多孔介質(zhì)流體的數(shù)值方法及其分析與計(jì)算

1、多孔介質(zhì)流體的數(shù)值方法及其分析與計(jì)算    多孔介質(zhì)中的流體流動(dòng)過程廣泛應(yīng)用于人們生產(chǎn)和生活的各個(gè)方面,大到油氣田的生產(chǎn)開發(fā)、地下水源污染狀況的預(yù)測與治理、海水入侵、為減緩氣候變暖而實(shí)施的二氧化碳地下埋存、衛(wèi)星和電動(dòng)汽車的燃料電池的設(shè)計(jì)、以及生物數(shù)學(xué)和醫(yī)學(xué)的應(yīng)用,小到嬰兒尿片的設(shè)計(jì)、照片和紙張中油墨的分布、高級防寒服及鞋的設(shè)計(jì)等等,所以對多孔介質(zhì)中流體流動(dòng)的研究引起了包括數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、環(huán)境、生物和醫(yī)學(xué)等許多領(lǐng)域的研究人員的興趣,而且他們的研究工作也在逐漸影響和改變著人們的生活。我們知道流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的過程中會(huì)發(fā)生多種復(fù)雜的物理化學(xué)變化,而用來描

2、述這些變化的數(shù)學(xué)模型通常可歸結(jié)為依賴時(shí)間的強(qiáng)耦合的非線性偏微分方程組,特別是隨著科學(xué)與工程的迅速發(fā)展以及計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的提高,我們越來越意識(shí)到該方程組的解的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜,而且解本身具有動(dòng)態(tài)的變化劇烈的界面。尤其是界面周邊的區(qū)域往往是物理和化學(xué)變化最為強(qiáng)烈的地方,所以需要準(zhǔn)確的求解；但是由其自身的復(fù)雜性,必然會(huì)給數(shù)值模擬帶來這樣那樣的困難。那么如何采取更有效的數(shù)值方法,使得問題的物理過程得到更加直觀的模擬,進(jìn)而為工業(yè)生產(chǎn)提供理論基礎(chǔ)和科學(xué)依據(jù),這是數(shù)學(xué)科研工作者需要共同面對的任務(wù).本文主要針對由多孔介質(zhì)中流體流動(dòng)過程(當(dāng)然也包括其它問題)的數(shù)學(xué)模型所確定的依賴時(shí)間的對流擴(kuò)散方程或耦合的偏微分方程

3、組做了部分研究工作,其中包括構(gòu)造合理有效的數(shù)值算法,然后對數(shù)值算法進(jìn)行理論分析,并通過科學(xué)計(jì)算加以驗(yàn)證.雖然在算法的構(gòu)造和分析過程中我們主要考慮一般的對流擴(kuò)散方程或方程組(就是說不假定這些問題必須出現(xiàn)于多孔介質(zhì)流體),但是會(huì)不時(shí)地回顧多孔介質(zhì)流體的應(yīng)用背景,這樣可以更加明確這些模型的物理及數(shù)學(xué)特性,從而有助于我們有針對性地構(gòu)造有效的算法及進(jìn)行分析與計(jì)算。因?yàn)樯婕暗降膯栴}面比較廣,所以具體問題的實(shí)際研究背景我們在具體的章節(jié)中再做詳細(xì)的介紹.本文的主要內(nèi)容可分為四部分：第一部分基于實(shí)際應(yīng)用的物理背景,構(gòu)建了本文要討論的數(shù)學(xué)模型.第二部分到第四部分是本文的主體,其中第二部分主要討論依賴時(shí)間的對流擴(kuò)散

