高斯小學(xué)奧數(shù)五年級(jí)上冊(cè)含答案_直線形計(jì)算中的倍數(shù)關(guān)系

1、第六講直線型計(jì)算中的倍數(shù)關(guān)系迄今為止，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會(huì)了很多圖形計(jì)算面積的方法在計(jì)算這些面積的時(shí)候，只要Frz_ rDn它們寬（長(zhǎng)）之比.例如：如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD與長(zhǎng)方形BEFC寬BC相同，那么知道相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，然后利用公式即可以計(jì)算 .例如計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，只需知道長(zhǎng)方形 的長(zhǎng)和寬即可利用長(zhǎng)方形的面積長(zhǎng) 寬進(jìn)行計(jì)算？但很多時(shí)候，題目中并不給出長(zhǎng)和寬，那怎么來求面積呢？我們來看下面這個(gè)例題.例題1.如圖，有9個(gè)小長(zhǎng)方形，其中的5個(gè)小長(zhǎng)方形的面積分別為 4、8、12、16、20平方米.其余4個(gè)長(zhǎng)方形的面積分別是多少平方米？分析如果兩個(gè)長(zhǎng)方形的一條邊相等，我們可以比較它們的另一條邊來求它們的

2、面積關(guān)系，看看下圖，能利用左上角的三塊面積求出的面積嗎？對(duì)于長(zhǎng)方形，我們總結(jié)出：如果兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（寬）相等，那么它們的面積的比等于長(zhǎng)方形ABCD的面積:長(zhǎng)方形BEFC的面積 AB: BE如圖，有7個(gè)小長(zhǎng)方形，其中的5個(gè)小長(zhǎng)方形的面積分別為 20,4,6, 8, 10平方厘米.求陰影長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？2046810有些時(shí)候我們也可以利更容易發(fā)現(xiàn)的是長(zhǎng)從上面的例題可以看出，求一個(gè)圖形的面積不一定要通過公式,用圖形各部分之間的面積關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.實(shí)際問題中，各圖形的形狀各異.我們很難直接看出面積間的關(guān)系,度之間的倍數(shù)關(guān)系.本章重點(diǎn)就是長(zhǎng)度的倍數(shù)關(guān)系與面積倍數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的直線

3、將三角形分為兩個(gè)小三角形則這兩個(gè)小三角形面積之比等于該直線分對(duì)邊所得的兩條線段長(zhǎng)度之比這是由兩個(gè)小三角形有共同的高決定的三角形ABD的面積：三角形ADC的面積BD : DC例題2.下圖中三角形 ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中 點(diǎn)，AD的長(zhǎng)是AE長(zhǎng)的3倍.那么三角形 ABE的面積是多少平 方厘米？分析你能從圖中發(fā)現(xiàn)前面講過的基本圖形嗎？如何利用其中的比例關(guān)系解題呢？如圖，三角形 ABC中，D為AB的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn),ABC的面積是120平方厘米，那么三角形 DEF的面積是多少？F為BE中點(diǎn)，如果三角形在實(shí)際問題中，給出的圖形結(jié)構(gòu)往往只能滿足上述形式的一部分比如知道兩條線段的長(zhǎng)度關(guān)

4、系，卻找不到合適的圖形引出面積關(guān)系.此時(shí)，我們可以添加適當(dāng)?shù)妮o助 線，使得兩 個(gè)圖形之間可以找到一個(gè)過渡的量，這個(gè)量和兩個(gè)圖形都有比較緊密 的聯(lián)系.例題3.如圖，把三角形DEF的各邊分別向外延長(zhǎng)1倍后得到三 三角形DEF的面積為1,那么三角形ABC的面積是多少？分析容易看出，本題也需要通過邊長(zhǎng)的倍數(shù)關(guān)系去求三角形面積之間的關(guān)系？但是我們所求的是三角形DEF的面積,角形ABC,已知而已知沒有.那么我們的是三角形ABC的面積，這兩個(gè)三角形之間一條直接相連的邊也 該怎么辦呢？如圖，把三角形 DEF的各邊分別向外延長(zhǎng)1倍、2倍、3倍后得到三角形 ABC,已知三角形DEF的面積為1,那么三角形ABC的面

