基于 CORDIC 算法實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換

1、基于 CORDIC 算法實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換的 VHDL 函數(shù)的應(yīng)用李穎弢，劉肅*，傅麗萍 蘭州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，甘肅蘭州(730000) E-mail：li_yt06lzu 摘 要：本文依據(jù) CORDIC 算法，用 VHDL 語(yǔ)言程序代碼定義了一個(gè)函數(shù)。此 Function 包 括兩種不同模式，分別稱作坐標(biāo)模式，向量模式。調(diào)用此 Function ，通過(guò)對(duì)不同模式的選 擇，可以實(shí)現(xiàn)任意象限內(nèi)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)換。經(jīng)驗(yàn)證，用本函數(shù)計(jì)算仿真 出的結(jié)果與理論值相比誤差小于 10-4。使得設(shè)計(jì)出來(lái)的 Function 能夠在相關(guān)的運(yùn)算與代碼 中被直接調(diào)用。在混頻器中，用設(shè)計(jì)的

2、 CORDIC 模塊代替本地振蕩器，只需要改變輸入就 可以得到頻率更加穩(wěn)定的所需信號(hào)，能夠有效防止振蕩器的實(shí)際振蕩頻率偏離標(biāo)稱頻率。 關(guān)鍵詞：CORDIC；VHDL；Function；坐標(biāo)模式；向量模式中圖分類號(hào)：TN4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A1. 引言CORDICCoordinate Rotation Digital Computer算法即坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算方法，是一 種用于計(jì)算一些常用的根本運(yùn)算函數(shù)和算術(shù)操作的循環(huán)迭代算法，最初由J.E.Volder1于1959年提出。主要用于計(jì)算乘除，平方根，三角函數(shù),雙曲線,指數(shù)，對(duì)數(shù)以及向量旋轉(zhuǎn)。其 根本思想是用一系列與運(yùn)算基數(shù)相關(guān)的角度的不斷偏轉(zhuǎn)從而逼近所需

3、要旋轉(zhuǎn)的角度。它是 一種數(shù)值性計(jì)算逼近的方法，由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和整個(gè)運(yùn)算只有加法與移位的優(yōu)點(diǎn)，使得 一些復(fù)雜的運(yùn)算在硬件上可以很好地實(shí)現(xiàn)。1971 年，J.S.Walter2 將圓周旋轉(zhuǎn)rotation mode、雙曲旋轉(zhuǎn)hyperbolic mode以及線性旋轉(zhuǎn)linear mode統(tǒng)一到一個(gè)CORDIC迭 代方程當(dāng)中，從而提出了一種統(tǒng)一的CORDIC算法形式，可以用統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)多種根本 運(yùn)算，更加滿足了硬件模塊化、規(guī)那么化的要求，使得所有能用CORDIC算法實(shí)現(xiàn)的運(yùn)算都 能用同一個(gè)硬件功能單元來(lái)完成，使之展示出更為廣泛的應(yīng)用前景。目前CORDIC算法已 經(jīng)被成功的應(yīng)用于DSP，信號(hào)處理，

4、航空航天，機(jī)器人技術(shù)，醫(yī)療儀器，濾波技術(shù)，F(xiàn)FT變 換等領(lǐng)域 3-6。本文中，基于 CORDIC 算法，實(shí)現(xiàn)了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換的 VHDL 函數(shù)。通過(guò)對(duì) 不同模式的選擇，一方面可應(yīng)用于調(diào)制電路以及鎖相環(huán)組成的調(diào)頻電路中，用 CORDIC 模 塊來(lái)產(chǎn)生滿足載荷信息要求的載波信號(hào)，另外在混頻器中，為了防止振蕩器的實(shí)際振蕩頻 率偏離標(biāo)稱頻率，用 CORDIC 模塊來(lái)代替本地振蕩器，能夠得到頻率更加穩(wěn)定的信號(hào)。2. Function 原理以及其 VHDL 代碼 基于 CORDIC 算法的 function 原理2.1.1 坐標(biāo)模式 坐標(biāo)模式可以實(shí)現(xiàn)極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，給定極坐標(biāo)下向量的大小