4、方程,我們?yōu)槠錁?gòu)造了多種數(shù)值算法,并通過理論分析,獲得了許多重要的分析結(jié)果,比如關(guān)于小參數(shù)一致的最優(yōu)誤差估計(jì)、關(guān)于退化系數(shù)一致的最優(yōu)誤差估計(jì)和間斷有限元方法的最優(yōu)誤差估計(jì)等等。第三部分的研究對象是由依賴時(shí)間的對流擴(kuò)散方程和壓力方程組成的耦合偏微分方程組,我們?yōu)槠錁?gòu)造了數(shù)值方法,并做了相應(yīng)的理論分析。第四部分主要介紹針對近年來逐漸引起研究者興趣的新數(shù)學(xué)模型而構(gòu)造的數(shù)值算法,其中包括多尺度對流擴(kuò)散方程的多尺度拉格朗日方法、含界面的對流擴(kuò)散方程的特征線浸入有限元方法和分?jǐn)?shù)階偏微分方程的快速算法。下面我們詳細(xì)介紹各部分的主要內(nèi)容。第一部分也就是本文的第一章,建立本文要討論的數(shù)學(xué)模型,主要包括兩方面內(nèi)容

5、：§1.1討論多孔介質(zhì)中的流體的混融驅(qū)動(dòng)問題,推導(dǎo)描述混溶驅(qū)動(dòng)問題的由依賴時(shí)間的對流擴(kuò)散方程和壓力方程組成的耦合非線性偏微分方程組,本文中大部分?jǐn)?shù)值方法的分析和計(jì)算都是針對這個(gè)模型展開的；在§1.2中我們介紹近年來多孔介質(zhì)流體領(lǐng)域中在數(shù)學(xué)模型方面的最新進(jìn)展,包括多尺度問題和分?jǐn)?shù)階的偏微分方程。第二部分包括從第二章到第六章的內(nèi)容,主要研究依賴時(shí)間的對流擴(kuò)散方程的數(shù)值方法的開發(fā)、分析與計(jì)算。首先需要聲明的是,雖然這部分我們討論的是線性的對流擴(kuò)散方程,但我們的研究目標(biāo)還是求解第一章建立的耦合系統(tǒng)(1.1.10)-(1.1.11)中的擬線性對流擴(kuò)散方程(1.1.11)。因?yàn)榻?jīng)過第七

6、章的有效線性化以后,在每個(gè)離散時(shí)間步上原擬線性對流擴(kuò)散方程(1.1.11)都可視為依賴時(shí)間的線性對流擴(kuò)散方程,所以這一部分的所有數(shù)值方法原則上都可以用來求解耦合方程組(1.1.10)-(1.1.11)。第二部分的工作分如下幾個(gè)課題：(1)為了讓大家更清晰的了解歐拉-拉格朗日方法,在第二章我們集中介紹各種歐拉-拉格朗日方法,其中包括修正的特征線方法(MMOC)、調(diào)整對流項(xiàng)的修正特征線方法(MMOCAA)和歐拉-拉格朗日局部共軛方法(ELLAM).(2)第三章證明依賴時(shí)間的對流擴(kuò)散方程的歐拉-拉格朗日方法和Galerkin有限元方法關(guān)于小參數(shù)一致的最優(yōu)誤差估計(jì)。雖然已經(jīng)有大量文獻(xiàn)2,30,31,1

7、06,109討論依賴時(shí)間的對流擴(kuò)散方程的歐拉-拉格朗日方法的誤差估計(jì),但是這些誤差估計(jì)中的一般常數(shù)往往與小參數(shù)有關(guān),當(dāng)很小時(shí),常數(shù)會(huì)變得很大,從而消弱誤差的收斂速度。在§3.3和§3.4中我們將分別證明一維空間和多維空間的對流擴(kuò)散方程的各種歐拉-拉格朗日方法的最優(yōu)誤差估計(jì),而且所得誤差估計(jì)只與問題的初始函數(shù)和右端函數(shù)有關(guān),與小參數(shù)和精確解都無關(guān)；利用解的穩(wěn)定性和插值空間理論,在弱正則性條件下,我們還要獲得初始函數(shù)和右端函數(shù)在Besov空間范數(shù)意義下的關(guān)于小參數(shù)一致的誤差估計(jì)。(3)在第四章中我們討論依賴時(shí)間的系數(shù)退化的對流擴(kuò)散方程,獲得歐拉-拉格朗日方法關(guān)于退化系數(shù)一致的最

