帶電粒子在磁場中的運動問題專題

1、 帶電粒子在磁場中運動問題專題一、基本公式帶電粒子在勻強磁場中僅受洛倫茲力而做勻速圓周運動時，洛倫茲力充當向心力，原始方程：，推導出的半徑公式和周期公式：或。二、基本方法解決帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的問題，物理情景非常簡單，難點在準確描繪出帶電粒子的運動軌跡。可以說畫好了圖就是成功的90%。因此基本方法是作圖，而作圖的關鍵是找軌跡圓的圓心、軌跡圓的半徑、充分利用直線與圓、圓與圓相交（相切）圖形的對稱性。作圖時先畫圓心、半徑，后畫軌跡圓弧。在準確作圖的基礎上，根據(jù)幾何關系列方程求解。OBvMN例1如圖，直線MN上方有磁感應強度為B的勻強磁場。正、負電子同時從同一點O以與MN成30

2、86;角的同樣速度v射入磁場（電子質(zhì)量為m，電荷為e），它們從磁場中射出時相距多遠？射出的時間差是多少？（不考慮正、負電子間的相互作用）OMNBvO2O1分析：正、負電子的軌道半徑和周期相同，只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先分析正電子：由左手定則知它的軌跡順時針，半徑與速度垂直，與MN成60º，圓心一定在這條半徑上；經(jīng)過一段劣弧從磁場射出，由對稱性，射出時速度方向也與MN成30º角，因此對應的半徑也與MN成60º，由這兩個半徑方向就可以確定圓心O1的位置；射入、射出點和圓心O1恰好組成正三角形。再分析電子：由對稱性，電子初速度對應的半徑方向與正電子恰好反向，它的射入、射出點和

3、圓心O2組成與O1ON全等的正三角形O2OM，畫出這個三角形，最后畫出電子的軌跡圓弧。由幾何關系不難得出：兩個射出點相距2r， 經(jīng)歷時間相差2T/3。三、帶電粒子射入條形勻強磁場區(qū)v yvLOBROMNy質(zhì)量m，電荷量q的帶正電粒子，以垂直于邊界的速度射入磁感應強度為B，寬度為L的勻強磁場區(qū)。討論各種可能的情況。速率足夠大的能夠穿越該磁場區(qū)（臨界速度對應的半徑為L）。需畫的輔助線如圖中虛線MN、OM所示。軌跡半徑，偏轉(zhuǎn)角由解得；側(cè)移y用勾股定理R2=L2+(R-y)2解出；經(jīng)歷時間由t=m/Bq計算。速率v較小的未能穿越磁場區(qū)，而是從入射邊射出。根據(jù)對稱性，粒子在磁場中的軌跡一定是半圓，如圖中

4、虛線所示，該半徑的最大值為磁場寬度L。無論半徑多大，只要從入射邊射出，粒子在磁場中經(jīng)歷的時間都一定相同，均為T/2。vLOBROMNv質(zhì)量m，電荷量q的帶正電粒子，以與邊界夾角為的速度射入磁感應強度為B，寬度為L的勻強磁場區(qū)。為使粒子不能穿越該磁場區(qū)，求速度的取值范圍。畫出與初速度對應的半徑方向，該射線上有且僅有一個點O到O和磁場上邊界等距離，O就是該臨界圓弧的圓心，R滿足R(1+cos)=L。與R對應的速度就是臨界速度，速度比它小的都不能穿越該磁場。軌跡對應的圓心角均為2(-)，在磁場中經(jīng)歷的時間均為t=2(-)m/Bq。質(zhì)量m，電荷量q的帶正電粒子，以與邊界成任意角度的相同速率射入磁感應強

5、度為B，寬度為L的勻強磁場區(qū)。為使所有粒子都不能穿越該磁場，求粒子的最大速度。vLBOv速率相同的條件下，最容易穿越磁場的是沿磁場下邊界向左射入的粒子，如果它對應的半徑r=L/2（對應的軌跡圓弧如圖中實線所示）將恰好到達磁場上邊界，那么沿其他方向射入磁場的粒子必然不能穿越該磁場。如果以垂直于下邊界的速度射入的粒子恰好到達磁場上邊界，對應的半徑r=L（其軌跡圓弧如圖中虛線所示），那么入射方向比它偏左的粒子將穿越磁場。r vvO´OvPQB四、帶電粒子射入圓形勻強磁場區(qū)質(zhì)量m，電荷量q的帶正電粒子，沿半徑方向射入磁感應強度為B半徑為r的圓形勻強磁場區(qū)。磁場區(qū)邊界和粒子軌跡都是圓，由兩圓相

6、交圖形的對稱性知：沿半徑方向射入的粒子，必然沿半徑延長線方向射出。需畫的輔助線有軌道半徑、與射入、射出點對應的磁場圓半徑，兩軌道半徑的交點就是軌道圓的圓心O，畫出兩圓的連心線OO。偏角可由求出。粒子在磁場中經(jīng)歷時間由t=m/Bq計算。r vvO´OvPQBRMN質(zhì)量m，電荷量q的帶正電粒子，以速度v沿與磁場的水平直徑MN平行的方向射入磁感應強度為B半徑為r的圓形勻強磁場區(qū)，已知，為使粒子在磁場中經(jīng)歷的時間最長，入射點P到MN的距離應是多少？設粒子在磁場中軌跡弧長為l，粒子運動經(jīng)歷的時間t=m/Bq，=l/Rl，由于軌道半徑R大于磁場半徑r，粒子在磁場中的軌跡是劣弧，在同圓中，劣弧越長

