模型04等時圓模型(原卷版)

1、模型041.模型特征等時圓模型(原卷版)12(D質(zhì)點在豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦從其上端由靜止開始滑到環(huán)的最低點所用時間相等，如圖甲所示。(2)質(zhì)點從豎直圓環(huán)上最高點沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖乙所示。(3)兩個豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點，質(zhì)點沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到下端所用 時間相等,如圖丙所示。我們先看弦軌道模型問題并證明物體下滑的等時性。如圖所示，讓物體從豎直圓環(huán)上的最高點A處由靜止開始沿光滑的弦軌道AB、AC、AD下滑(AD豎直)，下滑的時間分別為。、G、3。試證明證明：物體由靜止開始沿AB弦軌道下滑，AB弦軌道長為占，AB弦軌道與豎直方向夾角為，

2、直徑AD長為“0 m = g cos o (D x、= d cos 0 2解得：八=欄可知物體由靜止開始沿光滑弦軌道下滑的時間與弦與豎直方向的夾角無關(guān)，即4=，3如果把圓環(huán)及軌道倒置，如圖所示，使A在最低點，讓物體從B、C、D點由靜止開始沿光滑弦軌道滑 到A點，通過同樣方法證明，物體下滑時間仍相等。結(jié)論：物體由靜止開始沿著一個端點在圓環(huán)最高點的不同光滑弦軌道下滑到圓環(huán)的時間相等：或物體在 圓環(huán)上由靜止開始沿著另一個端點在圓環(huán)最低點的不同光滑弦軌道下滑，滑到圓環(huán)最低點的時間相等?！镜淅?】如圖甲所示，在傾角為e的斜而上方的A點放置一光滑的木板AB.B端剛好在斜面上，木板與豎直 方向AC所成角度為

3、一小物塊由A端沿木板由靜止下滑，要使物塊滑到斜面的時間最短，則a與6角的大小 關(guān)系為（）。A.a=0 B.a=y Ca=26D.a=【變式訓(xùn)練1】如果定點A在斜面下而，在斜而上如何找到一點P ,使其沿光滑弦到A點時間最短？ 如圖.在豎直平面內(nèi)，定點A位于斜而ML的下面，A與斜面之間連接光滑直軌道，作圖求出物體由斜 而上一點從靜止開始沿光滑直軌道滑到A點最短時間的徑跡。【典例2如圖所示，幾條足夠長的光滑直軌道與水平而成不同角度，從P點以大小不同的初速度沿各軌道發(fā) 射小球，若各小球恰好在相同的時間內(nèi)到達(dá)各自的最高點，則各小球最高點的位置（）0A.在同一水平線上B.在同一豎直線上C在同一拋物線上D.

4、在同一圓周上【變式訓(xùn)練2】如圖所示，光滑細(xì)桿8C、。和AC構(gòu)成矩形A3CD的兩鄰邊和對角線，AC ： BC ： DC=5 :4 ： 3, AC桿豎直，各桿上分別套有一質(zhì)點小球“、”，“、機(jī)”三小球的質(zhì)量比為1 ： 2 ： 3,現(xiàn)讓三小球 同時從各桿的頂點由靜止釋放，不計空氣阻力，則氏”三小球在各桿上滑行的時間之比為（）A. 1 ： 1 ： 1B. 5 ： 4 ： 3C. 5 ： 8 ： 9D. 1 ： 2 ： 3【典例3】（2018黑龍江大慶一模）如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy,該平面內(nèi)有AM、BM、 CW三條光滑固定軌道，其中A、。兩點處于同一個圓的圓周上，C是圓周上任意一點，A

