新教材第四章三角函數(shù)教學(xué)體會(huì)與設(shè)想

1、新教材第四章“三角函數(shù)”教學(xué)體會(huì)與設(shè)想 三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)變形和圖象分析，因此三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)了。本章的知識(shí)，既是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，又是中學(xué)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 本章教學(xué)時(shí)間約用36課時(shí)，具體分配如下(僅供參考)： 4.1角的概念的推廣約2課時(shí)4.2弧度制約2課時(shí)4.3任意角的三角函數(shù)約2課時(shí)4.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式約2課時(shí)4.5正弦、余弦的誘導(dǎo)公式約3課時(shí)4.6兩角和與差的正弦、余弦、正切約7課時(shí)4.7二倍角的正弦、余弦、正切約3課時(shí)4.8正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)約4課時(shí)4.

2、9函數(shù)y= Asin(x+)的圖象約3課時(shí)4.10正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)約2課時(shí)4.11已知三角函數(shù)值求角約2課時(shí)小結(jié)與復(fù)習(xí)約4課時(shí)一、內(nèi)容與要求 (一)本章主要內(nèi)容是：任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式；兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)；三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求角等。 (二)具體安排：章頭引言中安排了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題求半圓內(nèi)接矩形的最大面積這個(gè)問(wèn)題可以用二次函數(shù)來(lái)解決，如果設(shè)角度為自變量，會(huì)得到三角函數(shù)式 ，探索如何求它的最大值。 第一大節(jié)是“任意角的三角函數(shù)”。教科書(shū)首先推廣角的概念，介紹了弧度制，接著把三角函數(shù)的概念由銳角直接推廣到任意角

3、(都用坐標(biāo)定義)，然后導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式及正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。教科書(shū)在本大節(jié)的各小節(jié)中，都安排了許多實(shí)例以及知識(shí)的應(yīng)用。 第二大節(jié)是“兩角和與差的三角函數(shù)”。教科書(shū)先引入平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式(只通過(guò)畫(huà)圖說(shuō)明公式的正確性，不予嚴(yán)格證明)，用距離公式推出余弦的和角公式，然后順次推出(盡量用啟發(fā)式)公式 ,同時(shí)安排了公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用，包括解決引言中的實(shí)際問(wèn)題，引出半角公式、和差化積及積化和差公式，讓學(xué)生有所了解。 第三大節(jié)是“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”。教科書(shū)先利用正弦線(xiàn)畫(huà)出函數(shù)（x0,2）的圖象，并根據(jù)“終邊相同的角有相等的同名三角函數(shù)值”，把這一圖象向左、右平行移動(dòng)，得到正弦

4、曲線(xiàn)；在此基礎(chǔ)上，利用誘導(dǎo)公式把正弦曲線(xiàn)向左平行移動(dòng)/2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到余弦曲線(xiàn)。接著根據(jù)這兩種曲線(xiàn)的形狀和特點(diǎn)，研究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，然后又研究了函數(shù)y=Asin(x+) 的簡(jiǎn)圖的畫(huà)法，簡(jiǎn)要地介紹了利用正切線(xiàn)畫(huà)出正切函數(shù)的圖象以及正切函數(shù)的性質(zhì)。最后講述了如何由已知三角函數(shù)值求角，并引進(jìn)了 arcsinx、 arccosx、 arctanx等記號(hào)，以供在后續(xù)章節(jié)中遇到求角問(wèn)題時(shí)用來(lái)表示答案。 (三)本章的教學(xué)要求是： 1使學(xué)生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算。 2使學(xué)生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

5、(三個(gè)) ；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。 3使學(xué)生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力。 4使學(xué)生能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。 5使學(xué)生會(huì)用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過(guò)它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(x+) 的簡(jiǎn)圖，理解 A 、

6、、 的物理意義。 6. 使學(xué)生會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsin x、 arccos x、 arctan x表示。二、本章的特點(diǎn) (一)遵循“基本的，有用的” 原則,對(duì)傳統(tǒng)的三角內(nèi)容作了大幅度的精簡(jiǎn)。被明確刪去的內(nèi)容有：正切、余切的誘導(dǎo)公式；化 asinx+bcosx為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式；余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)；反三角函數(shù)和簡(jiǎn)單三角方程。被明確簡(jiǎn)化的內(nèi)容(要求隨之降低)有：對(duì)余切、正割、余割只要求了解其定義，不作其他延伸；只引出半角、積化和差、和差化積公式，但不要求記憶；余弦函數(shù)的圖象不用余弦線(xiàn)畫(huà)，而利用正弦曲線(xiàn)和誘導(dǎo)公式來(lái)畫(huà)。經(jīng)過(guò)這樣的精簡(jiǎn)，原教材安排的76課時(shí)減為新大綱規(guī)

