作為單元邊界，那么這種材料性質(zhì)的不連續(xù)雖然降低了廣義解在整個區(qū)域種材料性質(zhì)的不連續(xù)雖然降低了廣義解在整個區(qū)域上的可微性，卻不會降低在單元內(nèi)的可微性。上的可微性，卻不會降低在單元內(nèi)的可微性。(圖圖4-11) 圖4-110yx(2) 載荷不連續(xù)載荷不連續(xù)圖4-12一維二階問題（桿拉伸），允許內(nèi)部載荷為集中力

31、一維二階問題（桿拉伸），允許內(nèi)部載荷為集中力 二維二階問題（膜、平面應(yīng)力）不允許在二維二階問題（膜、平面應(yīng)力）不允許在內(nèi)施加集內(nèi)施加集中力（過分奇異）。中力（過分奇異）。二維四階問題（板彎曲）允許施加集中力。二維四階問題（板彎曲）允許施加集中力。 取載荷不連續(xù)處作為單元邊界，這種不連續(xù)性就不致降低單元內(nèi)廣義取載荷不連續(xù)處作為單元邊界，這種不連續(xù)性就不致降低單元內(nèi)廣義解的可微性。解的可微性。 (3) 角點角點FEDCBA(a)P2P1(c)P(b)圖4-13(d)a角點是指邊界上不光滑的點。角點是指邊界上不光滑的點。在角點附近往往伴隨著應(yīng)力集中現(xiàn)象，應(yīng)力變化急劇在角點附近往往伴隨著應(yīng)力集中現(xiàn)象，

32、應(yīng)力變化急劇 。 采用逐步加密的單元網(wǎng)格，這種網(wǎng)格在奇點附近采用逐步加密的單元網(wǎng)格，這種網(wǎng)格在奇點附近的單元取的很小，但只采用低階插值多項式；的單元取的很小，但只采用低階插值多項式； 在奇點附近的單元上假定具有某種奇異項的位移在奇點附近的單元上假定具有某種奇異項的位移場（即，采用與遠(yuǎn)離奇異點的單元不同的單元）。場（即，采用與遠(yuǎn)離奇異點的單元不同的單元）。 在劃分單元時使分界線為單元邊界；取角點在劃分單元時使分界線為單元邊界；取角點為結(jié)點，但是單元內(nèi)假設(shè)的多項式形式的插值函為結(jié)點，但是單元內(nèi)假設(shè)的多項式形式的插值函數(shù)仍然不能很好地逼近角點附近急劇變化的應(yīng)力數(shù)仍然不能很好地逼近角點附近急劇變化的應(yīng)

33、力場。場。 在角點附近挖出一個小扇形區(qū)，取為極點，在角點附近挖出一個小扇形區(qū)，取為極點，則在極坐標(biāo)下泊松方程的形式為則在極坐標(biāo)下泊松方程的形式為 薄膜問題薄膜問題 01122222furrurru 設(shè)角點附近的邊界為直線，沿此邊界施加設(shè)角點附近的邊界為直線，沿此邊界施加 u = 0 的邊界條件，扇形夾角的邊界條件，扇形夾角 ( 0即出現(xiàn)凹角時，即出現(xiàn)凹角時，u 不在屬于不在屬于H2。 rur12sinrCu=2時，時， 具有具有 的奇異性，對應(yīng)的位移項為：的奇異性，對應(yīng)的位移項為： 平面應(yīng)力場的裂紋尖端存在著類似的情況（圖平面應(yīng)力場的裂紋尖端存在著類似的情況（圖4-14(a)） 對于固定對于固

34、定自由邊界的分界點上，通過對稱延拓，不難看出，與內(nèi)角為自由邊界的分界點上，通過對稱延拓，不難看出，與內(nèi)角為的自由邊界的自由邊界相當(dāng)（圖相當(dāng)（圖4-14（b） 對于凹角（特別是對于裂紋），采用大致均勻的單元網(wǎng)格即使是采用高次插對于凹角（特別是對于裂紋），采用大致均勻的單元網(wǎng)格即使是采用高次插值多項式也不會在奇點附近取得較好的逼近效果（因為在奇點附近，真實解與多值多項式也不會在奇點附近取得較好的逼近效果（因為在奇點附近，真實解與多項式相甚遠(yuǎn)），而且這種誤差會傳播到不包含奇導(dǎo)性的其他單元。項式相甚遠(yuǎn)），而且這種誤差會傳播到不包含奇導(dǎo)性的其他單元。 在裂紋附近的單元中采用除完全的一次項外還可以增加相當(dāng)

35、于在裂紋附近的單元中采用除完全的一次項外還可以增加相當(dāng)于 的項的的項的插值方式。插值方式。 r4-6 協(xié)調(diào)位移單元的收斂性和誤差估計協(xié)調(diào)位移單元的收斂性和誤差估計uShuhH1u0圖4-151. 有限元空間有限元空間Sh 對于任何實際需要用有限元分析的問題首先要做到對于任何實際需要用有限元分析的問題首先要做到:(i) 將區(qū)域?qū)^(qū)域劃分為劃分為m個單元（在平面情況下可以是三角元或矩形元）。個單元（在平面情況下可以是三角元或矩形元）。 (iii) 選擇每個單元內(nèi)的插值多項式。多項式滿足協(xié)調(diào)性和可微性要求，且多項式選擇每個單元內(nèi)的插值多項式。多項式滿足協(xié)調(diào)性和可微性要求，且多項式的系數(shù)要能由單元所包

