高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 解數(shù)學(xué)題不應(yīng)是公式

1、解數(shù)學(xué)題不應(yīng)是公式、規(guī)則的演繹游戲 高考題和數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著引領(lǐng)的作用。這些題目的好壞影響很大。構(gòu)建一道好的題目也十分不易。顯然，絕大多數(shù)的高考題和競(jìng)賽題是不錯(cuò)的。有些題目還十分精彩。而且從近幾年看，題目出的越來(lái)越好。但也不可否認(rèn)確實(shí)有個(gè)別題目出的不好，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)造成不好的影響。也引起學(xué)生和家長(zhǎng)的不滿。令人不安的是，目前很少能聽到對(duì)這些題目的批評(píng)意見。對(duì)個(gè)別不好的題目，沒(méi)有人站出來(lái)說(shuō)：“不！”相反，上級(jí)教育主管部門對(duì)這些考題的評(píng)價(jià)都是正面的、肯定的。當(dāng)然，批評(píng)的意見不一定就是對(duì)的。要允許別人反批評(píng)。由于這些題的影響較大，在這里，應(yīng)該要對(duì)事不對(duì)人地開展討論，才能有利于高中數(shù)學(xué)

2、教育的發(fā)展。筆者水平有限，但卻希望在此，結(jié)合幾個(gè)具體的題目，發(fā)表一些意見。歡迎批評(píng)指正。首先討論兩道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的題。這是很多年以前的題目了。所以還拿出來(lái)討論是因?yàn)?，目前這類題目仍在高中課堂廣泛講授，被有些老師稱為經(jīng)典題。成為高考復(fù)習(xí)的題型之一，其影響還很大。1 設(shè)函數(shù)，求的值。點(diǎn)評(píng)：請(qǐng)問(wèn)這道題應(yīng)該讓學(xué)生如何來(lái)思考？我們?cè)诟咧袑W(xué)過(guò)，等差數(shù)列和等比數(shù)列，知道如何求它們的前項(xiàng)和。這是等差數(shù)列或等比數(shù)列嗎？它們不是！那么，我們能用求等差、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，來(lái)處理這道題嗎？也不成！事實(shí)上，出題者是利用這道題中的函數(shù)的一個(gè)特殊性質(zhì)：，而編造出來(lái)的。而這個(gè)性質(zhì)卻不是顯然的，人們根本無(wú)法一眼看出。請(qǐng)

3、問(wèn)，用這樣的題如何培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力？如果允許這樣來(lái)編造數(shù)學(xué)題，我們可以把這題改得更難，例如，讓，此時(shí)該函數(shù)滿足：。還可以再?gòu)?fù)雜，讓，此時(shí)，該函數(shù)滿足：。若還覺(jué)得簡(jiǎn)單，可以把上述函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行通分，甚至分子、分母同乘一個(gè)代數(shù)式，等等。我們也可以編造滿足或更復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系來(lái)出這類型的題。學(xué)生得到的收獲只能是：今后看到類似題型，要根據(jù)題目中數(shù)列的值，如這里的，反過(guò)來(lái)猜測(cè)給定的函數(shù)的特殊性質(zhì)。這種思維是數(shù)學(xué)思維嗎？我們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生的什么能力？這是數(shù)學(xué)嗎？數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，它研究的問(wèn)題，無(wú)論是來(lái)自實(shí)際還是來(lái)自數(shù)學(xué)本身，都是有意義的。它的思想方法非常豐富（例如我們熟知的類比、歸納等等），體現(xiàn)

4、著人類思考問(wèn)題、分析問(wèn)題的一般方法。如果采用這種生編硬造的方法玩花樣，（類似地還有：把一些因式乘起來(lái)，讓人去做因式分解；從一個(gè)明顯的不等式出發(fā)，例如，兩邊加、乘同樣的式子，使其復(fù)雜化，讓人去證明這復(fù)雜的不等式，等等。）數(shù)學(xué)將變成定義、規(guī)則和演繹法的游戲，它既沒(méi)有動(dòng)力也沒(méi)有目標(biāo)。數(shù)學(xué)將不會(huì)吸引任何有理智的人，它也喪失了其生命力。2 設(shè)函數(shù) 定義在區(qū)間上，求這個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的和。點(diǎn)評(píng)：對(duì)一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，我們自然會(huì)關(guān)心它的最大值和最小值。它們給出了該函數(shù)因變量變化的范圍，而且在應(yīng)用中，最大、最小值也十分重要。有時(shí)也會(huì)關(guān)心最大值與最小值的差，它反映了因變量變化的幅度。但是，我們?yōu)槭裁匆笞畲笾蹬c