7、定的36課時(shí)。 (二)突出了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。本章教材突出的基本數(shù)學(xué)思想有：集合思想，例如引入象限角的集合，用集合表示符合某條件的角以及三角函數(shù)的定義域和值域等；對(duì)應(yīng)思想，例如一個(gè)角的度數(shù)與弧度數(shù)一一對(duì)應(yīng)，角與某一種三角函數(shù)的值的對(duì)應(yīng)等；數(shù)形結(jié)合思想，例如用坐標(biāo)來(lái)定義三角函數(shù)，用與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段表示三角函數(shù)線(xiàn)，用單位圓引出正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，利用圖象來(lái)研究三角函數(shù)的性質(zhì)、通過(guò)將正弦曲線(xiàn)上各點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行平行移動(dòng)、伸長(zhǎng)或縮短來(lái)畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖等；化歸思想，例如研究一個(gè)角的正弦、正切值同時(shí)為負(fù)數(shù)的充要條件，將求任意角的三角函數(shù)值逐步轉(zhuǎn)化為求銳角三角函數(shù)值(這是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題)，將畫(huà)

8、正弦曲線(xiàn)逐步轉(zhuǎn)化為畫(huà)函數(shù)的簡(jiǎn)圖(這是將已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為未知問(wèn)題)，將由已知三角函數(shù)值求角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先求出符合某條件的銳角(輔助角)等。突出的基本數(shù)學(xué)方法(通法)有：坐標(biāo)法，例如在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義三角函數(shù)，研究它們的圖象和性質(zhì)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系推出正弦、余弦的誘導(dǎo)公式以及余弦的和角公式等，這一方法的普遍使用，也為后面學(xué)習(xí)向量與解析幾何進(jìn)一步打好了基礎(chǔ)(前面學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)已滲透)；換元法(設(shè)中間變量，包括設(shè)參數(shù))，例如，由正弦曲線(xiàn)的形狀和位置關(guān)系推測(cè)函數(shù)y = Asin(x + )的圖象的形狀和位置關(guān)系，在由三角函數(shù)值求角時(shí)先替換成求出符合某條件的銳角等，由于新大綱未專(zhuān)設(shè)參數(shù)方程這一項(xiàng)教學(xué)內(nèi)容，所

9、以有關(guān)參數(shù)的知識(shí)及運(yùn)用要在各章節(jié)中適當(dāng)安排；五點(diǎn)法，這在畫(huà)正弦、余弦函數(shù)以及與其相關(guān)的函數(shù)的簡(jiǎn)圖時(shí)起著很大的作用；待定系數(shù)法，例如先寫(xiě)出函數(shù)式，再根據(jù)已知條件求出這里的系數(shù)A、，以及化簡(jiǎn)這樣的式子等。除此以外，在本章的各部分內(nèi)容中，還滲透了綜合法、分析法以及觀察、比較、抽象、概括等方法。例如用綜合法、分析法證明簡(jiǎn)單的恒等式；觀察三角函數(shù)的圖象得出其單調(diào)性及正弦、余弦函數(shù)在一個(gè)周期上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；比較角的兩種單位制，比較正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，比較正弦曲線(xiàn)與函數(shù)y = Asin(x + )的圖象；從實(shí)際問(wèn)題中抽象出O。到360。范圍以外的角，從而將角的概念推廣到任意角(包括正角、零角和負(fù)

10、角)，并按角的終邊所在的位置概括出象限角或終邊在坐標(biāo)軸上的角；在推導(dǎo)出五組誘導(dǎo)公式后，將它們概括成一句話(huà)“k+a（kZ）的三角函數(shù)值，等于a的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)”；在講解畫(huà)函數(shù)y = Asin(x + )的簡(jiǎn)圖的過(guò)程時(shí)，概括成一段話(huà)“函數(shù)y = Asin(x + ) ，xR(其中A>0, >0)的圖象，可以看作是用下面的方法得到的：先把正弦曲線(xiàn)上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)>0時(shí))或向右(當(dāng)<0時(shí))平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)1時(shí))或伸長(zhǎng)（當(dāng)0l時(shí)）到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A 1時(shí))或縮短(當(dāng)OA

11、1）到原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)不變)”等。 (三)注意提高學(xué)生的能力。提高學(xué)生的思維能力，除了上述要求學(xué)生會(huì)對(duì)有關(guān)對(duì)象進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括，還培養(yǎng)他們會(huì)用歸納、演繹和類(lèi)比進(jìn)行推理，并小結(jié)出它們的內(nèi)在聯(lián)系和推導(dǎo)線(xiàn)索以供學(xué)生參考和記憶；在運(yùn)算方面，雖然用科學(xué)計(jì)算器可以迅速求得任意角的三角函數(shù)值，但由于運(yùn)用誘導(dǎo)公式的方法具有思維訓(xùn)練價(jià)值及運(yùn)算訓(xùn)練價(jià)值，所以教科書(shū)仍按傳統(tǒng)方法處理，但有所簡(jiǎn)化。關(guān)于空間想象，在本章中主要是指在平面(二維空間)內(nèi)的數(shù)形結(jié)合，為此把單位圓與三角函數(shù)線(xiàn)的知識(shí)提前到用坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)一小節(jié)，這就強(qiáng)化了幾何表示，對(duì)于后面講誘導(dǎo)公式帶來(lái)了方便；另外，在“函數(shù)y

