初中數(shù)學幾何線段及線段和、差的最值問題探析

1、初中數(shù)學幾何線段及線段和、差的最值問題探析一、一般處理方法一常用定理1兩點之間，線段最短兩個定點時2垂線段最短一個定點、一條定直線時3三角形三邊關系兩邊長固定或其和、差固定時PA+PB最小，需轉化，使點在線異側|PA-PB|最大，需轉化，使點在線同側詳細例題分析類型一 利用兩點之間線段最短1.立體圖形平面展開圖求最短途徑例1.有一圓柱體如圖，高4cm，底面半徑5cm，A處有一螞蟻，假設螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短間隔 。試題分析：此題為常規(guī)題型，碰到立體圖形中的最短途徑問題把它展開成平面圖形再利用兩點之間線段求解即可。解：AB = 4，BC為底面周長的一半即BC = 5AC = =答：螞

2、蟻爬行的最短間隔 為cm。2.通過作軸對稱求間隔 之和的最小值例2：如圖，AOB=30，AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10.在OA上有一點Q，OB上有一點R.假設PQR周長最小，那么最小周長是 A.10 B.15 C.20 D.30試題分析：此題出現(xiàn)一個定點兩條定直線，所以我們是通過這個定點分別關于這兩條直線作對稱點，再根據(jù)三角形三邊關系，最終轉為兩點之間線段最短來處理。作PMOA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM.作PNOB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN.連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，那么PQR即為周長最短的三角形.OA是PE的垂

3、直平分線，EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分線，F(xiàn)R=RP，PQR的周長=EF.OE=OF=OP=10，且EOF=EOP+POF=2+230-=60，EOF是正三角形，EF=10，即在保持OP=10的條件下PQR的最小周長為10.應選A.3.利用平移求線段和的最小值例3：荊州護城河在CC'處直角轉彎，河寬相等，從A處到達B處，需經(jīng)過兩座橋DD'、EE'，護城河及兩橋都是東西、南北方向，橋與河岸垂直.如何確定兩座橋的位置，可使A到B點途徑最短？試題分析：由于含有固定線段橋，導致不能將ADDEEB通過軸對稱直接轉化為線段，需要構造平行四邊形將AD、BE平移至DF、EG，

4、即可得到橋所在位置解：作AFCD，且AF=河寬，作BGCE，且BG=河寬，連接GF，與河岸相交于E、D，作DD、EE即為橋證明：由做法可知，AFDD，AF=DD，那么四邊形AFDD為平行四邊形于是AD=FD同理，BE=GE由兩點之間線段最短可知，GF最小即當橋建于如下列圖位置時，ADDEEB最短二、利用垂線段最短求最值1.通過轉移點，轉化為一個定點到一條定直線的間隔 的最小值例1：如圖，在銳角ABC中，AB=6，BAC=60，BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，那么BM+MN的最小值是 A.3 B. C. D.6試題分析：此題，兩條線段涉及到三個點，其中B為定點，另外兩

5、個點均為動點，但通過角平分線這個條件可以把BM轉化成關于線段AD對稱的線段EM. 從而把兩條線段之和的最值轉化為點E到直線AB的最短間隔 。解：在AC上取一點E，使得AE=AB，過E作ENAB于N，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，那么BM+MN最小根據(jù)兩點之間線段最短；點到直線垂直間隔 最短，AD平分CAB，AE=AB，EO=OB，ADBE，AD是BE的垂直平分線三線合一，E和B關于直線AD對稱，EM=BM，即BM+MN=EM+MN=EN，ENAB，ENA=90，CAB=60，AEN=30，AE=AB=6，AN=AE=3，在AEN中，由勾股定理得：EN=，即BM+MN的最小值是.應

6、選B.2.通過勾股定理轉移線段轉化為垂線段最短例2. 如圖，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，那么線段EF長度的最小值為.試題分析：此題由于E、F兩點均為動點，假設按常規(guī)思路直接求其最值感覺無從下手，而此時如能轉化成其他與之相關的線段直徑，那么問題就迎刃而解了 由垂線段的性質可知，當AD為ABC的邊BC上的高時，直徑最短。解：由垂線段的性質可知，當AD為ABC的邊BC上的高時，直徑最短，如圖，連接OE，OF，過O點作OHEF，垂足為H，在RtADB中，ABC=45，AB=，AD=BD=1，即此時圓的直徑

7、為1，EOF=2BAC=120，而EOH=EOF，EOH=60，在RtEOH中，EH=OEsinEOH=sin60=，OHEF，EH=FH，EF=2EH=，即線段EF長度的最小值為.故答案為.3.通過三角形全等相似等轉移線段轉化為垂線段最短例3.梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD=1，AB=2，BC=3，問題1：如圖1，P為AB邊上的一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？問題2：如圖2，假設P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？假設存在，懇求出最小值，假設不存在，請說明理由.問題3：假設P為