5、最小值的和？它有何意義？如果不關(guān)心其意義，我們就可以提出一大堆問(wèn)題，如，求最大值與最小值的乘積、商、平方和等等。解決這類根本不知道其意義的問(wèn)題，不是數(shù)學(xué)！這是沒(méi)有目標(biāo)的演繹游戲。 退一步說(shuō)，如果問(wèn)題本身沒(méi)有意義，但我們有一個(gè)好的方法，能對(duì)一般的函數(shù)求出其最大值與最小值的和，即存在一種通性通法。這也還算可以。但我們卻沒(méi)有這種方法。于是，按照一般的做法，我們只能分別求出該函數(shù)的最大、最小值，然后再對(duì)它們求和。由于該函數(shù)最后一項(xiàng)是+3，我們只需求函數(shù)的最大、最小值。這個(gè)函數(shù)的圖像很難畫出，學(xué)生無(wú)法利用幾何直觀來(lái)猜想。我們?cè)谡n堂上教給學(xué)生的是，對(duì)這種問(wèn)題，最一般的方法是，通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，然后解一個(gè)方程，來(lái)

6、求極大、極小值點(diǎn)。但是，這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后，得到的三項(xiàng)中，分別包含，指數(shù)、對(duì)數(shù)和多項(xiàng)式。無(wú)法求出其零點(diǎn)。 那么，這題如何做呢？這題目的標(biāo)準(zhǔn)答案說(shuō)， 是一個(gè)奇函數(shù)，從而在對(duì)稱區(qū)間上，最大、最小值的和為0。怎么就會(huì)想到是奇函數(shù)？從函數(shù)表達(dá)式根本看不出來(lái)，的圖像又不易畫出。我們想通過(guò)這道題教給學(xué)生什么思考問(wèn)題、分析問(wèn)題的方法呢？這里又是編造一個(gè)特殊的函數(shù)來(lái)為難學(xué)生，卻沒(méi)有任何意義。學(xué)生得到的收獲只能是：今后如果出現(xiàn)求最大、最小值的和的題，要看它是否是奇函數(shù)。這種收獲，在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題上沒(méi)有任何意義，不是在學(xué)數(shù)學(xué)，而是在對(duì)付考試、對(duì)付題型。而這種題型不是真正意義上的數(shù)學(xué)問(wèn)題。是數(shù)學(xué)中的垃圾。下面討論兩

7、道近年的高考題。（這不是新課標(biāo)實(shí)施后的考題）3 下面是一道選擇題，其正確答案是。(2008年重慶卷·理科10) 函數(shù)f(x)=() 的值域是(B )(A)-(B)-1,0 (C)- D)-命題者給出該題的標(biāo)準(zhǔn)答案如下：方法1：特殊值法，sinx=0,cosx=1則f(x)=淘汰A，令得當(dāng)時(shí)sinx= -1時(shí),所以矛盾.淘汰C， D.方法2：其中 f(x)Î-1,0.當(dāng)x=p時(shí), 方法3：令 k表示圓x2+y2=1上的點(diǎn)與點(diǎn)(1，1)連線的斜率，點(diǎn)評(píng)：求一個(gè)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間的值域，只需求出該函數(shù)在這區(qū)間的最大、最小值。其關(guān)鍵的步驟是求出該函數(shù)在這區(qū)間的極值，再和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)