12、= Asin(x + ) 的圖象”一小節(jié)中。增加了一些關(guān)于判定如何進(jìn)行平行移動(dòng)、伸長(zhǎng)或縮短，使一個(gè)圖象變到另一個(gè)圖象去的題目，這種訓(xùn)練滲透了近代幾何學(xué)中的一個(gè)重要思想變換思想，也是義務(wù)教育初中幾何教科書(shū)中“全等變換”、“位似變換”等“讀一讀”資料的延伸(見(jiàn)人教版初中幾何第二冊(cè))。 (四)注意加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際。章頭引言安排了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題-求半圓內(nèi)接矩形的最大面積。這個(gè)問(wèn)題可以用學(xué)生學(xué)過(guò)的二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決。但如果從角度出發(fā)，就會(huì)得到一個(gè)三角函數(shù)式，求這個(gè)三角函數(shù)式的最大值，只利用學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的銳角三角函數(shù)的知識(shí)是不夠的。教科書(shū)還注意從實(shí)際問(wèn)題中引出任意角的概念和弧度的概念以及加強(qiáng)它們的應(yīng)用。有

13、的應(yīng)用是很淺顯的，例如“今天是星期三，那么7k 天后的那一天是星期幾? 7k天前的那一天是星期幾？”，就發(fā)生在學(xué)生的身邊。作為本章的閱讀材料，還介紹了“弧度制的由來(lái)”和“同頻率正弦電流相加，頻率不變”這些知識(shí)，后者用正弦的和角公式進(jìn)行了推導(dǎo)，為以后學(xué)生學(xué)習(xí)物理中的有關(guān)電學(xué)知識(shí)打好了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 (五)注意符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律。除了從實(shí)際問(wèn)題引入數(shù)學(xué)概念之外，在這方面的措施有：(1)重建數(shù)形結(jié)構(gòu)。首先通過(guò)平面直角坐標(biāo)系 (數(shù)形結(jié)合)定義任意角a的三角函數(shù)，在得到“終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等”即第一組誘導(dǎo)公式后，就引入與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，將任意角a的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形

14、式(三角函數(shù)線(xiàn))表示出來(lái)；然后學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式，其他誘導(dǎo)公式，以及兩角和與差的三角函數(shù)，這一部分屬于式的化簡(jiǎn)、求值、恒等關(guān)系的證明以及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用，研究方法以數(shù)為主，以形為輔；最后學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、其應(yīng)用包括已知三角函數(shù)值求角，這一部分的研究方法則以形為主，以數(shù)為輔。全章力求使知識(shí)來(lái)自實(shí)際，來(lái)自對(duì)數(shù)與形的共同的、互相配合的研究，同時(shí)利用并培養(yǎng)學(xué)生的形象思維和邏輯思維。(2)利用學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在引言中，首先利用二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題；建立任意角的概念時(shí)，利用學(xué)生觀看體操節(jié)目已有的例如對(duì)于“轉(zhuǎn)體720度”的直覺(jué)和語(yǔ)詞記憶；畫(huà)余弦函數(shù)的圖象時(shí)，利用正弦曲線(xiàn)和誘導(dǎo)公式

15、，已知三角函數(shù)值求角時(shí)，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)。以上這些都是與原教科書(shū)中處理不同的例子?？梢哉f(shuō)，本章的各項(xiàng)教學(xué)內(nèi)容，基本上是環(huán)環(huán)相扣的，后面的知識(shí)均以前面的知識(shí)為基礎(chǔ)，這樣就能使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可以較好地同化”和“順應(yīng)”。(3)精簡(jiǎn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，略去或簡(jiǎn)化不必要的程序。例如，從銳角三角函數(shù)直接推廣到任意角三角函數(shù)，略去了講鈍角三角函數(shù)這一程序。這樣做不僅節(jié)約了課時(shí)，而且密切了“任意角”與 “任意角三角函數(shù)”的聯(lián)系，反而加強(qiáng)了后者這一知識(shí)的發(fā)生和形成過(guò)程。(4)在必要的地方增加臺(tái)階，讓學(xué)生拾級(jí)而上。例如對(duì)于正弦曲線(xiàn)與函數(shù)y = Asin(x + )的圖象之間的關(guān)系，后者如何從前者變化得到，對(duì)學(xué)生來(lái)