5、、M分別為此圓 與x、y軸的切點：8點在y軸上且NBMO=60。，。'為圓心?，F(xiàn)將“、b、。三個小球分別從A、B、。點同 時由靜止釋放，它們將沿軌道運(yùn)動到M點，所用時間分別為"、3、tc,則以、斯、大小關(guān)系是（） A.B. tA=tc<tliC. tA = tc=tHD.由于C點的位置不確定，無法比較時間大小關(guān)系【變式訓(xùn)練3】如圖甲所示,位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓環(huán)軌道與水平面相切于M點，與豎直墻相切于從點。 豎直墻上另一點B與M的連線和水平面的夾角為60°.C是圓環(huán)軌道的圓心。已知在同一時刻a、b兩球分別 由從、8兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道AW、8M運(yùn)動

6、;c球由。點自由下落。則（）。A.u球最先到達(dá)M點B.h球最先到達(dá)M點C.c球最先到達(dá)M點D.b球和c球都可能最先到達(dá)M點【典例4】如圖所示，在同一豎直線上有A、B兩點，相距為h, B點離地高度為H，現(xiàn)在要在地面上尋 找一點P，使得從A、B兩點分別向點P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和B沿木板.下滑 到P點的時間相等，求O、P兩點之間的距離而?！咀兪接?xùn)練4】如圖，圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板a。、bO、cO.其下簾都固定于底部圓心O, 而上端則擱在倉庫側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為30°、45。、60%若有三個小孩同時從八從c處開始下滑（忽略阻力），則 （A、“

7、處小孩最先到O點C、C處小孩最先到。點B、b處小孩最后到。點D、a、c處小孩同時到O點【典例5】（單選）如圖6所示，AB和CD為兩條光滑斜槽，它們各自的兩個端點均分別位于半徑為R和r 的兩個相切的圓上，且斜槽都通過切點P.設(shè)有一重物先后沿兩個斜槽，從靜止出發(fā)，由A滑到8和由C 滑到D，所用的時間分別為/和缶 則h與打之比為（）.A. 2 ： 1 B. 1 ： 1 C?。? D. 1 ： 5【變式訓(xùn)練5】如圖8所示，圓弧AB是半徑為R的;圓弧，在A8上放置一光滑木板3。，一質(zhì)量為,的小 物體在8。板的。端由靜止下滑，然后沖向水平面8C,在8C上滑行2后停下.不計小物體在8點的能量 損失，已知小物

8、體與水平而BC間的動摩擦因數(shù)為.求：小物體在8。上下滑過程中，重力做功的平均功 率.【典例6】如圖所示，。、ob、oc是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，。、“、b、c、4位于同一圓周上，點 為圓周的最高點，c點為最低點。每根桿上都套著一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)都從。點無初速釋放, 用小匕、力依次表示滑環(huán)到達(dá)、b、c所用的時間，則（）A. t = t2 = t3 B. t> tl> t3 C. t<t2< t3 D. t3> t> t2【變式訓(xùn)練6】傾角為30。的長斜坡上有C、。、B三點,CO = OB= 10m,在C點豎直地固定一長10 m的 直桿40。

9、A端與。點間和坡底B點間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質(zhì)點），將兩球從A點 由靜止開始、同時分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖所示，則小球在鋼繩上/AG和/AB分別為（取& = 10nVs2）A. 2s 和 2sB. y/2s 和 2sC. 2s 和 4sD. 4s 和 V2s模型04等時圓模型（解析版）L模型特征質(zhì)點在豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦從其上端由靜止開始滑到環(huán)的最低點所用時間相等，如圖甲所(2)質(zhì)點從豎直圓環(huán)上最高點沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時間相等,如圖乙所示，(3)兩個豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點，質(zhì)點沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到下端所用 時間相

10、等,如圖丙所示。我們先看弦軌道模型問題并證明物體下滑的等時性。如圖所示，讓物體從豎直圓環(huán)上的最高點A處由靜止開始沿光滑的弦軌道AB、AC、AD下滑(AD豎直),證明：物體由靜止開始沿AB弦軌道下滑，AB弦軌道長為占，AB弦軌道與豎直方向夾角為e，直徑AD 長為。« = g cos 6 0x、= d cos 0 2x. =i 2 解得：0 =可知物體由靜止開始沿光滑弦軌道下滑的時間與弦與豎直方向的夾角無關(guān)，即乙=如果把圓環(huán)及軌道倒置，如圖所示，使A在最低點，讓物體從B、C、D點由靜止開始沿光滑弦軌道滑到A點，通過同樣方法證明，物體下滑時間仍相等。結(jié)論：物體由靜止開始沿著一個端點在圓環(huán)最