8、的值進(jìn)行比較。這是高中熟知的內(nèi)容。而求函數(shù)極值的一般方法是，首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后解一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的方程。這個(gè)方法也是學(xué)生熟知的。它是微積分中的一個(gè)基本的方法，是通性通法。但是，本題卻沒(méi)有考核學(xué)生對(duì)這個(gè)基本方法掌握的程度。相反，如果學(xué)生用這個(gè)方法，將面臨解一個(gè)有關(guān)（或）的四次方程。這個(gè)方程有一對(duì)共軛的復(fù)根和兩個(gè)實(shí)數(shù)根。學(xué)生不掌握解四次方程的辦法。從而無(wú)法用求導(dǎo)數(shù)的辦法來(lái)解決這道題。那么命題者打算讓學(xué)生如何來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？命題者在他們給出的答案中，給出了三種方法。方法1是所謂的排除法。它說(shuō)，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，在所給出的四個(gè)選項(xiàng)中有三個(gè)是錯(cuò)誤的，可以排除在外。因此，剩下的一個(gè)選項(xiàng)就是對(duì)的。這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)嗎？這

9、是考試學(xué)！是考試的方法，而不是研究數(shù)學(xué)的方法。把這種方法作為標(biāo)準(zhǔn)答案，實(shí)不可取。方法2和方法3都是把該函數(shù)的表示式，用三角恒等表?yè)Q公式，變成 ，然后，再討論它的值域。它們的解法卻過(guò)分復(fù)雜（甚至出現(xiàn)了斜率）。事實(shí)上，人們很容易看到 從而連續(xù)函數(shù) 取值在0和1之間。當(dāng)在所給的定義域區(qū)間時(shí)，該式可以取到0和1。因此，該函數(shù)的值域是。而我們要求的函數(shù)和它只相差一個(gè)負(fù)號(hào)，從而它的定義域是。方法2和方法3顯得過(guò)于繁瑣了。不過(guò)，這道題的問(wèn)題不在于答案給出的解法麻煩。其致命的缺陷是：我們的問(wèn)題明明是讓學(xué)生求函數(shù)的值域，但我們用這道題要告訴學(xué)生的卻是，你們學(xué)過(guò)的求極值的通性通法在這里卻不適用。在這里要用一個(gè)巧妙

10、的變形。可惜的是，這個(gè)變形，只適合這一道題。換了別的題就不成了。甚至把這道題目中函數(shù)表達(dá)式的任何一個(gè)數(shù)或符號(hào)改一下，例如，把3改為4或把2改為5，或把減號(hào)改成加號(hào)，等等。上述的解題方法也失靈。也就是說(shuō)，本題給出的方法，只能解這一道題。換一個(gè)數(shù)或符號(hào)就失效，這樣的題目有意義嗎？也許有人說(shuō)，這是考三角恒等變換。我個(gè)人認(rèn)為，三角恒等變換公式反映了，特定三角函數(shù)值的內(nèi)在關(guān)系。其功能主要是，化簡(jiǎn)和證明一些恒等式。使學(xué)生能認(rèn)識(shí)到一些看似十分復(fù)雜的表示式，由于其內(nèi)在的關(guān)系，原來(lái)如此簡(jiǎn)單?；虬l(fā)現(xiàn)表面不同的兩個(gè)式子原來(lái)是恒等的。我們也可以用三角恒等變換，來(lái)做一些計(jì)算（例如，數(shù)學(xué)分析中的積分計(jì)算）。因此，如果要考

11、核學(xué)生三角恒等變換，應(yīng)該在化簡(jiǎn)、證明恒等式或計(jì)算方面考核。使學(xué)生體會(huì)這些公式的作用。而不是在形式推演上玩花樣。我國(guó)的學(xué)生在形式演算方面能力很強(qiáng)，但有些過(guò)分了。上世紀(jì)70年代末，筆者在美國(guó)做訪問(wèn)學(xué)者，在討論班上，常常會(huì)不由自主地想到把已知的條件，用一個(gè)公式做恒等變形，甚至，對(duì)分子、分母同乘一個(gè)式子，或加一項(xiàng)再減一項(xiàng)，等等。試圖通過(guò)這種途徑找到解決問(wèn)題的辦法。每當(dāng)我這樣做時(shí)，我的導(dǎo)師，美國(guó)科學(xué)院院士，F(xiàn).Spitzer教授，都會(huì)疑惑地望著我，問(wèn)我：“Why?”（為什么？）在他看來(lái)，沒(méi)有數(shù)學(xué)思想，沒(méi)有方法，靠這種形式演算，變來(lái)變?nèi)?，是無(wú)法解決問(wèn)題的。這使我逐漸清楚：我們的這些強(qiáng)項(xiàng)，有時(shí)也會(huì)把我們引入

