步步高2015高考數(shù)學(人教A理)一輪講義11.2用樣本估計總體

1、§11.2用樣本估計總體1頻率分布直方圖(1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種，一種是用樣本的頻率分布估計總體的分布，另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1.(3)連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精細的反映出總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比(4)當樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所

2、有信息，而且可以隨時記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即(x1x2xn)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等(2)樣本方差、標準差標準差s ，其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，是平均數(shù)標準差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標準差的平方通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方

3、差1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢()來源:中教網(wǎng)(2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論(×)(3)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次(×)2某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2_.答案3.2解析7，s2(107)2(67)2(87)2(57)2(67)23.2.3

4、一個容量為20的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：10,20)，2；20,30)，3；30,40)，x；40,50)，5；50,60)，4；60,70)，2；則x_；根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在10,50)的概率約為_答案40.7解析x20(23542)4，P0.7或P10.7.4(2012·湖南) 如圖所示是某學校一名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為_(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為x1，x2，xn的平均數(shù))答案6.8解析依題意知，運動員在5次比賽中的分數(shù)依次為8,9,10,13,15，其平均數(shù)為11.由方差公式得

5、s2(811)2(911)2(1011)2(1311)2(1511)2(941416)6.8.5某中學為了解學生數(shù)學課程的學習情況，在3 000名學生中隨機抽取200名，并統(tǒng)計這200名學生的某次數(shù)學考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)根據(jù)頻率分布直方圖推測，這3 000名學生在該次數(shù)學考試中成績小于60分的學生數(shù)是_答案600來源:z。zs。解析由直方圖易得數(shù)學考試中成績小于60分的頻率為(0.0020.0060.012)×100.2，所以所求分數(shù)小于60分的學生數(shù)為3 000×0.2600.題型一頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用例1某校從參加高一年級期中考試的學生中隨

6、機抽出60名學生，將其物理成績(均為整數(shù))分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：(1)求分數(shù)在70,80)內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據(jù)此估計本次考試中的平均分思維啟迪利用各小長方形的面積和等于1求分數(shù)在70,80)內(nèi)的頻率，再補齊頻率分布直方圖解(1)設(shè)分數(shù)在70,80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，有(0.0100.015×20.0250.005)×10x1，可得x0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示(2)平均分：45×0

7、.155×0.1565×0.1575×0.385×0.2595×0.0571(分)思維升華頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布，從這個直方圖上可以求出樣本數(shù)據(jù)在各個組的頻率分布根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本(或者總體)的平均值時，一般是采取組中值乘以各組的頻率的方法(2013·陜西)對一批產(chǎn)品的長度(單位：mm)進行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖根據(jù)標準，產(chǎn)品長度在區(qū)間20,25)上的為一等品，在區(qū)間15,20)和區(qū)間25,30) 上的為二等品，在區(qū)間10,15)和30,35)上的為三等品用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨

8、機抽取一件，則其為二等品的概率為()A0.09 B0.20 C0.25 D0.45答案D解析設(shè)區(qū)間25,30)對應(yīng)矩形的另一邊長為x，則所有矩形面積之和為1，即(0.020.040.060.03x)×51，解得x0.05.產(chǎn)品為二等品的概率為0.04×50.05×50.45.題型二莖葉圖的應(yīng)用例2如圖是某青年歌手大獎賽上七位評委為甲、乙兩名選手打出的分數(shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字09中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1、a2，則一定有()來源:中+教+網(wǎng)z+z+s+tepAa1>a2Ba2>a1Ca1a2Da1，a

9、2的大小與m的值有關(guān)思維啟迪去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的數(shù)據(jù)，剩下的數(shù)我們只要計算其葉上數(shù)字之和，即可對問題作出結(jié)論答案B解析去掉一個最高分和一個最低分后，甲選手葉上的數(shù)字之和是20，乙選手葉上的數(shù)字之和是25，故a2>a1.故選B.思維升華由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計圖表試題時，就要充分使用這個圖表提供的數(shù)據(jù)進行相關(guān)的計算或者是對某些問題作出判斷，這類試題往往伴隨著對數(shù)據(jù)組的平均值或者是方差的計算等(2013·山東)將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91.現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊

10、，無法辨認，在圖中以x表示： 則7個剩余分數(shù)的方差為()A. B. C36 D.答案B解析由題意知91，解得x4.所以s2(8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(9491)2(9191)2(16910190).題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征例3甲、乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓練成績作出評價來源:中國教育出版網(wǎng)思維啟迪(1)先通過圖象統(tǒng)計出甲、乙二人的成績；(2)利用公式求出平均數(shù)、方差，再分析兩人的成績，作出評價解(1)由題圖象可得甲、乙兩人五次測

11、試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分甲13，乙13，s(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由s>s可知乙的成績較穩(wěn)定從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高思維升華平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小(1)(2012