5、以及角度 Z，計(jì)算向量在直角坐標(biāo)中所對(duì)應(yīng)的 X,Y 值。依據(jù) CORDIC 算法，首先將 Y0 初始化為 0，Z0初始化為需要旋轉(zhuǎn)的角度值，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)一系列根本角度 i，反復(fù)迭代，逐漸逼近 Z0 來(lái) 完成。每一次的迭代公式如下：Xi+1 = XiYi×di×taniYi+1 = Yi + Xi×di×taniZi+1 = Zi - di×ii =0,1,2,3n-1，n 是迭代次數(shù)，也就是旋轉(zhuǎn)的級(jí)數(shù)；di = -1 if Zi 01 if Zi 02.1.2 向量模式 向量模式可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，通過(guò)給定直角坐標(biāo)中對(duì)應(yīng)的X ,Y，

6、可得到X ,Y在極坐標(biāo)下對(duì)應(yīng)的向量大小 Xo 以及角度 Z。首先將角度值初始化為 0，經(jīng)過(guò)反復(fù)的迭代，逐漸逼近 X 軸來(lái)完成。每一次的迭代公式如下：Xi+1 = XiYi×di×tani Yi+1 = Yi + Xi×di×tani Zi+1 = Zi - di×ii =0,1,2,3n-1，n 是迭代次數(shù);di = 1 if Yi 0-1 if Yi 0為了方便硬件的實(shí)現(xiàn)，在任何一種計(jì)算模式下我們令 i 滿足：tani = 2-i，即 i = arctan(2-i)。這樣迭代中的乘法運(yùn)算就可以用更加簡(jiǎn)單快速的移位運(yùn)算代替。在理論的計(jì)算過(guò)程中

7、X 和 Y 在每次迭代時(shí)都應(yīng)乘上 cosi，這樣在迭代最后就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)模校正因子 K，對(duì)于字長(zhǎng) 一定的運(yùn)算，它是一個(gè)常數(shù)。在我們?cè)O(shè)計(jì)的 function 中，X 和 Y 都取 16bit 字長(zhǎng)，迭代最后 形成的模校正因子 K0.6072537,8。由于在 function 中的輸入輸出都取 signed 型數(shù)據(jù)，為 了防止在運(yùn)算中增加校正運(yùn)算，方便硬件的實(shí)現(xiàn)，在 function 中沒有考慮此常數(shù)。因此， 在調(diào)用 function 計(jì)算出來(lái)的結(jié)果與理論值相比時(shí)應(yīng)乘上該校正因子 K。 實(shí)現(xiàn) function 的 VHDL 代碼在我們的函數(shù)中，為了方便硬件的實(shí)現(xiàn)以及運(yùn)算中迭代本身的限制，在坐標(biāo)模式

8、下極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，最大旋轉(zhuǎn)角度為Zmax99.91104。為了能夠?qū)崿F(xiàn)角度 在-180o到180o之間的運(yùn)算，需要對(duì)輸入的角度進(jìn)行預(yù)處理，使其落在第一或者第四象限 內(nèi)，再根據(jù)所處的象限進(jìn)行符號(hào)的判斷。而在向量模式下，為了能夠?qū)崿F(xiàn)任意象限內(nèi)直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，同樣需要對(duì)輸入的X,Y進(jìn)行預(yù)處理,首先使其落在第一或者第四象限 內(nèi)進(jìn)行運(yùn)算，最后根據(jù)所處象限的不同對(duì)極坐標(biāo)下角度進(jìn)行相應(yīng)的符號(hào)轉(zhuǎn)換。為了得到更 高的精度，我們?cè)谟肰HDL語(yǔ)言所描述的function中，取迭代次數(shù)為16次，輸入的X,Y采用16bit的signed型數(shù)據(jù)，輸入的角度采用22bit的signed型，為了不失真，提高計(jì)

9、算的精度， 在運(yùn)算過(guò)程中首先將所有的輸入都擴(kuò)充為22位的數(shù)。對(duì)于輸出的X,Y以及角度都為16bit的signed型數(shù)據(jù)，其最高位均代表符號(hào)位。對(duì)輸入而言，-180o180o范圍內(nèi)的角度，我們用22bit 的signed型的最大正數(shù)代表180o，絕對(duì)值最大的負(fù)數(shù)代表-180o，即：180o =01_1111_1111_1111_1111_1111 (即十進(jìn)制數(shù) 2097151)-180o=10_0000_0000_0000_0000_0000 (即十進(jìn)制數(shù)-2097152)。 而對(duì)于輸出的角度而言，那么是用 16bit 的 signed 型的最大正數(shù)來(lái)代表 180o，絕對(duì)值最大的16bit 的