12、歧途。這表現(xiàn)在，在教學(xué)中，把知識(shí)分解為知識(shí)點(diǎn)，過(guò)分關(guān)注細(xì)節(jié)和技巧，而忽略了對(duì)數(shù)學(xué)整體的把握。津津樂(lè)道于一些巧題、妙題，而忽視數(shù)學(xué)中最常見的、最基本的思想和方法。事實(shí)上，幾乎沒(méi)有一個(gè)重大的數(shù)學(xué)成果是靠單純的形式推演而得到的。通常，人們通過(guò)直觀猜測(cè)、類比、歸納等各種途徑得到結(jié)果，其思路和方法都是清楚、合理的。最后，再靠形式的推理給以驗(yàn)證。因此，形式演算能力雖然是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要能力，但不能過(guò)分。特別是，不應(yīng)該做沒(méi)有目標(biāo)的演算，或只在技巧上玩花樣。如果在學(xué)生學(xué)過(guò)用導(dǎo)數(shù)求極值的一般方法后，我們故意出一道用導(dǎo)數(shù)無(wú)法求解的題目，用一個(gè)只對(duì)這一道題有用的方法來(lái)求解。勢(shì)必引導(dǎo)教師在高中教學(xué)中，去找這樣的偏題

13、怪題來(lái)做，而忽視了通性通法的學(xué)習(xí)。特別是，我們要清楚高中數(shù)學(xué)的定位，在我看來(lái)，這樣的解題技巧，對(duì)一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師或者一個(gè)數(shù)學(xué)系的學(xué)生來(lái)說(shuō)，都不是最重要的。何況，我們的高中生。他們將來(lái)大都不專攻數(shù)學(xué)，讓他們做這種題就更不必要。他們應(yīng)該掌握的是最基本的、通性通法，如用導(dǎo)數(shù)求極值，等等。而不是本題中給出的技巧。4 下面這道題的第2問(wèn)，江西全省沒(méi)有考生做出來(lái)，喪失了考題選拔的功能。學(xué)生、教師反映極大。 (2009年江西理科卷第22題) 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an，a1=a, a2=b,且對(duì)滿足m+n=p+q的正整數(shù)m,n,p,q都有 (1)當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)an ,;(2)證明：對(duì)任意a, 存在與a有關(guān)的常數(shù)l

14、，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，都有命題者給出該題的標(biāo)準(zhǔn)答案如下：解：() 由得將代入化簡(jiǎn)得所以 故數(shù)列為等比數(shù)列，從而即可驗(yàn)證，滿足題設(shè)條件.() 由題設(shè)的值僅與有關(guān),記為則 考察函數(shù) ,則在定義域上有 故對(duì)， 恒成立. 又 ,注意到,解上式得取,即有 . 點(diǎn)評(píng)：先看第(1)小題的標(biāo)準(zhǔn)答案。由于給出了數(shù)列的第1、2項(xiàng)，利用已知條件得到一個(gè)遞推關(guān)系這還是自然的。但是，隨后由這個(gè)遞推關(guān)系得到卻沒(méi)有給出任何思路。(答案上只用了“所以”兩個(gè)字。)學(xué)生無(wú)從下手。如果只是恒等變形、化來(lái)化去，就沒(méi)有任何意義。這樣的問(wèn)題不能培養(yǎng)任何分析和解決問(wèn)題的能力。無(wú)助于對(duì)數(shù)學(xué)的理解。少數(shù)學(xué)生能做出這道題，是因?yàn)槔蠋煷罅垦a(bǔ)充關(guān)