12、3;山東)在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是()A眾數(shù) B平均數(shù) C中位數(shù) D標準差(2)甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲10899來源:9乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是_答案(1)D(2)甲解析(1)對樣本中每個數(shù)據(jù)都加上一個非零常數(shù)時不改變樣本的方差和標準差，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都發(fā)生改變(2)甲乙9環(huán)，s(109)2(89)2(99)2(99)2

13、(99)2，s(109)2(109)2(79)2(99)2(99)2>s，故甲更穩(wěn)定，故填甲高考中頻率分布直方圖的應(yīng)用典例：(5分)為了研究大學生就業(yè)后的收入問題，一個研究機構(gòu)調(diào)查了在2009年已經(jīng)就業(yè)且工作滿兩年的10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(如圖所示)為了分析其收入與學歷、職業(yè)、性別等方面的關(guān)系，要從這10 000人中再用分層抽樣方法抽出200人作進一步調(diào)查，其中月收入低于1 500元的稱為低收入者，高于3 000元的稱為高收入者，則應(yīng)在低收入者和高收入者中分別抽取的人數(shù)是()來源:中_國教_育出_版網(wǎng)A1 000,2 000 B40,80C20,40 D1

14、0,20思維啟迪根據(jù)頻率分布直方圖的意義，分別計算出低收入者和高收入者的頻率即可，為方便直接計算，這個頻率分布直方圖也可以看作是200個樣本的頻率分布直方圖解析低收入者的頻率是0.000 2×5000.1，故從低收入者中抽取200×0.120人；高收入者的頻率是(0.000 30.000 1)×5000.2，故從高收入者中抽取200×0.240人故選C.答案C溫馨提醒本題的難點是對頻率分布直方圖意義的理解以及利用這個圖提供的數(shù)據(jù)對所提問題的計算，頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是頻率除以組距，組距越大該數(shù)據(jù)越小，在解答這類問題時要特別注意方法與技巧1用樣本頻

15、率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布；難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用在計數(shù)和計算時一定要準確，在繪制小矩形時，寬窄要一致通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計2莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成，沒有損失任何樣本信息，可以隨時記錄；而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息，必須在完成抽樣后才能制作3若取值x1，x2，xn的頻率分別為p1，p2，pn，則其平均值為x1p1x2p2xnpn；若x1，x2，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則ax1b，ax2b，ax

16、nb的平均數(shù)為ab，方差為a2s2.失誤與防范頻率分布直方圖的縱坐標為頻率/組距，每一個小長方形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率；條形圖的縱坐標為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見的錯誤.A組專項基礎(chǔ)訓練一、選擇題1(2013·重慶)下圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位：臺)的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間22,30)內(nèi)的概率為() 來源:中教網(wǎng)A.0.2 B0.4 C0.5 D0.6答案B解析10個數(shù)據(jù)落在區(qū)間22,30)內(nèi)的數(shù)據(jù)有22,22,27,29共4個，因此，所求的頻率為0.4.故選B.2(2013·遼寧)某班的全體學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖

17、如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學生人數(shù)是()A45 B50 C55 D60答案B解析由頻率分布直方圖，知低于60分的頻率為(0.010.005)×200.3.該班學生人數(shù)n50.3(2012·陜西) 對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行了統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是()A46,45,56 B46,45,53C47,45,56 D45,47,53答案A解析由題意知各數(shù)為12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,

18、47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位數(shù)是46，眾數(shù)是45，最大數(shù)為68，最小數(shù)為12，極差為681256.4為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為mo，平均值為，則()Amemo BmemoCmemo Dmome答案D來源:z§zs§解析30個數(shù)中第15個數(shù)是5，第16個數(shù)是6，所以中位數(shù)me5.5，眾數(shù)mo5，平均值.5若一個樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時樣本容量為9，平均數(shù)為，方

19、差為s2，則()A.5，s2<2 B.5，s2>2C.>5，s2<2 D.>5，s2>2答案A解析考查樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差(x1x2x8)5，(x1x2x85)5，5，由方差定義及意義可知加入新數(shù)據(jù)5后，樣本數(shù)據(jù)取值的穩(wěn)定性比原來強，s2<2，故選A.二、填空題6(2013·湖北)某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為_；(2)命中環(huán)數(shù)的標準差為_答案(1)7(2)2解析(1)(78795491074)7.(2)s2(77)2(87)2(77)2(97)2(57)2

20、(47)2(97)2(107)2(77)2(47)24，命中環(huán)數(shù)的標準差為2.來源:中*國教*育出*版網(wǎng)7(2012·山東)如圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是20.5,26.5，樣本數(shù)據(jù)的分組為20.5,21.5)，21.5，22.5)，22.5,23.5)，23.5,24.5)，24.5,25.5)，25.5，26.5已知樣本中平均氣溫低于22.5 的城市個數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5 的城市個數(shù)為_答案9解析結(jié)合直方圖和樣本數(shù)據(jù)的特點求解最左邊兩個矩形面積之和為0.10×10.12×1