10、signed 型的負(fù)數(shù)來(lái)代表-180o，即：0111_1111_1111_1111 = 180o (即十進(jìn)制數(shù) 32767)1000_0000_0000_0000 =-180o (即十進(jìn)制數(shù)-32768)3. 結(jié)果與理論值的比擬以及函數(shù)的應(yīng)用 結(jié)果分析與比擬用 modelsim 仿真工具，以及 specman 驗(yàn)證工具，對(duì)我們?cè)O(shè)計(jì)的 function 進(jìn)行了驗(yàn) 證。以下是在不同模式下從 function 得出的結(jié)果與理論值的比擬結(jié)果。3.1.1 向量模式下結(jié)果的比擬在這種模式下用 specman 工具隨機(jī)產(chǎn)生一些 X,Y. Function 計(jì)算出來(lái)的結(jié)果與理論值的 比擬結(jié)果表 1.所示：表

11、1. 向量模式下 Function 計(jì)算結(jié)果與理論值的比擬輸 入X輸入 YFunction 得出的向量X×0.607253Function 得出的角度 Z理論向量值 X理論角度 Z向量 X相對(duì)誤差角度相對(duì)誤差6319-63608964.8760-45.18138965.4538-45.18536.445E-58.852E-5360960637055.672659.23467055.838059.23682.344E-53.714E-5-1575-69557130.9720-102.75517131.1044-102.75971.857E-51.492E-4-25369286932.4

12、00292.09026932.618092.09143.142E-51.303E-55308-69668757.8028-52.69048757.8548-52.69315.938E-55.124E-5-383143555799.8734131.34015800.2229131.33746.026E-52.056E-5712-34103483.2032-78.20073483.5390-78.20629.640E-57.033E-5100010001413.685044.99591414.213645.00003.738E-59.111E-5322942755357.186052.933753

13、57.430952.93554.571E-53.400E-5300017323463.771129.99913464.076229.99938.808E-56.667E-61000-17321999.6841-59.99631999.9560-59.99931.360E-45.000E-5-3000-17323463.7711-149.99633464.0762-150.00078.808E-52.933E-53.1.2 坐標(biāo)模式下 (極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換)結(jié)果的比擬在這種模式下首先取向量值的大小為定值 1000，通過(guò) specman 驗(yàn)證工具選取不同的角 度值,對(duì)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。Funct

14、ion 計(jì)算出來(lái)的結(jié)果與理論值的比擬結(jié)果如表 2. 所示：表 2. 坐標(biāo)模式下 Function 計(jì)算結(jié)果與理論值的比擬輸入角 度 ZFunction 結(jié)果X×0.607253Function結(jié)果Y×0.607253理論值 X理論值 YX 相對(duì) 誤差Y 相對(duì)誤差349525865.9428499.7692866.0254500.00009.538E-54.616E-4699050499.7692865.9428500.0000866.02544.616E-49.538E-510485750.0000999.53840.00001000.0000-4.616E-4139810

15、0-499.7692865.9428-500.0000866.02544.616E-49.538E-51572863-706.8425706.8425-707.1068707.10683.738E-43.738E-42097151-999.53840.0000-1000.00000.00004.616E-4-524288706.8425-706.8425707.1068-707.10683.738E-43.738E-4-699050499.7692-865.9428500.0000-866.02544.616E-49.538E-5-1747626-865.9428-499.7692-866.0

16、254-500.00009.538E-54.616E-4235641938.2059345.5270938.3411345.71091.441E-45.320E-4-180696963.1033-267.1913963.5871-267.39485.021E-47.610E-4-1646304-780.3201-624.8633-780.4675-625.19631.889E-45.326E-41506500-633.3649773.6403-633.4349773.79601.105E-42.012E-4圖 1. Function 的仿真波形圖 2. Function 的正余弦仿真波形從仿真

17、波形中可以清晰地看出，在角度不停變化時(shí)，輸出的 X，Y 分別是余弦與正 弦函數(shù)曲線，這與理論情況下極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的情況完全吻合。 CORDIC 模塊的應(yīng)用所設(shè)計(jì)的函數(shù)主要可以應(yīng)用的以下方面。第一，可以作為調(diào)制電路中的載波信號(hào)。通 過(guò)對(duì)輸入的控制，可以產(chǎn)生不同工作頻率的正余弦波，因此在信號(hào)的調(diào)制與解調(diào)過(guò)程中， 可以直接用 CORDIC 模塊來(lái)產(chǎn)生滿足載荷信息要求的載波信號(hào)。第二，在鎖相環(huán)組成的調(diào) 頻電路中的應(yīng)用。通過(guò)控制 CORDIC 模塊的輸入可以產(chǎn)生任意所需頻率的信號(hào)作為載波信號(hào)。使得鎖相環(huán)中壓控振蕩器的中心頻率 等于載波信號(hào)的 頻率 ，當(dāng)調(diào)制信號(hào)作用于壓控振蕩器時(shí)，鎖相環(huán)輸出中心頻率