15、于遞推關(guān)系(實(shí)質(zhì)上是差分方程)的各種解題技巧。這種題目在高考中出現(xiàn)，勢(shì)必引導(dǎo)高中老師給學(xué)生補(bǔ)充遞推關(guān)系的各種題型和技巧。這大大超出了高中課標(biāo)對(duì)學(xué)生的要求，加重學(xué)生負(fù)擔(dān)。而對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)沒(méi)有多少好處，甚至起著相反的作用。下面我們重點(diǎn)來(lái)討論第(2)小題。首先，這里問(wèn)題的提法就很奇怪。為什么要找一對(duì)互為倒數(shù)的正數(shù)：和，使得 （1）一個(gè)自然的提法是：證明：存在兩個(gè)正數(shù)和使得 （2）這意味著，這個(gè)數(shù)列是有界的且不會(huì)趨于零。這個(gè)提法，在數(shù)學(xué)上，是有意義的。不難證明，這兩個(gè)提法是充分必要的。事實(shí)上，若（1）成立，令，就得到（2）；反過(guò)來(lái)，若（2）成立，取一個(gè)數(shù)滿足： （這樣的有無(wú)窮多個(gè)），則（1）成立。雖

16、然這兩個(gè)結(jié)論等價(jià)，但若無(wú)特殊需要，我們是不會(huì)提出考題中所問(wèn)的問(wèn)題的。考題的這種提法必定要引導(dǎo)學(xué)生去找一個(gè)特殊的數(shù)。如前所述，它有無(wú)窮多個(gè)，具體是哪一個(gè)并不重要。那么，我們?nèi)绾蝸?lái)找這個(gè)數(shù)呢？從命題者給出的標(biāo)準(zhǔn)答案來(lái)看，他根本沒(méi)有去找，只是證明數(shù)列滿足一個(gè)一元二次不等式，從而得到的上、下界 然后，答案說(shuō)，經(jīng)過(guò)恒等變換可知，上、下界恰巧互為倒數(shù)，于是，我們得到了！從而證明了我們的結(jié)論。原來(lái)只是恰巧成立！這種解決問(wèn)題方法，說(shuō)得過(guò)去嗎？它培養(yǎng)學(xué)生什么能力？我們并不是不允許出難題，但要有自然的解題思路，通過(guò)對(duì)問(wèn)題一步步的分析，最終解決問(wèn)題。要通過(guò)解決問(wèn)題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。像這題的解法，不

17、給出如何尋找數(shù)的思路，最后，靠“恰好成立”來(lái)完成證明。實(shí)在不可取。 順便指出，答案中，用形式的計(jì)算，來(lái)發(fā)現(xiàn)的上、下界互為倒數(shù)，對(duì)一般人來(lái)說(shuō)，也是很難想到的。因?yàn)檫@兩個(gè)界的表達(dá)式比較復(fù)雜，無(wú)法一眼看出。（如果用根與系數(shù)關(guān)系的韋達(dá)定理，不用計(jì)算直接可以得出。）這種考核，不是考學(xué)生的能力，用這種東西考學(xué)生，并不能選拔出優(yōu)秀的學(xué)生。當(dāng)然，這題的難點(diǎn)還不止這些。為了要說(shuō)明數(shù)列滿足一個(gè)一元二次不等式，答案中首先通過(guò)數(shù)列，造了一個(gè)新的數(shù)列，然后給出了的下界。這個(gè)下界還不像通常那樣，是一個(gè)數(shù)，而是參數(shù)的一個(gè)函數(shù)。這對(duì)考生來(lái)說(shuō)，極不容易想到。而且，有了這個(gè)下界還無(wú)法得到數(shù)列的界（事實(shí)上，無(wú)論有界還是無(wú)界。都是的下界。這一點(diǎn)學(xué)生也很難看出。），還要利用題目的已知條件，最終才能得到滿足的不等式。這樣的題目難度很大，遠(yuǎn)不是中學(xué)學(xué)生和教師能夠把握的。更何況，如上所述，問(wèn)題的提法和解題的方法都不自然。這樣的題目出現(xiàn)在高考的試題中，影響很不好?？荚嚭螅诨ヂ?lián)網(wǎng)上學(xué)生罵聲一片。江西上饒的一個(gè)教育局副局長(zhǎng)對(duì)我說(shuō)，你們搞數(shù)學(xué)教育的，出這樣的題，讓學(xué)生都遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)，怕數(shù)學(xué)，甚至恨數(shù)學(xué)。應(yīng)該反思反思。類似的題目還可以