5、積是多少？A除了利用圖形間的長(zhǎng)度關(guān)系尋找面積關(guān)系外,我們有時(shí)候也利用面積的倍數(shù)關(guān)系反推出長(zhǎng)度的倍數(shù)關(guān)系.例題4.如圖，E是AB上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，梯形ABCD的面積是三角積的倍數(shù)關(guān)系.需要求的則是長(zhǎng)度的倍數(shù)關(guān)系,所以我們考慮如形AEC面積的4倍，那么梯形的下底長(zhǎng)是上底 長(zhǎng)的幾倍?分析本題中我們并不知道圖形的具體面積，而只知道面何利用面積的關(guān)系求出長(zhǎng)度關(guān)系.我們不妨假設(shè)三角形 AEC的面積是“1”份，那么梯形 ABCD的面積就是“ 5”份？接 著可以看看“ E是AB上的三等分點(diǎn)”這個(gè)條件能得出什么結(jié)論，看看怎么利用求出的面積 來比較梯形的上下底？如圖，將一個(gè)長(zhǎng)為18的長(zhǎng)方形，分成一個(gè)三角形和一

6、個(gè)梯形，且梯形的面積是三角形的5倍，那么三角形底邊 BE的長(zhǎng)是多少？除了利用長(zhǎng)度間的倍數(shù)關(guān)系外, 積的倍數(shù)關(guān)系.我們有時(shí)候也能從公式入手，尋找圖形面例題5.把一個(gè)正方形的相鄰兩邊分別增加2厘米和4厘米，結(jié)果面積增加了 50平方厘米，那么原正方形的面積為多少平方厘米？分析由于陰影部分是一個(gè)不規(guī)則圖形，我們需要把它轉(zhuǎn)化為規(guī)則形狀，可以將它分割成幾塊.如圖所示，我們將陰影部分分割為、三個(gè)長(zhǎng)方形?其中，的長(zhǎng)和寬分別為4、2,可以求出它的面積？那么和的面積能求出來嗎？關(guān)鍵是找出它們面積的關(guān)系 .例題6.如圖，直角三角形 ABC套住了一個(gè)正方形 CDEF , E點(diǎn)恰好 在AB邊上.又已知直角邊AC長(zhǎng)20厘

7、米，BC長(zhǎng)12厘米，那么 正方形的邊長(zhǎng)為多少厘米？分析注意到EF垂直于AC, ED垂直于BC .我們可以連接 CE,將三角形ABC分成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的底都給出了長(zhǎng)度，而 它們的高相等.我F們的目標(biāo)就是求這個(gè)高.歐拉的故事歐拉是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論、幾何學(xué)、天文數(shù)學(xué)、微積分等好幾個(gè)數(shù)學(xué)的分支領(lǐng)域中都取得了出色的成就。歐拉小時(shí)候幫助爸爸放羊，他一面放羊，一面讀書。他讀的書中，有不少數(shù)學(xué)書。爸爸的羊群漸漸增多了，達(dá)到了 100只。原來的羊圈有點(diǎn)小了，爸爸決定建造一 個(gè) 新的羊圈。他用尺量出了一塊長(zhǎng)方形的土地，長(zhǎng) 40米，寬15米，他一算，面 積正 好是600平方米，平均每一頭羊占

8、地 6平方米。正打算動(dòng)工的時(shí)候，他發(fā)現(xiàn) 他的材 料只夠圍100米的籬笆，不夠用。若要圍成長(zhǎng) 40米，寬15米的羊圈，其 周長(zhǎng)將是 110米(15+15+40+40=110 )父親感到很為難，若要按原計(jì)劃建造，就 要再添10米 長(zhǎng)的材料；要是縮小面積，每頭羊的面積就會(huì)小于6平方米。小歐拉卻向父親說，不用縮小羊圈，也不用擔(dān)心每頭羊的領(lǐng)地會(huì)小于原來的計(jì)劃。他有辦法。父親不相信小歐拉會(huì)有辦法，沒有理會(huì)他。小歐拉急了，大聲說：只 要 稍稍移動(dòng)一下羊圈的樁子就行了?！备赣H聽了直搖頭，心想：世界上哪有這樣便宜的事情？”但是，小歐拉卻堅(jiān)信，他一定有兩全齊美的辦法。父親終于同意讓兒子試試看。小歐拉見父親同意了，

9、站起身來，跑到準(zhǔn)備動(dòng)工的羊圈旁。他以一個(gè)木樁為中心，將原來的40米邊長(zhǎng)截短，縮短到25米。父親著急了，說：那怎么成呢？那怎么成呢？這個(gè)羊圈太小了，太小了?！毙W拉也不回答，跑到另一條邊上，將原來15米的邊長(zhǎng)延長(zhǎng)，又增加了 10米，變成了 25米。經(jīng)這樣一改，原來計(jì)劃中 的 羊圈變成了一個(gè)25米邊長(zhǎng)的正方形。然后，小歐拉很自信地對(duì)爸爸說：現(xiàn)在， 籬笆 也夠了，面積也夠了。 ”父親照著小歐拉設(shè)計(jì)的羊圈扎上了籬笆，100米長(zhǎng)的籬笆真的夠了，不多不少，全部用光。面積也足夠了，而且還稍稍大了一些。父親心里感到非常高興！作業(yè)1.如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被分成了四個(gè)小長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形A的面積是45平方米，長(zhǎng)方形 B的