18、為 的調(diào)頻信號(hào)。第三，在混頻器中的應(yīng)用，圖 3 為一 般混頻器的示意圖，已調(diào)信號(hào)調(diào)幅波或調(diào)頻波，即輸入信號(hào)，與本地振蕩器的輸出信號(hào) 經(jīng)非線性電路處理后，獲得它們的和頻，差頻和各高次諧波信號(hào)；再通過(guò)低通濾波器濾掉 和頻和各高次諧波局部，從而可以得到差頻信號(hào)。實(shí)際過(guò)程中在接收機(jī)中，總是要從許多 不同頻率的信號(hào)和干擾中選擇出來(lái)要接收的信號(hào)，并將其高倍數(shù)放大，這在實(shí)現(xiàn)起來(lái)是非 常困難的，為了克服上述困難，可以通過(guò)調(diào)整本地振蕩器的振蕩頻率，使之保持與不同的 輸入信號(hào)具有相同差頻頻率，這樣放大器所放大的就是頻率固定的信號(hào)。最后再經(jīng)過(guò)解調(diào) 得到希望得到的信號(hào) 。由于受到環(huán)境條件的變化，構(gòu)成振蕩器的元器件內(nèi)部

19、噪聲以及機(jī)械 震動(dòng)，晶體管或其它器件的輸入，輸出阻抗的變化，電路元件間分布電容的變化，元件的 電抗性能的穩(wěn)定性，以及電磁干擾等因素的影響，振蕩器的實(shí)際振蕩頻率會(huì)偏離標(biāo)稱頻 率。為了更加方便的得到任意頻率穩(wěn)定的信號(hào)，可以用 CORDIC 模塊代替本地振蕩器，這 樣只需要改變輸入就可以得到頻率更加穩(wěn)定的所需信號(hào)。圖 3 混頻器電路示意圖 誤差分析由 CORDIC 算法的根本原理可知，調(diào)用 function 計(jì)算所能到達(dá)的精度與所選取的旋轉(zhuǎn) 級(jí)數(shù)，操作數(shù)的位寬以及數(shù)據(jù)類型有關(guān)。 由 的比擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)unction 結(jié)果與理論值 相比，在不同模式下，相對(duì)誤差都小于 10-4。造成這種微小誤差有以下原

20、因。一是角度近 似誤差，這個(gè)誤差在迭代逼近的過(guò)程中是不可防止的，另一個(gè)主要原因是在我們所設(shè)計(jì)的 函數(shù)中，輸入操作數(shù)都采用的是 signed 型數(shù)據(jù)有符號(hào)整數(shù)，因此調(diào)用此函數(shù)計(jì)算出來(lái)的 結(jié)果只是取了整數(shù)局部，與理論值相比忽略了其小數(shù)位。4. 結(jié)論通過(guò)對(duì)所設(shè)計(jì)的 function 進(jìn)行分析與驗(yàn)證，所得結(jié)果與理論值完全匹配。在不同的工作 模式下相對(duì)誤差僅有萬(wàn)分之一，造成這種微小誤差主要是由于操作數(shù)采用的是 16 位的 signed 型數(shù)據(jù)，計(jì)算出來(lái)的結(jié)果忽略了其小數(shù)位。但在實(shí)際的應(yīng)用中，對(duì)于一個(gè) 16bit 字長(zhǎng) 的數(shù)來(lái)說(shuō)，其小數(shù)位相對(duì)于整數(shù)位來(lái)說(shuō)完全可以忽略。因此所完成設(shè)計(jì)的 function 在

21、實(shí)際 的應(yīng)用與運(yùn)算過(guò)程中可直接調(diào)用。其主要可以應(yīng)用在鎖相環(huán)組成的調(diào)頻電路中以及混頻器 中。在混頻器中，為了得到頻率穩(wěn)定的信號(hào)，防止受其他因素影響而引起的振蕩器的實(shí)際振蕩頻率偏離標(biāo)稱頻率，可以用設(shè)計(jì)的 CORDIC 模塊代替本地振蕩器，只需要改變輸入就可以得到頻率更加穩(wěn)定的所需信號(hào)。參考文獻(xiàn)1 Volder J E. The CORDIC trigonometric computing technique J. IRE Trans. Electronic Computer, 1959, 8 (3):330 - 334.2 Walther J S. A unied algorithm for el

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