11、高點的不同光滑弦軌道下滑到圓環(huán)的時間相等；或物體在 圓環(huán)上由靜止開始沿著另一個端點在圓環(huán)最低點的不同光滑弦軌道下滑，滑到圓環(huán)最低點的時間相等。【典例1】如圖甲所示，在傾角為°的斜而上方的月點放置一光滑的木板四6端剛好在斜而上，木板與豎直 方向月。所成角度為。，一小物塊由月端沿木板由靜止下滑，要使物塊滑到斜面的時間最短，則。與6角的兀大小關(guān)系為（A. a =。 B, o C. o =2 0 D,1 4【答案】B【解析】如圖乙所示,在豎直線月。上選取一點0,以適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫圓，使該圓過A點,且與斜而相切于 0點。由等時圓模型的特點知，由A點沿木板滑到。點所用時間比由A點到達(dá)斜而上其他

12、各點所用時間都短。將木板卜.端6點與。點重合即可，而N的，則項正確。作法:過A點作豎直線AB,過A作水平線，斜而交Q點,作N。的角平分線叮AB交于0點,以0點為圓心、A0長為半徑作圓切斜而于P點，AP徑跡即為所求:【變式訓(xùn)練1】如果定點A在斜面下面，在斜面上如何找到一點P ,使其沿光滑弦到A點時間最短？如圖.在豎直平面內(nèi)，定點A位于斜而ML的下而，A與斜面之間連接光滑直軌道，作圖求出物體由斜面 上一點從靜止開始沿光滑直軌道滑到A點最短時間的徑跡。作法同1, PA徑跡即為所求?！镜淅?】如圖所示，幾條足夠長的光滑直軌道與水平而成不同角度，從尸點以大小不同的初速度沿各軌道發(fā) 射小球,若各小球恰好在

13、相同的時間內(nèi)到達(dá)各自的最高點,則各小球最高點的位置（）。A.在同一水平線上B.在同一豎直線上C.在同一拋物線上D.在同一圓周上【答案】D【解析】設(shè)某一直軌道與水平面成0角，末速度為零的勻減速直線運(yùn)動可逆向看成初速度為零的勻加速宜線運(yùn)動,則小球在直軌道上運(yùn)動的加速度/誓擊sin ，由位移公式得a時SsiMR即壺也/不同的傾角時應(yīng)不同的位移，但矗相同，即各小球最高點的位置在直徑為土一的圓周上,D項正確?！咀兪接?xùn)練2】如圖所示，光滑細(xì)桿況; %和4C構(gòu)成矩形的兩鄰邊和對角線,AC： BC： DC=5 ： 4 ： 3、 4。桿豎直，各桿上分別套有一質(zhì)點小球a、b、d, a、b、d三小球的質(zhì)量比為1 ：

14、 2 ： 3,現(xiàn)讓三小球同時從 各桿的頂點由靜止釋放，不計空氣阻力，則出、6、d三小球在各桿上滑行的時間之比為（）A. 1 ： 1 ： 1B. 5 ： 4 ： 3D. 1 ： 2 ： 3C. 5 ： 8 ： 9【答案】A【解析】 利用等時圓模型，以月。為直徑畫圓，6、，剛好在圓上，所以時間相等，故A正確?！镜淅?】（2018 黑龍江大慶一模）如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系*分，該平面內(nèi)有山/、6從CM 三條光滑固定軌道，其中&。兩點處于同一個圓的圓周上，。是圓周上任意一點，月、"分別為此圓與x、y 軸的切點；5點在y軸上且N3"=60° , O

