材料力學(xué)重點及其公式

1、外力偶矩傳動軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速1】與傳遞的功率P來計更。 當(dāng)功率P單位為千瓦（kW）,轉(zhuǎn)速為n （r/min）時，外力偶矩為PMt =9549 （N. m）n當(dāng)功率P單位為馬力（PS）,轉(zhuǎn)速為11 （r/niin）時，外力偶矩為PMe =7024 （N. m）n2.5.2切應(yīng)力計算公式橫截面上某一點切應(yīng)力大小為rp = （3-12）Ip式中Ip為該截面對圓心的極慣性矩，P為欲求的點至圓心的距離。圓截面周邊上的切應(yīng)力為T(3-13)式中w = ¥稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)R為圓截面半徑。2.53(1)(2)切應(yīng)力公式討論切應(yīng)力公式（312）和式（313）適用于材料

2、在線彈性范圍內(nèi)、小變形時的等圓截面直桿；對小錐 度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允許范圉內(nèi)。極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)W是截面兒何特征量，計算公式見表33。在而積不變情況下，材料離其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力愈強。因此，設(shè)計空心軸比實心軸更為散程度高, 合理。表33實心圓（外徑為d）Ip =対 p 32d3 w = 16空心圓 （外徑為D, 內(nèi)徑為d）1廠叫冷）p 32d a = D = a-a4)162.5.4強度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時，全軸中最大切應(yīng)力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強度條件為T材料的許用切應(yīng)力。nux斗rmx（3-14）對等圓截而直

3、桿 口，亍基卜（3-15）式中計為式中，Q是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模暈；耳是橫截面對中性軸Z軸的慣性矩。3.1.2橫截面上各點彎曲正應(yīng)力計算公式<T=y(3-17)式中，M是橫截面上的彎矩：-的意義同上；y是欲求正應(yīng)力的點到中性軸的距離最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點處 久慶些Ay肩芝0-18)式中，w稱為抗彎截面系數(shù)。對于hxb的矩形截面，也= 2bhS對于直徑為D的圓形截而，W = Wd?：濫632對于內(nèi)外徑之比為a = l的環(huán)形截而，A = D3(l-a4)oD32若屮性軸是橫截面的對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大圧應(yīng)力數(shù)值相等，若不是對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大斥 應(yīng)力數(shù)值

4、不相等。3.2梁的正應(yīng)力強度條件梁的最大工作應(yīng)力不得超過材料的容許應(yīng)力，其表達(dá)式為亍響y6(3-19)對于由拉、壓強度不等的材料制成的上下不對稱截而梁(如T字形截而、上下不等邊的工字形截而等)， 其強度條件應(yīng)表達(dá)為5哄(320a)6_=牛沖二匕< 3.20b)Z式中，q，q分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許斥應(yīng)力；,%分別是最大拉應(yīng)力點和最大斥應(yīng)力點距中性軸 的距離。3.3梁的切應(yīng)力 2 坐(3-21)式中，Q是橫截面上的剪力；S：是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩；Iz是整個橫截面 對中性軸的慣性矩：b是距中性軸為y處的橫截面寬度。3.3.1矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行，大

5、小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應(yīng)力計算公式“網(wǎng)"(3-22)最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點處，r_ = -o2 A3.3.2工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的9537%,因此截面上的剪力主要由腹板部分來承擔(dān)。切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計算公式為"占(3-23)近似計算腹板上的最大切應(yīng)力： 弘=蠱 d為腹板寬度山為上下兩翼緣內(nèi)側(cè)距nwc3.3.3圓形截面梁橫截面上同一高度各點的切應(yīng)力匯交于一點，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為兀d? 2d,匸 QS； = Q 8 仏 4Qmax I b 療屮

6、3 A64(3-25)圓環(huán)形截而上的切應(yīng)力分布與圓截而類似。3.4切應(yīng)力強度條件梁的最大工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力，即rma=%r(3-26)式中，Q喚是梁上的最大切應(yīng)力值；s爲(wèi)是中性軸一側(cè)面積對中性軸的靜矩:I是橫截面對中性軸的慣性矩：b是r喚處截面的寬度。對于等寬度截面，r喚發(fā)生在中性軸上，對于寬度變化的截面，廠論不一定發(fā)生在中性軸上。1.純彎曲梁的正應(yīng)力計算公式厶imaxr2.橫力彎曲最大正應(yīng)力計算公式叭如33.矩形、圓形、空心圓形的彎曲截面系數(shù)？1226-氣也眷贄*4.幾種常見截面的最大彎曲切應(yīng)力計算公式（Q為中性軸一側(cè)的橫截面對中性軸z的靜矩，方為橫截 面在中性軸處的寬度）方