21、0.22，總城市數(shù)為11÷0.2250，最右邊矩形面積為0.18×10.18，50×0.189.8將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為234641，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n_.答案60解析第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為234641，前三組頻數(shù)和為·n27，故n60.三、解答題9(2012·安徽)若某產(chǎn)品的直徑長與標準值的差的絕對值不超過1 mm時，則視為合格品，否則視為不合格品在近期一次產(chǎn)品抽樣檢查中，從某廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，隨機抽取5 000件進行檢測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有50件不合格品計算

22、這50件不合格品的直徑長與標準值的差(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分組，得到如下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率3，2)0.102，1)來源:z|zs|8(1,20.50(2,310(3,4合計501.00(1)將上面表格中缺少的數(shù)據(jù)填在相應(yīng)位置；來源:(2)估計該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，不合格品的直徑長與標準值的差落在區(qū)間(1,3內(nèi)的概率；(3)現(xiàn)對該廠這種產(chǎn)品的某個批次進行檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有20件不合格品據(jù)此估算這批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù)解(1)如下表所示頻率分布表.分組頻數(shù)頻率3，2)50.102，1)80.16(1,2250.50(2,3來源:中*國教*育出*版網(wǎng)100.20(3,420.04合計501.

23、00(2)由頻率分布表知，該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，不合格品的直徑長與標準值的差落在區(qū)間(1,3內(nèi)的概率約為0.500.200.70.(3)設(shè)這批產(chǎn)品中的合格品數(shù)為x件，依題意，解得x201 980.所以該批產(chǎn)品的合格品件數(shù)大約是1 980件10(2012·廣東)某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求圖中a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；(3)若這100名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學成績相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)

24、學成績在50,90)之外的人數(shù).分數(shù)段來源:中.教.網(wǎng)z.z.s.tep50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445解(1)由頻率分布直方圖知(2a0.020.030.04)×101，解得a0.005.(2)由頻率分布直方圖知這100名學生語文成績的平均分為55×0.005×1065×0.04×1075×0.03×1085×0.02×1095×0.005×1073(分)(3)由頻率分布直方圖知語文成績在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)各分數(shù)

25、段的人數(shù)依次為0.005×10×1005,0.04×10×10040,0.03×10×10030,0.02×10×10020.由題中給出的比例關(guān)系知數(shù)學成績在上述各分數(shù)段的人數(shù)依次為5,40×20,30×40,20×25.故數(shù)學成績在50,90)之外的人數(shù)為100(5204025)10.B組專項能力提升1(2013·四川)某學校隨機抽取20個班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，以組距為5將數(shù)據(jù)分組成0,5)，5,10)，30,35)，35,40時，所

26、作的頻率分布直方圖是()來源:中國教育出版網(wǎng)答案A解析由于頻率分布直方圖的組距為5，排除C、D，又0,5)，5,10)兩組各一人，排除B，應(yīng)選A.2為了了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖所示由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學生數(shù)為b，則a，b的值分別為()A0.27,78 B0.27,83C2.7,78 D2.7,83答案A解析由題意，知4.5到4.6之間的頻率為0.09,4.6到4.7之間的頻率為0.27，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則

27、有6×0.2715d10.010.030.09，解得d0.05，從而求得b78.3某班有48名學生，在一次考試中統(tǒng)計出平均分為70分，方差為75，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學的分數(shù)登記錯了，甲實得80分，卻記了50分，乙實得70分，卻記了100分，更正后平均分和方差分別是()A70,75 B70,50C75,1.04 D62,2.35答案B解析因甲少記了30分，乙多記了30分，故平均分不變，設(shè)更正后的方差為s2，則由題意可得：s2(x170)2(x270)2(8070)2(7070)2(x4870)2，而更正前有75(x170)2(x270)2(5070)2(10070)2(x4870)2，化

28、簡整理得s250.4在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個小長方形，這4個小長方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列an，已知a22a1，且樣本容量為300，則小長方形面積最大的一組的頻數(shù)為_答案160解析小長方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列an，且a22a1，樣本的頻率構(gòu)成一個等比數(shù)列，且公比為2，來源:中&教&網(wǎng)z&z&s&tepa12a14a18a115a1300，a120，小長方形面積最大的一組的頻數(shù)為8a1160.5從某小學隨機抽取100名學生，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)由圖中數(shù)據(jù)可知a_.若要從身高在120,130)，130,140)，140,150三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在140,150內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應(yīng)為_答案0.0303解析小矩形的面積等于頻率，除120,130)外的頻率和為