8、AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE=PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？假設存在，懇求出最小值，假設不存在，請說明理由.問題4：如圖3，假設P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AE=nPAn為常數(shù)，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？假設存在，懇求出最小值，假設不存在，請說明理由。試題分析：此題難度很大，P、Q兩點也均為動點，而且此題要轉化的線段隱藏得更深，需要在復雜圖形中挖掘線段的等分點，從而轉化成線段PG的整數(shù)倍，才最終變成動點到定直線的線段中垂線段最短的問題。解：問題1：四邊形PCQD是平行四邊

9、形，假設對角線PQ、DC相等，那么四邊形PCQD是矩形，DPC=90，AD=1，AB=2，BC=3，DC=2，設PB=x，那么AP=2-x，在RtDPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+2-x2+1=8，化簡得x2-2x+3=0，=-22-413=-80，方程無解，對角線PQ與DC不可能相等.問題2：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，那么G是DC的中點，過點Q作QHBC，交BC的延長線于H，ADBC，ADC=DCH，即ADP+PDG=DCQ+QCH，PDCQ，PDC=DCQ，ADP=QCH，又PD=CQ，RtADPRtHCQ，AD=HC，AD=1，BC=3，

10、BH=4，當PQAB時，PQ的長最小，即為4.問題3：如圖3，設PQ與DC相交于點G，PECQ，PD=DE，G是DC上一定點，作QHBC，交BC的延長線于H，同理可證ADP=QCH，RtADPRtHCQ，即，CH=2，BH=BG+CH=3+2=5，uvPQAB時，PQ的長最小，即為5.問題4：如圖4，設PQ與AB相交于點G，PEBQ，AE=nPA，作QHPD，交CB的延長線于H，過點C作CKCD，交QH的延長線于K，ADBC，ABBC，ADP=QHC，DAP+PAG=QBH+QBG=90，PAG=QBG，QBH=PAD，ADPBHQ，AD=1，BH=n+1，CH=BH+BC=3+n+1=n+4

11、，過點D作DMBC于M，那么四邊形ABND是矩形，BM=AD=1，DM=AB=2CM=BC-BM=3-1=2=DM，DCM=45，KCH=45，CK=CHcos45= n+4，當PQCD時，PQ的長最小，最小值為n+4.三、利用三角形三邊關系1.通過找到特殊定點構造三角形例1.如圖，MON=90，邊長為2的等邊三角形ABC的頂點A、B分別在邊OM，ON受騙B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，等邊三角形的形狀保持不變，運動過程中，點C到點O的最大間隔 為 A.2.4 B. C. D.試題分析：如圖，取AB的中點D.連接CD.根據(jù)三角形的邊角關系得到OC小于等于OD+DC，只有當O、D及C共

12、線時，OC獲得最大值，最大值為OD+CD?！窘獯稹拷猓喝鐖D，取AB的中點D，連接CD.ABC是等邊三角形，且邊長是2，BC=AB=2，點D是AB邊中點，BD=AB=1，CD=，即CD=；連接OD，OC，有OCOD+DC，當O、D、C共線時，OC有最大值，最大值是OD+CD，由1得，CD=，又AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點，OD=AB=1，OD+CD=1+，即OC的最大值為1+.應選：C.2.以旋轉為背景構造三角形例2：在銳角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45，將ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到A1BC1.1如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求CC1A1的度數(shù)；2如圖2，

13、連接AA1，CC1.假設ABA1的面積為4，求CBC1的面積；3如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值.試題分析：此題為一道中考壓軸題，第3EP1 落在BE和BP1 所在的三角形里，而這個三角形里BE是定值，EP1的最值就轉化成了B P1 的最值。解答：解：1由旋轉的性質可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1，CC1B=C1CB=45，CC1A1=CC1B+A1C1B=45+45=90。2ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1，ABC+ABC1=A1BC1+

14、ABC1，ABA1=CBC1，ABA1CBC1，SABA1=4，SCBC1=；3過點B作BDAC，D為垂足，ABC為銳角三角形，點D在線段AC上，在RtBCD中，BD=BCsin45=，如圖1，當P在AC上運動至垂足點D，ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2；當P在AC上運動至點C，ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1=BC+AE=2+5=7。3.通過作對稱點找到最值的特殊位置1求l1的解析式；2在l1的對稱軸上找出點P，使點P到點A的對稱點A1及C兩點的間隔 差最大，并說出理由；試題分析1根據(jù)翻折變換的性質，求得A1和B1的坐標，用待定系數(shù)法即可求得拋物線l1的解析式，2根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊的性岅即可知，B1C的延長線與對稱軸x=1的交點P，