8、優(yōu)誤差估計(jì)。由于多孔介質(zhì)的非均質(zhì)性,對流擴(kuò)散方程的擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)在有些地方往往會(huì)發(fā)生退化,結(jié)果導(dǎo)致所有依賴于擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)的正下界的誤差分析31,106,109的意義大打折扣。在§4.2中我們證明在強(qiáng)正則性條件下不依賴于擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)的下界的誤差估計(jì),該估計(jì)在一般區(qū)域上當(dāng)Courant數(shù)有正下界時(shí)可以達(dá)到最優(yōu)階；否則可以達(dá)到(不可改進(jìn)的)次最優(yōu)階；§4.3利用解的穩(wěn)定性和插值空間理論,在弱正則性條件下,給出初始函數(shù)和右端函數(shù)在Besov空間范數(shù)意義下的關(guān)于退化系數(shù)一致的誤差估計(jì)。(4)第五章證明多維空間一般邊界條件下依賴時(shí)間的對流擴(kuò)散方程在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的ELLAM方法的最優(yōu)誤差估計(jì)。許

9、多歐拉-拉格朗日方法在多維空間區(qū)域上針對對流擴(kuò)散方程的誤差分析,要么要求空間區(qū)域是特殊區(qū)域,比如矩形區(qū)域,要么要求對流擴(kuò)散方程是在特殊的邊界條件下,比如周期性邊界條件或noflow邊界條件.這些限制條件極大地消減了方法的實(shí)用性,而本章中我們將對多維空間中任意凸區(qū)域上一般邊界條件下的對流擴(kuò)散方程構(gòu)造ELLAM數(shù)值方法,證明L2范數(shù)意義下的最優(yōu)誤差估計(jì)和能量范數(shù)意義下的超收斂估計(jì),而且需要強(qiáng)調(diào)的是所用的空間網(wǎng)格剖分只需要是擬一致的網(wǎng)格剖分。(5)在第六章中我們證明依賴時(shí)間的對流擴(kuò)散方程和對流反應(yīng)方程的特征線間斷有限元方法的最優(yōu)誤差估計(jì)。§6.2針對對流擴(kuò)散方程構(gòu)造幾種特征線間斷有限元方法

10、,而且證明它們的最優(yōu)L2誤差估計(jì)；在§6.3中我們?yōu)閷α?反應(yīng)方程構(gòu)造不受CFL條件限制的特征線間斷有限元方法,而且通過數(shù)值算例驗(yàn)證該算法的模擬效果；除此之外,我們還要考慮多維空間的擴(kuò)散方程的非對稱間斷有限元方法,并且通過理論分析得到它的最優(yōu)L2誤差估計(jì)。第三部分也就是本文的第七章,證明依賴時(shí)間的耦合的擬線性方程組(1.1.10)-(1.1.11)的混合有限元方法(MFEM)的最優(yōu)誤差估計(jì)和超收斂估計(jì)。事實(shí)上,早在1983年Ewing等42就已經(jīng)提出了使用特征線方法和混合有限元方法相結(jié)合的辦法來求解該耦合方程組,而且他們也證明了最優(yōu)的誤差估計(jì),但是他們的證明對Courant數(shù)有嚴(yán)格的

11、限制,只有當(dāng)Courant數(shù)很小的時(shí)候才成立；而且該限制條件幾乎成為后續(xù)研究的一個(gè)必要條件,這與我們從數(shù)值試驗(yàn)觀察到的結(jié)果不吻合。在§7.2中,我們要放松這個(gè)限制條件,而且證明最優(yōu)的誤差估計(jì)；在§7.3中我們還證明壓力方程(1.1.10)沿高斯線的超收斂估計(jì)。第四部分包含本文的最后三章,主要介紹針對近年來逐漸引起研究者興趣的新數(shù)學(xué)模型而構(gòu)造的數(shù)值算法.因?yàn)榈刭|(zhì)結(jié)構(gòu)中具有許多不同尺度的裂縫,第八章和第九章分別針對其中的微小裂縫和中等尺度的裂縫構(gòu)造多尺度拉格朗日方法和特征線浸入有限元方法.第九章的討論對象是分?jǐn)?shù)階的偏微分方程,由于空間分?jǐn)?shù)階偏導(dǎo)數(shù)的非局部性,分?jǐn)?shù)階偏微分方程的有