7、人_ 3九_ 3化5.矩形截而梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處2246工字形截面梁腹板上的彎曲切應(yīng)力近似公式7. 軋制1：字鋼梁最大彎曲切應(yīng)力計算公式4 兀4血rtax j=8. 圓形截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處刃加349. 圓環(huán)形薄壁截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處4.2剪切的實用計算名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的，則名義切應(yīng)力為 r = (3-27)A剪切強度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力r,BP r = <r(3-28)-A.5.2擠壓的實用計算名義擠壓應(yīng)力 假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則 久=生勻久(3-29)As式中，A,表示有

8、效擠壓面積，即擠壓面而積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當(dāng)擠壓而為平面時為 接觸面面積，當(dāng)擠壓面為曲面時為設(shè)計承壓接觸面而積在擠壓力垂直面上的投影面積。擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過材料的許用擠壓應(yīng)力 (7bj= <<7bs(3-30)變形計算圓軸扭轉(zhuǎn)時，任意兩個橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角。相距為1的兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角 為(4.4)若等截面圓軸兩截面Z間的扭矩為常數(shù)，則上式化為(4.5)圖4.2式中GIp稱為圓軸的抗扭剛度。顯然，0的正負(fù)號與扭矩正負(fù)號相同。公式(4.4)的適用條件：(1)材料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸，即r<rP：在長度1內(nèi)，T.

9、 G. Ip均為常量。當(dāng)以上參數(shù)沿軸線分段變化時,則應(yīng)分段計算扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和得總扭轉(zhuǎn)角。即曠£聶(4.6)當(dāng)Ip沿軸線連續(xù)變化時，用式(4.4)計算處2,剛度條件扭轉(zhuǎn)的剛度條件 圓軸最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角0喚不得超過許可的單位長度扭轉(zhuǎn)角0】，即(rad/m)(47)式=x - (°/m)(4.8 )GIP n2,撓曲線的近似微分方程及其積分在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時，得到彎矩與曲率的關(guān)系丄=也p EI對于跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁，略去剪力對彎曲變形的影響，由上式可得4= Q(x) EI(4.9)利用平而曲線的曲率公式，并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程.即=里也EI將上

10、式積分-次得轉(zhuǎn)角方程為訂整+C(4.10)再積分得撓曲線方程w=+ Cx+ D(4.11)式中，C.D為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。 界條件外，還需要利用連續(xù)條件。當(dāng)梁分為若干段積分時，積分常數(shù)的確定除需利用邊彎曲(1) 積分法：EIy"(x) = M(x) Ely*(x) = EI/9(x) = JM(x)dx + C(2) 疊加法：F(R,Pj=F(Pj+f(Fj+，久Pi，P=4r)+8(FJ+(3) 基本變形表(注意：以下各公比均指絕對值，履用時要根聶具體情況賦予正負(fù)號)EIy(x) = M(x)dxdx + Cx+DB EI ML2 fB = 2EI%叵B 2EIb

11、 3EIP1384EIa 皿& ML3EI6E【pl21皤 &b"a-否b _ 8EI24EIf二皿c _ 16EI 48EI(4)彈性變形能(注：以下只給出彎曲構(gòu)件的變形能，并忽略剪力影響，其他變形與此相似，不予寫出) M；Li=|M2(x)dxU-注乍2EI 2EIX J 2EI(5)卡氏第二定理(注：只給出線性彈性彎曲梁的公式)3,梁的剛度條件限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件，即，K/屈（412）3,軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得 =w = fai' 2當(dāng)桿件的橫截面面積A、軸力珈為常量時，由胡克

12、定律4警可得桿單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度，用乂表示。4,圓截面直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原Y=W=-Me（r 2 e將"T與少僉代入上式得«咼圖4.5根據(jù)微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于微體上的內(nèi)力功,(4.14)Y 2EA5,梁的彎曲應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲時，由功能原理得V =W = -M2將M嚴(yán)M與-罟代入上式得V,揺圖4.6橫力彎曲時，梁橫截而上的彎矩沿軸線變化，此時，對于微段梁應(yīng)用式（仙,積分得全梁的彎曲應(yīng)變能V,即晉靜矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩Sy n加I廠 J/dAi廠保1« = 3恥I廠Sx = fAydA1-=b2dA2.截面兒

13、何性質(zhì)的定義式列表下:3慣性矩的平行移軸公式【y = Iyc + a A I* A靜矩：平而圖形面積對某坐標(biāo)軸的一次矩，如圖1 -1所示。定義式：Sy = £zdA, Sz = ydA 量綱為長度的三次方。由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標(biāo)Zc和。則 A Zc = j/ dA= Sy由此可得薄板重心的坐標(biāo) 為ZcA A(I -1)Yc=% 所以形心坐標(biāo)毛二玉，yc 或 Sy = A Ze , S2 ="a yc 八同理有(1 -2)yc = 0 $ S2 = 0由式（I2）得知.若某坐標(biāo)軸通過形心軸，則圖形對該軸的靜矩等于零，即(I -3)量綱為長度的四次方，恒