36、括的結(jié)點參數(shù)唯一確定。的系數(shù)要能由單元所包括的結(jié)點參數(shù)唯一確定。(ii) 配置好每個單元的結(jié)點，選擇好每個結(jié)點參數(shù)。對于二階問題總以結(jié)點函配置好每個單元的結(jié)點，選擇好每個結(jié)點參數(shù)。對于二階問題總以結(jié)點函數(shù)值為結(jié)點參數(shù)，以下我們僅限于討論二階問題。數(shù)值為結(jié)點參數(shù)，以下我們僅限于討論二階問題。 得到一組基函數(shù)得到一組基函數(shù)1、2、n。它們滿足協(xié)調(diào)性和可微性要求；每個基函數(shù)只。它們滿足協(xié)調(diào)性和可微性要求；每個基函數(shù)只在一個結(jié)點上為，在其余結(jié)點上為零。在一個結(jié)點上為，在其余結(jié)點上為零。 我們把形如我們把形如u =uii（其中（其中i為定義的基函數(shù)，為定義的基函數(shù)，ui 任意常數(shù)）的函數(shù)任意常數(shù)）的函數(shù)

37、全體稱為由基函數(shù)全體稱為由基函數(shù)1、2、n 張成的有限元空間，記作張成的有限元空間，記作 Sh。 u 以精確的結(jié)點參數(shù)值進(jìn)行插值所得到的分片插值函數(shù)。以精確的結(jié)點參數(shù)值進(jìn)行插值所得到的分片插值函數(shù)。Sh 是一個有限維空間。是一個有限維空間。 1,HSuhhuh 有限元解，結(jié)點參數(shù)由有限元解，結(jié)點參數(shù)由P= 0 定出，一般僅是近似值。定出，一般僅是近似值。 11,HSHSuhh. 有限元解的投影關(guān)系有限元解的投影關(guān)系0),(),(ufuuDp0),(),(ufuuD(4-6-1)0),(),(ufuuDh(4-6-2)0),(uuuDh(4-6-3),(),(21ufuuDpu的勢能駐值條件可表

38、示為：對任意的勢能駐值條件可表示為：對任意 有有 二階問題的二階問題的真實解真實解 u 可以表述為：尋找一個可以表述為：尋找一個 u H1(), 使得對任何使得對任何u H1()（記作（記作 uH1()） 都有都有 有限元解有限元解 uh 則可表述為：尋找一個則可表述為：尋找一個uhSh，使得對，使得對 uSh 都有都有將（將（4-6-1）與（）與（4-6-2）相減）相減 （4-6-3）表明：真實解）表明：真實解 u 與有限元解與有限元解 uh 之差與之差與Sh 的任一元素的任一元素 在能量內(nèi)積的意在能量內(nèi)積的意義下正交。（圖義下正交。（圖4-15）。換句話說：）。換句話說：uh 是是 u 在

39、在 Sh 上的投影。上的投影。uuShuhH1u0圖4-15即在能量模意義下，即在能量模意義下，uh 是是 Sh 的所有元素中與的所有元素中與 u “最接近最接近”的一個元素。的一個元素。 對于對于u （由結(jié)點的精確值構(gòu)造的試探函數(shù)）有（由結(jié)點的精確值構(gòu)造的試探函數(shù)）有 ),(),(uuuuDuuuuDhh(4-6-4)證明如下：證明如下：),(2),(),(),(2),(2),(),(),(2),(),(),(),(2hhhhhhhhhhhhhhhhhhuvuuDuvuvDvuvuDuvuvDuvuuDuvuvDvuvuDuvvuDuvuvDvuvuDuvvuuvvuDuuuuDuu0),(

40、0),(hhhhuvuvDuvuuD),(),(vuvuDuuuuDhh(4-6-5)所以有所以有由于由于 上式說明了這樣的事實：上式說明了這樣的事實：u（精確的結(jié)點參數(shù)值構(gòu)成的插值函數(shù)）在能量模的意義（精確的結(jié)點參數(shù)值構(gòu)成的插值函數(shù)）在能量模的意義下并不比下并不比uh（由近似的結(jié)點參數(shù)值構(gòu)成的插值函數(shù)）在整個求解域內(nèi)更好（圖（由近似的結(jié)點參數(shù)值構(gòu)成的插值函數(shù)）在整個求解域內(nèi)更好（圖4-16）。）。 圖4-16xuh x1ux2x30u . 收斂性證明收斂性證明 設(shè)真實解設(shè)真實解 u HK()，各單元的分片插值多項式完全到，各單元的分片插值多項式完全到 k次次 （k1次稱為次稱為有限元空間有限元空間Sh 的次數(shù)），有限元解為的次數(shù)），有限元解為uh。 對于二階問題，能量模最多同時包括函數(shù)及函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。對每個單元對于二階問題，能量模最多同時包括函數(shù)及函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。對每個單元 ei 都有都有(4-6-6)max(1iCCmi)max(1ihhmi2,22212,22212,22