說課(復(fù)變函數(shù)與積分變換)

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換教師：院系： 復(fù)變函數(shù)與積分變換是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門學(xué)科基礎(chǔ)課，是數(shù)學(xué)分析在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣，因此它需要扎實的數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)知識做鋪墊。通過本門課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能夠?qū)W到復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論和數(shù)學(xué)物理及工程技術(shù)中常勇的數(shù)學(xué)方法，同時還可以鞏固和復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)知識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)習(xí)有關(guān)的后繼課程和進一步擴大數(shù)學(xué)知識面奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。下面我從以下幾個方面談?wù)勅绾沃v授復(fù)變函數(shù)與積分變換這門課程。一、教材1、 教學(xué)用教材： 復(fù)變函數(shù)與積分變換： 教育科學(xué)“十五”國家規(guī)劃課題研究成果 主編：蘇變萍、陳東立 編高等教育出版社這本教材從工程實際應(yīng)用的角度出發(fā)，注重基礎(chǔ)性、系統(tǒng)

2、性和實用性，較深入地介紹了復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，積分，級數(shù)，留數(shù)及傅立葉變換和Laplace變換等。全書共九章（具體內(nèi)容在教學(xué)設(shè)計過程中進行詳細(xì)介紹），每一章后面都給出了相應(yīng)的習(xí)題，并在書中提供了部分習(xí)題參考答案供學(xué)生參考、對照。本書具有體系嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯性強，內(nèi)容組織由淺入深，理論聯(lián)系實際，講授方式比較靈活。2、 輔助教材： 復(fù)變函數(shù)（第三版），鐘玉泉，高教出版社3、先修后續(xù)課：先修：數(shù)學(xué)分析二、教學(xué)方法與教學(xué)設(shè)計過程（一） 課程的簡要介紹1、復(fù)變函數(shù)與積分變換課程是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門主要的專業(yè)必修課，是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程。它的理論和方法，對于數(shù)學(xué)的其他學(xué)科，對于物理、力學(xué)、工程技術(shù)中的一些問題，有許多重

3、要的應(yīng)用。通過本課程的教學(xué)，使得學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論和方法，獲得獨立地分析和解決某些有關(guān)的理論和實際問題的能力，從而為充實教學(xué)、科研及其他實際工作打好基礎(chǔ)。2、學(xué)好本門課程需要扎實的數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)知識，尤其要熟練掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分的計算，除了應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)外，還需有融會貫通能力及較強的理解能力。比如理解復(fù)變函數(shù)的解析性與可導(dǎo)性的區(qū)別，解析函數(shù)的雙邊冪級數(shù)的展開等。 （說到這里，對于那些數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)好的學(xué)生心里暗喜，但是對那些基礎(chǔ)較差的同學(xué)來說可能是一個打擊，這部分同學(xué)可能就存在不想學(xué)的心理了，所以還得把話拉回來，基礎(chǔ)好固然好，但是基礎(chǔ)差的同學(xué)也不要灰心，咱們在上課的過程中，遇到和以

4、前的學(xué)科有關(guān)的地方，如果大家忘記了或不懂，會詳細(xì)講解。因此，復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)本身也是對數(shù)學(xué)分析的復(fù)習(xí)和鞏固。）3、學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)與積分變換，要熟練掌握復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)和積分計算的各種方法，能夠區(qū)分復(fù)變函數(shù)與實變量的函數(shù)在導(dǎo)數(shù)和積分運算上的聯(lián)系與區(qū)別。 4、要珍惜每次做練習(xí)題的機會。題目不在多、在精，一般把書本上每章后面的習(xí)題全部掌握（第一次做不來不要緊，關(guān)鍵是要弄懂），你就算達到基本掌握的程度了。 （二）教學(xué)內(nèi)容的組織1、復(fù)數(shù)無序，也即是說，復(fù)數(shù)無法比較大小。講好這一點很重要，它能讓學(xué)生區(qū)分實數(shù)與復(fù)數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。這是建立復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)。2、極限是建立復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與積分的重要工具。因此，要從極限的

5、定義出發(fā)講清楚復(fù)變函數(shù)的極限與實變量函數(shù)極限之間的聯(lián)系和區(qū)別。重點理解復(fù)變函數(shù)解析的含義，區(qū)分復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性和解析性，會利用柯西黎曼條件判定函數(shù)的解析性。在此可以讓學(xué)生模仿實變量的導(dǎo)數(shù)的定義，類似的給出復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念，這可以幫助學(xué)生加深對導(dǎo)數(shù)這一概念的理解；此外，通過對復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)的練習(xí)，進一步鞏固實變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算。但是特別要注意復(fù)變函數(shù)在一點處可導(dǎo)和解析的區(qū)別。3、積分在復(fù)變函數(shù)的研究中極其重要，它的理論簡明，證明簡練，應(yīng)用廣泛。在此可以引導(dǎo)學(xué)生利用已有的實變量下的積分概念，來模仿定義復(fù)變函數(shù)的積分。重點講解單連通區(qū)域上解析函數(shù)的柯西積分定理及復(fù)連通區(qū)域上的柯西積分定理。將數(shù)學(xué)分