15、9;為圓心?，F(xiàn)將a、6、c三個小球分別從乩6、。點同時由靜止 釋放，它們將沿軌道運(yùn)動到"點，所用時間分別為心、山、M則云云大小關(guān)系是（）A. t< tX tsB. tA= tX tsC. tc= tBD.由于C點的位置不確定，無法比較時間大小關(guān)系16，故正確選項為B。O R意；對于CV段，同理可解得【答案】B【解析】對于出/段，位移在=舟 加速度a，=§sin45° =半§，根據(jù)*=焉一得，t尸 乙乙對于£1/段，位移及=2凡 加速度電= gsin 60° =號§,得“=【變式訓(xùn)練3】如圖甲所示，位于豎直平面內(nèi)的固定光

16、滑圓環(huán)軌道與水平面相切于0點，與豎直墻相切于月點。豎直墻上另一點5與M的連線和水平面的夾角為60° ,C是圓環(huán)軌道的圓心，已知在同一時刻a、6兩球分別由小6兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道4K的/運(yùn)動;。球由。點自由下落。則（）。A. ”球最先到達(dá)"點球最先到達(dá)M點C. c球最先到達(dá)“點D. 6球和。球都可能最先到達(dá).“點【答案】C；設(shè)4"與【解析】如圖乙所示,設(shè)圓環(huán)半役為R,則c球由。點自由卜落到M點用時演足 足或，所以 水平面成角，則a球下滑到必用時滿足4gksin響3疝仍叱,即七若；同理占球從6點下滑到用點 用時也滿足hWjjG為過氏.“目水平而相切于明點的豎

17、直圓的半徑，爾c綜上所述可得項 正確°【典例4】如圖所示，在同一豎直線上有A、B兩點，相距為h, B點離地高度為H,現(xiàn)在要在地而上尋找 一點P，使得從A、B兩點分別向點P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由R和B沿木板，下滑到P 點的時間相等，求0、P兩點之間的距離而?！窘馕觥坑伞暗葧r圓”特征可知，當(dāng)A、B處于等時圓周上，且P點處于等時圓的最低點時，即能滿 足題設(shè)要求。如圖所示，此時等時圓的半徑為：R = O1P = H + 3 ,所以 OP =r2_（：）2 =【變式訓(xùn)練4】如圖，圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板以0、60、。，其下潑都固定于底部圓心0,而上端則擱在倉庫側(cè)壁，

18、三塊滑塊與水平面的夾角依次為30°、45 60%若有三個小孩同時從小6、。處開始下滑（忽略阻力），則 （A、a處小孩最先到0點C、。處小孩最先到。點）B、6處小孩最后到。點D、a、c處小孩同時到0點【答案】D【解析】選D.三塊滑板與圓柱形倉庫構(gòu)成的斜面底邊長度均為圓柱形倉庫的底而半徑，則R 1 2 ,凸 2 4R-=-gtJsin6,tJ = 'cos9 2gsin26當(dāng)I）-一時，1最小，邙0=30°和60°時，sin2。的值相同，故只有D正確.【典例5】（單選）如圖6所示，相和為兩條光滑斜槽，它們各自的兩個端點均分別位于半徑為斤和r的 兩個相切的圓上，

19、且斜槽都通過切點正.設(shè)有一重物先后沿兩個斜槽，從靜止出發(fā)，由4滑到6和由?；?到G所用的時間分別為工和餐則七與左之比為（）.A. 2 ： 1 B. 1 ： 1 C.木：1 D. 1 ： 3【解析】 由“等時圓”模型結(jié)論有：tn tn 2,所以r&=3 + tr, tztn,知=& B項正確.【變式訓(xùn)練5】如圖8所示，圓弧四是半徑為斤的口圓弧，在池上放置一光滑木板劭，一質(zhì)量為0的小物 4體在劭板的。端由靜止下滑，然后沖向水平而6C在左上滑行后停下.不計小物體在5點的能量損失，己知小物體與水平面芯間的動摩擦因數(shù)為.求：小物體在切上下滑過程中，重力做功的平均功率.【答案】 【解析】由動能定理可知小物體從，到。有W"儂£=0,所以楊