14、為正。相應(yīng)定義y = JAZ-dA, Iy則Sy = 0 ；反之，若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。靜矩與所選坐標(biāo)軸有關(guān)，其值可能為正，負(fù)或零。如一個平面圖形是由兒個簡單平面圖形組成，稱為歲合平面圖形。口設(shè)第I塊分圖形的面積為A.,形心 坐標(biāo)為yC1, Zg ,則其靜矩和形心坐標(biāo)分別為s2 = £ AYci» sv = 2：1»1 :一' 士 A%,二"a nA EA1«1§ I -2慣性矩和慣性半徑慣性矩：平面圖形對某坐標(biāo)軸的二次矩，如圖1-4所示。為圖形對y軸和對z軸的慣性半徑。組合圖形的慣性矩。設(shè)I五

15、，為分圖形的慣性矩，則總圖形對同一軸慣性矩為Iy = £l*，Iz = £la X=1X=1（1-7）若以p表示微面積dA到坐標(biāo)原點O的距離，則定義圖形對坐標(biāo)原點O的極慣性矩Ip = jAp2dA（1-8）因為 p2 = y2 + z2所以極慣性矩與（軸）慣性矩有關(guān)系Ip=jA（y2z2）dA=IIz（ 1-9）式（19）表明，圖形對任意兩個互和垂直軸的（軸）慣性矩之和，等于它對該兩軸交點的極慣性矩。 下式 1« ="恥（IJ0）定義為圖形對一對正交軸y、z軸的慣性積。量綱是長度的四次方?？赡転檎?，為負(fù)或為零。若 y , z軸中有一根為對稱軸則其慣性積為

16、零。§ 1-3平行移軸公式由于同一平面圖形對于相互平行的兩對自角坐標(biāo)軸的慣性矩或慣性積并不相同，如果其中一對軸是圖形 的形心軸(yc ,zc)時，如圖17所示，可得到如下平行移軸公式1=1 +a2Ay jt< Iz = Ib2A( I13)I 廠 Ig+abA簡單證明之：Iy = £z2dA=+ a )'dA= jzc"dA+ 2ajAZcdA+ a2|dA其中JclA為圖形對形心軸yc的靜矩，其值應(yīng)等于零，則得I 廠 q+a'A同理可證(113)中的其它兩式。結(jié)論：同一平面內(nèi)對所有相互平行的坐標(biāo)軸的慣性矩，對形心軸的最小。在使用慣性積移軸公

17、式時應(yīng)注 意a ,b的正負(fù)號。把斜截面上的總應(yīng)力p分解成與斜截面垂直的正應(yīng)力q和相切的切應(yīng)力G (圖13.1c), 則其與主應(yīng)力的關(guān)系為aa = crj2 + cr2nr + cr3n2(13.1)2 4- bJnF 4- cr32n2 - crn(13.2)在以q為橫坐標(biāo)、.為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系中，由上式所確定的任意斜截面上的正應(yīng)力q和切應(yīng)力J為由三個主應(yīng)力所確定的三個圓所圍成區(qū)域(圖13.2中陰影)中的一點。由圖13.2顯見,5 - 6013.22、扭轉(zhuǎn)-竺注匹訂吐0 = A_18O1(o/m)GIp GIp J GIpL GIp三、應(yīng)力狀態(tài)與強度理論1、二向應(yīng)力狀態(tài)斜截面應(yīng)力二=蘭空 + &

18、#165;如 sxn 2a j =今s x 加 + % c o 紜2、二向應(yīng)力狀態(tài)極值正應(yīng)另及所在義面方位角二向應(yīng)力狀態(tài)的極值剪應(yīng)力注：極值正應(yīng)力所在截面與極值剪應(yīng)力所在截面夾角為45。4、三向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力：>a2 >a3最大剪應(yīng)力:5、二向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律 （1）、表達(dá)形式之一（用應(yīng)力表示應(yīng)變）（2）、表達(dá)形式之二（用應(yīng)變表示應(yīng)力）E= -_（X +“Fy） J = -_（S +“D） z = 0 xy = 5窮6、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律=-x-p（y+z）（X, y, z）7 = g （ly.yz.zx）7、強度理論（1）= <h% =5 (a2+a3)<a¥ b -勺尸+（勺一 6 F+（刃一 5尸b2nb同=空n57、圓軸彎扭組合：第三強度理論 4占+4卞吧嚴(yán)弘第四強度理論 =屁+玩=M 7 曲 < a 8、平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析(1)皿、壓桿穩(wěn)定