定積分計算方法總結

1、摘 要定積分是數(shù)學分析中的一個基本問題，而計算定積分是最基本最重要的問題.它在許多實際問題有著廣泛的應用.下面針對定積分的計算方法做一個比較詳細的總結，常見的包括分項積分、分段積分法、換元積分法、分部積分法.但對于不能直接找出原函數(shù)的定積分，或者被積函數(shù)比較復雜時，往往是比較難求出原函數(shù)的，從而無法用牛頓-萊布尼茲公式求解.針對這樣的情形，本文總結用歐拉積分求解定積分、留數(shù)在定積分上的運用、巧用二重積分求解定積分、反函數(shù)求解定積分以及帶積分型余項的泰勒公式在定積分上的應用，并列舉相應的例子進行說明.關鍵詞: 定積分; 被積函數(shù); 原函數(shù); 牛頓-萊布尼茲公式目 錄1 引言2 定計算的計算方法2

2、.1 分項積分法················································

3、3;(1)2.2 分段積分法···············································

4、3;·(2)2.3 換元積分法 ··············································

5、83;·(3)2.4 分部積分法 ··············································&#

6、183;·（5）2.5 歐拉積分在定積分計算中的應用·······························（9）2.6 留數(shù)在定積分計算上的應用··········

7、3;························（10）2.7 巧用二重積分求解定積分······················

8、83;··············（10）2.8 反函數(shù)法求解定積分································

9、3;········（10）2.9 帶積分型余項的泰勒公式在定積分上的應用·····················（11）3 總結···············

10、;·································(12）淺談定積分的計算1.引言定積分的計算是微積分學的重要內容，其應用十分廣泛，它是包括數(shù)學及其其他學科的基礎.本文歸納總結了常見的定積分計算方法(如1-4)，其中包括分項積分法、分段積分法、換元積分

11、法以及分部積分法.另外對于找不出原函數(shù)的定積分，或者被積函數(shù)十分復雜時，往往是很難求出其原函數(shù)，從而無法用牛頓-萊布尼茲公式求解.針對這樣的情形，我們有必要在此基礎上研究出新的計算方法.對此本文總結了一些另外的方法(如5-9)，其中包括歐拉積分求解定積分、運用留數(shù)計算定積分、巧用二重積分求解定積分、反函數(shù)法求解定積分以及帶積分型余項的泰勒公式在定積分上的應用,進行了一一列舉，并通過例子加以說明.2.定積分的計算方法2.1 分項積分法我們常把一個復雜的函數(shù)分解成幾個簡單的函數(shù)之和：，若右端的積分會求，則應用法則,其中，是不全為零的任意常數(shù)，就可求出積分，這就是分項積分法.例2-11 計算定積分.

12、 解 利用加減一項進行拆項得=+=+.=.例2-2 計算定積分.解 記J=+再將第二項拆開得J=+=+=+.2.2 分段積分法 分段函數(shù)的定積分要分段進行計算，這里重要的是搞清楚積分限與分段函數(shù)的分界點之間的位置關系，以便對定積分進行正確的分段.被積函數(shù)中含有絕對值時，也可以看成分段函數(shù)，這是因為正數(shù)與負數(shù)的絕對值是以不同的方式定義的，0就是其分界點.例2-32 計算定積分.解 由于為偶函數(shù)，在上的分界點為，所以=+=.例2-4 計算定積分，其中.解 由于函數(shù)的分界點為，所以，令后，有=+=+=+=.2.3 換元積分法（變量替換法）換元積分法可以分為兩種類型： 第一類換元積分法（也被俗稱為“湊

13、微分法”）例2-53 計算定積分.解 = =.例2-6 計算定積分. 解 = = =.2.3.2 第二換元積分法常用的變量替換有：三角替換；冪函數(shù)替換；指數(shù)函數(shù)替換倒替換下面具體介紹這些方法 三角替換例2-74 計算定積分.解 由于=，故可令，于是=.冪函數(shù)替換例2-8 計算定積分. 解 作變量代換，得到=，因此=.倒替換例2-9 計算定積分. 解 =令得=.2.4 分部積分法定理 3-15若，在上連續(xù)，則或.利用分部積分求的解題方法（1）首先要將它寫成得形式選擇，使用分布積分法的常見題型：表一被積函數(shù)的形式所用方法，其中為次多項式，為常數(shù)進行次分部積分，每次均取，為，多項式部分為,，即多項式

14、與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘機取為，等為分部積分一次后被積函數(shù)的形式發(fā)生變化，取=（或），為（或），進行兩次分部積分（2）多次應用分部積分法，每分部積分一次得以簡化，直至最后求出（3）用分部積分法有時可導出的方程，然后解出（4）有時用分部積分法可導出遞推公式例2-106 計算定積分. 解 于，所以=連續(xù)使用分部積分得=.例2-117 計算定積分解 因為= 所以= = 于是=+ =從而 = =.例2-128 計算定積分，其中為正整數(shù)解 =作變量替換得=作變量替換得=-=當為偶數(shù)時，=當為奇數(shù)時，=.2.5 歐拉積分在定積分計算中的應用定義 2-14 形如=的含參變量積分稱為函數(shù)，或第一類積分。形如的含參變量積分稱為函數(shù)，或第二類積分。定理 2-24 函數(shù)與函數(shù)之間具有如下關系：=，.定理 2-34（余元公式）.命題 2-14 =.例2-134 計算.解 令，則有，利用三角恒等式可得，將其帶入原式得=從而=.2.6 留數(shù)在定積分計算上的運用例2-149 計算積分.解 令，則，=.2.7 巧用二重積分求解定積分例2-1510 計算積分.解因為，所以=故.2.8 反函數(shù)法求解定積分定理 2-411 若函數(shù)在上嚴格單調且連續(xù)，其反函數(shù)是，且，則定理 2-511 設在上可積，.若在上存在反函數(shù)（）, 在上可積且存在原函數(shù),在上可積，則=.例2-1611 計算定積分