6、析中級數(shù)的相關(guān)內(nèi)容推廣到復(fù)數(shù)域。講解解析函數(shù)的泰勒展開式和洛朗展開式，通過具體的例子說明洛朗級數(shù)是復(fù)變函數(shù)特有的形式。學(xué)習(xí)和思考如何利用數(shù)學(xué)分析中已有的工具，將實際問題與抽象描述相結(jié)合，對于學(xué)生分析問題的能力有很大的幫助。4、留數(shù)理論作為復(fù)變函數(shù)的重要內(nèi)容之一，對復(fù)變函數(shù)的理論及應(yīng)用的發(fā)展起到了很大的推動作用。留數(shù)又稱殘數(shù)，復(fù)變函數(shù)論中一個重要的概念。是解析函數(shù)f（z）沿一條正向簡單閉曲線的積分值。這是一個比較抽象的概念，要講清楚這個概念，可以結(jié)合留數(shù)的物理背景。如果被積函數(shù)f（z）是平面流速場的復(fù)速度，而a是它的旋源點（即旋渦中心或源匯中心），則積分表示旋源的強度環(huán)流量，所以留數(shù)是環(huán)流量除以

7、2i的值。由于解析函數(shù)在孤立奇點附近可以展成洛朗級數(shù)，將它沿|za|=R逐項積分，立即可見Resf(z)，a=a-1 ，這表明留數(shù)是解析函數(shù)在孤立奇點的羅朗展式中負(fù)一次冪項的系數(shù)。因此，對于抽象的概念，我們要結(jié)合具體的物理背景或幾何背景來理解，這將有助于學(xué)生深刻理解留數(shù)的概念。5、在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，為把較復(fù)雜的運算簡單化，人們常常采用變換的方法來達到。傅立葉變換和拉普拉斯變換是最為常用的兩種方法。它們廣泛存在于數(shù)學(xué)的許多分支中，而且在其他學(xué)科，如振動力學(xué)，電工學(xué)，無線技術(shù)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。結(jié)合這些特定的物理背景和具體的數(shù)學(xué)理論知識，引出傅立葉變換哈拉普拉斯變換的定義和性質(zhì)，通過學(xué)習(xí)

8、，學(xué)生能夠利用兩種變換解決具體的問題。（三）教學(xué)方法與教學(xué)形式1、板書講授本門課程中某些復(fù)變函數(shù)積分的計算較為復(fù)雜，用到數(shù)學(xué)分析的知識較多，若用多媒體課件來進行講授，學(xué)生僅僅是知道了這個公式是什么，而不能深入理解該公式或該方法的得出、推導(dǎo)以及具體應(yīng)用是什么。而用板書的方法與學(xué)生在課堂上一起討論，印象更加深刻，記憶也就更加牢固。同時，對于那些有考研意向的同學(xué)，用這種方法講授也可以提高他們的邏輯思維及推導(dǎo)能力，目前學(xué)生在學(xué)習(xí)上缺少目標(biāo)和主動性，普遍具有一個很不好的習(xí)慣：吃等食。老師喂一口就吃一口，不能自己獨立地思考，自己深入思考，這樣在考研數(shù)學(xué)的時候是很吃虧的，通過這門課程也在某種程度上鍛煉學(xué)生的

9、獨立思考能力。2、討論式教學(xué)在有些公式或方法的講授時，可以留給學(xué)生來做，或者用他們自己的方法來驗證，這樣能大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和積極性。3、習(xí)題課教學(xué)方法改革盡量少留作業(yè)，拿出一道或幾道典型的題目，或一題多解，讓學(xué)生獨立完成，盡量減少互相抄襲的事件發(fā)生。三、整本書的體系結(jié)構(gòu)本書共九章，結(jié)合專業(yè)需求和學(xué)生的實際水平，并考慮到學(xué)時的限制，本書中第6章和第7章不講。第一篇 復(fù)變函數(shù)第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1 復(fù)數(shù)1.2 復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.3 平面點集1.4 復(fù)變函數(shù)1.5 初等函數(shù)第1章習(xí)題第2章 導(dǎo)數(shù)2.1 復(fù)變函數(shù)的極限2.2 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性2.3 導(dǎo)數(shù)2.4 解析函數(shù)2.5 調(diào)和函數(shù)第2章習(xí)題第3章 積分3.1 積分的概念、性質(zhì)、計算3.2 柯西定理及其推廣3.3 柯西積分公式3.4 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第3章習(xí)題第4章 級數(shù)4.1 收斂序列與收斂級數(shù)4.2 冪級數(shù)4.3 泰勒級數(shù)4.4 洛朗級數(shù)第4章習(xí)題第5章 留數(shù)5.1 解析函數(shù)的孤立奇點5.2 留數(shù)的一般理論5.3 留數(shù)在計算定積分和反常積分中的應(yīng)用第