7、對應的公共弦也越長。因此射入、射出點的連線應是磁場圓的直徑。做出輔助線如圖，P到MN的距離h=rsin可求。一束水平向右發(fā)射的平行帶正電粒子束射向圓形勻強磁場區(qū)，若粒子在磁場中的軌道半徑恰好等于磁場圓的半徑，試證明所有進入磁場的粒子將從同一點射出圓形磁場區(qū)，并確定該點的位置。P1OvBO1r vr vQ1P2O2證明：以任意一個入射點P1為例，設軌道圓圓心為O1，射出點為Q1，磁場圓和軌道圓的半徑均為r，由已知，O1P1=O1Q1=OP1=OQ1=r，由幾何知識，四邊形O1P1OQ1為菱形。P1O1是洛倫茲力方向，跟初速度方向垂直，菱形的對邊平行，因此OQ1也跟初速度方向垂直，Q1是圓周的最高

8、點。反之也可以證明：只要粒子在磁場中的軌道半徑恰好等于磁場圓的半徑，那么從磁場圓周上同一點沿各個方向射入圓形磁場的粒子，射出后一定形成寬度為磁場圓直徑的平行粒子束。xOBPQv0yvv0rvyMN五、帶電粒子以同樣的水平分速度射入勻強磁場區(qū)S如圖所示，平行板P、Q關于x軸對稱放置，兩板間接有正弦交變電壓，y軸右側(cè)有方向垂直于紙面向里的勻強磁場。從P、Q左側(cè)中點S向右連接發(fā)射初速度相同的帶正電粒子。不考慮粒子間相互作用，每個粒子穿越極板過程時間極短，可認為電壓恒定。試證明：所有粒子從y軸進入、穿出磁場的兩點間距離相等。證明：設粒子射入磁場的速度為v，與水平方向夾角為，無論兩板間電壓多大，都有v0

9、=vcos，射入、穿出點間距離與偏轉(zhuǎn)電壓高低無關。六、練習題1空間存在方向垂直于紙面向里的勻強磁場，圖中的正方形為其邊界。一細束由兩種粒子組成的粒子流沿垂直于磁場的方向從O點入射。這兩種粒子帶同種電荷，它們的電荷量、質(zhì)量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不計重力。下列說法正確的是 OA入射速度不同的粒子在磁場中的運動時間一定不同 B入射速度相同的粒子在磁場中的運動軌跡可能不同C在磁場中運動時間相同的粒子，其運動軌跡一定相同D在磁場中運動時間越長的粒子，其軌跡所對的圓心角一定越大 yxvvPBSOa2一個質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P(a，0)點以速度v，沿與x正方向成6

10、0º的方向射入第一象限內(nèi)的勻強磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求磁感應強度B和射出點S的坐標。 x yPOL30ºv3一勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁場分布在以O為中心的一個圓形區(qū)域內(nèi)。一個質(zhì)量為m、電荷為q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速為v，方向沿x正方向。后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30º，P到O的距離為L，如圖所示。不計重力的影響。求磁場的磁感強度B的大小和xy平面上磁場區(qū)域的半徑R。 vBRO4如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在著磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直于紙面向里，一帶負電的粒子（不計重力）

11、沿水平方向以速度v正對著磁場圓的圓心O入射，通過磁場區(qū)域后速度方向偏轉(zhuǎn)了60º角。求：該粒子的比荷q/m；該粒子在磁場中的運動時間；若入射方向仍然沿水平方向，為使粒子通過該磁場區(qū)域后速度方向的偏轉(zhuǎn)角最大，粒子的入射點向上平移的距離d是多少？xyOEBrr5如圖所示，在x-O-y坐標系中，以（r，0）為圓心、r為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里。在y > r的足夠大的區(qū)域內(nèi)，存在沿y軸負方向的勻強電場，場強大小為E。從O點以相同速率向不同方向發(fā)射質(zhì)子，質(zhì)子的運動軌跡均在紙面內(nèi)，且質(zhì)子在磁場中運動的軌跡半徑也為r。已知質(zhì)子的電荷量為q，質(zhì)量

12、為m，不計質(zhì)子所受重力及質(zhì)子間相互作用力的影響。求質(zhì)子射入磁場時速度的大?。蝗糍|(zhì)子沿x軸正方向射入磁場，求質(zhì)子從O點進入磁場到第二次離開磁場經(jīng)歷的時間；若質(zhì)子沿與x軸正方向成夾角的方向從O點射入第一象限的磁場中，求質(zhì)子在磁場中運動的總時間。 OAR1vR26如圖所示，平面上有半徑分別為R1、R2的兩個同心圓，圓心為O。小圓內(nèi)和兩圓之間均有垂直于該平面的勻強磁場，兩部分磁場的磁感應強度都為B，方向如圖。小圓邊界上的A點有一個電荷量為+q，質(zhì)量為m的帶電粒子，沿OA延長線方向射出。粒子只受磁場力作用。若R2足夠大，粒子運動過程第二次進入小圓的位置恰好是A點，求該帶點粒子的速率v；上一問中的R2至少是R1的多少倍？粒子從A點射出到回到A點經(jīng)歷的時間t是多少？為使粒子在磁場中運動過程中，粒子所處位置與圓心O連線順時針旋轉(zhuǎn)一周時恰好能回到A，求該帶點粒子速率的所有可能值。練習題答案1D 2，（0，） 3， xOByAO2O3O1Cv4 5 = + t總= (示意圖如右。無論取何值，從磁場邊緣A射出時必然沿y軸正向，在電場中往返后，又從A沿y軸負向返回磁場，從C射出。從幾何關系可以判定，圖中O2OO1A和