10、面積是15平方米，長(zhǎng)方形 C的面積為15平方米，則長(zhǎng)方形 D的面積是多少？作業(yè)2.如圖，D為AB邊上的三等分點(diǎn)，已知三角形 ACD面積為12,則三角形BCD面積是多少？作業(yè)3.如圖，D、E分別為AB、BC邊上的三等分點(diǎn)，已知三角形ABC面積為72,則三角形CDE面積是多少？作業(yè)4.如圖，把三角形 DEF的各邊向外延長(zhǎng)2倍后得到三角形ABC,已知三角形 DEF的面積為1,那么三角形 ABC的面積是多少？作業(yè)5.點(diǎn)B是正方形一條邊上的四等分點(diǎn).連接AB、BC,點(diǎn)D、E又是AB、BC的四等分點(diǎn)，連接 CD、DE .如果正方形邊長(zhǎng)為24厘米，那么：（1）三角形ABC的面積是多少？（ 2）三角形CDE的

11、面積是多少?24厘米第六講直線型計(jì)算中的倍數(shù)關(guān)系例題1.答案：如圖所示詳解：長(zhǎng)方形一邊確定，面積的倍數(shù)關(guān)系與另一鄰邊的倍數(shù)關(guān)系相同1612241 230平方厘米.7個(gè)小三角形面積相等.20例題2.答案：30詳解： ABD與A ADC的面積比是1:1,可求出 ABD的面積是90平方厘米. ABE與A BDE的面積比是1:2,那么 ABE的面積是90例題3.答案：7詳解：連結(jié)AE、BF、CD,由等高三角形可以推出圖中的例題4.答案：3倍 ABC的面積是3份.所以A ACD的詳解：設(shè)A AEC的面積是1份，那么有梯形的面積是 4份,面積是1份.而 ADC與A ABC的高相同，所以底的比等于面積的比，

12、即AD:BC=1:3例題5.答案：49詳解： 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為 a, 則有 2a 4a 2 4 50 , a=7.例題 6.答案： 7.5詳解：連結(jié)CE, 將三角形切成兩個(gè)小三角，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為 a 厘米 . 可列方程 20 12 220a 12a2 , a=7.5.8 4 6 12平方厘米？再求陰影部分的面積,練習(xí)1.答案：15簡(jiǎn)答：先求出面積為6的長(zhǎng)方形下面長(zhǎng)方形的面積，應(yīng)該是20 10 2 , 4 6 8 12 2 15 .練習(xí)2.答案：15平方厘米簡(jiǎn)答：因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，可知 BDC的面積是A ABC面積的一半，120 260 ?E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，那么 DEF的面積是A

13、 BCD的四分之一，60 4 15 ?練習(xí)3.答案：18簡(jiǎn)答：如圖所示，連結(jié) AF、BD和CE ?根據(jù)等高三角形的性質(zhì)可以求出其他三角形的面積.CDFE的面積是長(zhǎng)1.答案：5練習(xí)4.答案：6簡(jiǎn)答：如圖所示，連結(jié) EF,使得ABEF是一個(gè)長(zhǎng)方形？那么長(zhǎng)方形 方形ABEF的兩倍，所以EC是BE的兩倍，BE長(zhǎng)為6.作業(yè)簡(jiǎn)答：長(zhǎng)方形 A的面積是長(zhǎng)方形 B的面積的3倍，因此長(zhǎng)方形 C的面積也是長(zhǎng)方形 D的面積的3倍，因此長(zhǎng)方形D的面積為5.作業(yè)2.答案：24簡(jiǎn)答：BD長(zhǎng)度是AD長(zhǎng)度的2倍，因此三角形BCD面積也是三角形 ACD面積的2倍，因此三角形BCD面積為24.作業(yè)3.答案：16BCD面積為48,三角簡(jiǎn)答：由D、E分別為AB、BC邊上的三等分點(diǎn)，可求得三角形 形CDE面積為16.作業(yè)4.答案：19簡(jiǎn)答：如圖所示，連接AE、BF、CD.由AD 2DF , BE 2ED ,