16、說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，新教科書(shū)增配了些練習(xí)題，幫助學(xué)生辨析“左移”、“右移”、“伸長(zhǎng)”、“縮短”這些詞語(yǔ)的涵義并學(xué)會(huì)使用。又如在“已知三角函數(shù)值求角”這一小節(jié)中，將每一道例題分成幾道小題，使前面的小題成為解后面小題的基礎(chǔ)。 三、教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題 (一)本章內(nèi)容的重點(diǎn)是：任意角三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)間的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式及其運(yùn)用；正弦、余弦的和角公式，正弦曲線(xiàn)的畫(huà)法和正弦函數(shù)的性質(zhì)。難點(diǎn)是：弧度制的慨念，綜合運(yùn)用本章公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)及恒等式的證明，周期函數(shù)的概念，函數(shù)y = Asin(x + )的圖象與正弦曲線(xiàn)的關(guān)系。關(guān)鍵是：使學(xué)生熟練掌握任意角三角函數(shù)的定義，講清余弦的和角公式的特征

17、及其兩角差公式、正弦的和角公式的變化，正弦曲線(xiàn)的畫(huà)法和正弦函數(shù)的性質(zhì)。 由于課時(shí)較緊，教學(xué)中應(yīng)遵循大綱所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補(bǔ)充已被刪簡(jiǎn)的知識(shí)點(diǎn)。例如，三角函數(shù)基本上只講正弦、余弦、正切三種；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式只講三個(gè)；誘導(dǎo)公式中，要求學(xué)生記住并能靈活運(yùn)用的，只是用正弦、余弦表示那幾個(gè)。求；在推導(dǎo)正切的和角公式以及畫(huà)正切函數(shù)的圖象時(shí)，出現(xiàn)了正切的誘導(dǎo)公式，但這只作為推導(dǎo)的中間步驟，不要求記憶；積化和差與和差化積公式、半角公式也只是作為和(差)角公式的應(yīng)用出現(xiàn)一下，結(jié)果不要求記憶，更不要求運(yùn)用；此外，也不要補(bǔ)充“把 asinx+bcosx 化成一個(gè)角的三角函數(shù)”這樣的例題和睦相處習(xí)題

18、。 (二)在講述弧度制的優(yōu)點(diǎn)、角度制的不足時(shí)，要注意科學(xué)性。事實(shí)上，角的概念推廣后，無(wú)論用弧度制還用角度制，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R及之間建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。說(shuō)“每個(gè)角都有唯一的實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)”時(shí)，這個(gè)實(shí)數(shù)可以取這個(gè)角的弧度數(shù)，或度數(shù)，或角度制下的分?jǐn)?shù)，或角度制下的秒數(shù)，所以對(duì)應(yīng)法則不是唯一的，但每一種對(duì)應(yīng)法則下對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是唯一的。所以不要認(rèn)為只有弧度制才能將角與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。有的教師認(rèn)為角度制的計(jì)量單位太小，而弧度制的計(jì)量單位大，而且可以省略不寫(xiě)，這種說(shuō)法雖有一定道理，但在科學(xué)上并不具有充足的理由，因?yàn)樾∮行〉暮锰帲螞r坐標(biāo)系中兩條數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度可以不一致。(三)定義了任意角的三角函數(shù)

19、以后，嚴(yán)格地說(shuō)，只有y=sinx 才可以說(shuō)是正弦函數(shù)；六種函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)三角函數(shù)，說(shuō)明不是這六種函數(shù)的函數(shù)，都不能說(shuō)是三角函數(shù)，例如y=sin2x可以說(shuō)是2x的正弦函數(shù)(這時(shí)可說(shuō)它是三角函數(shù))，也可以說(shuō)是正弦函數(shù)與正比例函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，但不能說(shuō)是x的正弦函數(shù)。另一點(diǎn)是函數(shù)的定義域，三角函數(shù)或與其相關(guān)的函數(shù)總是附帶定義域的，所以教學(xué)中不宜隨便說(shuō)(或?qū)?“正弦函數(shù)y=sinx，x0,2”，需知該函數(shù)只是正弦函數(shù)的一個(gè)周期，不要把部分當(dāng)作整體。 (四)關(guān)于已知三角函數(shù)值求角，在講解第4.11小節(jié)的例2、例3(尤其是它們的第(2)小題)時(shí)，可以利用設(shè)輔助角(即通過(guò)設(shè)輔助元素把未知轉(zhuǎn)化為已知，這是化歸思想的運(yùn)用)來(lái)求解。把上述輔助角看作參變量(x為自變量)，那么所提供的方法就可看作參數(shù)的應(yīng)用。新大綱把參數(shù)知識(shí)分散在有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容中，教學(xué)時(shí)適時(shí)提醒注意使用，這是有好處的。 (五)本章所使用的符