12、限差分方法的系數(shù)矩陣是一個(gè)滿陣,從而計(jì)算時(shí)需要耗費(fèi)極大的計(jì)算量和存儲(chǔ)量；為了克服這個(gè)困難,我們嘗試構(gòu)造分?jǐn)?shù)階偏微分方程的快速算法,以此降低計(jì)算和存儲(chǔ)的消耗,而且通過數(shù)值試驗(yàn)證明該快速算法能夠達(dá)到與一般算法同樣的計(jì)算精度?？偨Y(jié)上述內(nèi)容,本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下：·首次證明了依賴時(shí)間的對流擴(kuò)散方程的歐拉-拉格朗日方法關(guān)于小參數(shù)一致的最優(yōu)誤差估計(jì)王1、4、5、14、21(說明：本文中王n代表附錄中攻讀博士學(xué)位期間本人完成論文情況的列表中的第n篇文章)。·首次證明了依賴時(shí)間的退化的對流擴(kuò)散方程的歐拉-拉格朗日方法關(guān)于退化系數(shù)一致的最優(yōu)誤差估計(jì)王8、16。·首次證明了依賴時(shí)間的

13、對流擴(kuò)散方程的Galerkin有限元方法關(guān)于小參數(shù)一致的最優(yōu)誤差估計(jì)王19。·首次證明了一般區(qū)域上一般邊界條件下的依賴時(shí)間的對流擴(kuò)散方程的歐拉-拉格朗日局部共軛方法(ELLAM)的最優(yōu)誤差估計(jì)王17。·首次證明了依賴時(shí)間的對流擴(kuò)散方程的特征線間斷有限元方法的最優(yōu)誤差估計(jì)王2、6。·首次證明了多維空間的擴(kuò)散方程的非對稱間斷有限元方法在L2范數(shù)下的最優(yōu)誤差估計(jì)王7。·首次在合理的網(wǎng)格比條件下證明了依賴時(shí)間的耦合擬線性方程組的混合有限元方法的最優(yōu)誤差估計(jì)和超收斂估計(jì)王11。·對依賴時(shí)間的多尺度的對流擴(kuò)散方程首次構(gòu)造了多尺度拉格朗日方法,并且通過數(shù)值算

14、例驗(yàn)證了該方法的精度王9、13。·對含界面的對流擴(kuò)散方程構(gòu)造了特征線浸入有限元方法,并且首次證明了它的最優(yōu)誤差估計(jì)。·對依賴時(shí)間的分?jǐn)?shù)階的對流擴(kuò)散方程首次構(gòu)造了一種可極大地減少計(jì)算量和存儲(chǔ)量的快速算法,并且通過數(shù)值算例驗(yàn)證了該算法的優(yōu)越性王18。由于篇幅限制,沒有將攻讀博士學(xué)位以來完成的所有工作都包含在本學(xué)位論文里面。在本文的隨后章節(jié)里,我會(huì)逐章介紹這幾年來的工作以及各工作之間的相互關(guān)系,并選其中具有代表性的工作詳細(xì)展開。同主題文章1.    張大凱,劉明飄. 對流擴(kuò)散方程的一種指數(shù)型三層顯式格式' J. 貴州科學(xué). 1989

15、.(02)    2.    張池平，崔明根. 再生核空間中求解定態(tài)對流擴(kuò)散方程' J. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué). 1994.(10)    3.    吳冬生. 對流擴(kuò)散方程Cauchy問題的概率求解' J. 科學(xué)通報(bào). 1995.(24)    4.    田振夫. 構(gòu)造定常對流擴(kuò)散方程高精度緊致差分格式的新方法' J. 計(jì)算物理. 19

16、97.(Z1)    5.    陸金甫. 對流擴(kuò)散方程的一些單調(diào)性差分格式' J. 計(jì)算物理. 1991.(02)    6.    梁棟. 對流擴(kuò)散方程的一類迎風(fēng)格式' J. 計(jì)算數(shù)學(xué). 1991.(02)    7.    張志躍. 變系數(shù)對流擴(kuò)散方程的交替分段顯-隱式方法' J. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版). 2002.(02)    8.    張大凱,李洪林. 求解對流擴(kuò)散方程的兩層半顯式差分格式' J. 貴州科學(xué). 1991.(01)    9.&