誘導公式的本質

1、誘導公式的本質所謂三角函數誘導公式，就是將角n·(/2)±的三角函數轉化為角的三角函數。編輯本段常用的誘導公式公式一： 設為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：sin（2k+）=sin kzcos（2k+）=cos kztan（2k+）=tan kzcot（2k+）=cot kz公式二： 設為任意角，+的三角函數值與的三角函數值之間的關系：sin（+）=sin kzcos（+）=cos kztan（+）=tan kzcot（+）=cot kz公式三： 任意角與 -的三角函數值之間的關系：sin（）=sincos（）=costan（）=tancot（）=cot公式四：

2、 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數值之間的關系：sin（）=sincos（）=costan（）=tancot（）=cot公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數值之間的關系：sin（2）=sincos（2）=costan（2）=tancot（2）=cot公式六： /2±與的三角函數值之間的關系：sin（/2+）=coscos（/2+）=sintan（/2+）=cotcot（/2+）=tansin（/2）=coscos（/2）=sintan（/2）=cotcot（/2）=tan誘導公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限”?！捌妗⑴肌敝傅氖?2的倍數的奇偶，“變與不變

3、”指的是三角函數的名稱的變化：“變”是指正弦變余弦，正切變余切。（反之亦然成立）“符號看象限”的含義是：把角看做銳角，不考慮角所在象限，看n·(/2)±是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負號。符號判斷口訣：“一全正；二正弦；三兩切；四余弦”。這十二字口訣的意思就是說： 第一象限內任何一個角的四種三角函數值都是“+”； 第二象限內只有正弦是“+”，其余全部是“”； 第三象限內只有正切和余切是“+”，其余全部是“”； 第四象限內只有余弦是“+”，其余全部是“”?！癆SCT”反Z。意即為“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照將字母Z反過來寫所占的象限對應

4、的三角函數為正值。編輯本段其他三角函數知識同角三角函數的基本關系式倒數關系tan ·cot=1sin ·csc=1cos ·sec=1商的關系sin/cos=tan=sec/csccos/sin=cot=csc/sec平方關系sin2()+cos2()=11+tan2()=sec2()1+cot2()=csc2()同角三角函數關系六角形記憶法構造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。倒數關系對角線上兩個函數互為倒數；商數關系六邊形任意一頂點上的函數值等于與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數值的乘

5、積）。由此，可得商數關系式。平方關系在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方。兩角和差公式sin（+）=sincos+cossinsin（）=sincoscossincos（+）=coscossinsincos（）=coscos+sinsintan（+）=(tan+tan )/(1tan ·tan)tan（）=(tantan)/(1+tan ·tan)二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2=2sincoscos2=cos2()sin2()=2cos2()1=12sin2()tan2=2tan/(1tan2()半角的正弦、余弦和

6、正切公式sin2(/2)=(1cos)/2cos2(/2)=(1+cos)/2tan2(/2)=(1cos)/(1+cos)tan(/2)=(1cos)/sin=sin/1+cos萬能公式sin=2tan(/2)/(1+tan2(/2)cos=(1tan2(/2)/(1+tan2(/2)tan=(2tan(/2)/(1tan2(/2)三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3=3sin4sin3()cos3=4cos3()3costan3=(3tantan3()/(13tan2()三角函數的和差化積公式sin+sin=2sin(+)/2) ·cos()/2)sinsin=2cos(+)/2

7、) ·sin()/2)cos+cos=2cos(+)/2)·cos()/2)coscos=2sin(+)/2)·sin()/2)三角函數的積化和差公式sin·cos=0.5sin(+)+sin()cos·sin=0.5sin(+)sin()cos·cos=0.5cos(+)+cos()sin·sin= 0.5cos(+)cos()編輯本段公式推導過程萬能公式推導sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*，（因為cos2()+sin2()=1）再把*分式上下同除cos2()，可得sin2=2ta

8、n/(1+tan2()然后用/2代替即可。同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。三倍角公式推導tan3=sin3/cos3=(sin2cos+cos2sin)/(cos2cos-sin2sin)=(2sincos2()+cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上下同除以cos3()，得：tan3=(3tantan3()/(1-3tan2()sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin=2sincos2()+(12sin2()sin=2sin2sin3()+sin2sin3()=3sin4sin3()cos3=co

9、s(2+)=cos2cossin2sin=(2cos2()1)cos2cossin2()=2cos3()cos+(2cos2cos3()=4cos3()3cos即sin3=3sin4sin3()cos3=4cos3()3cos和差化積公式推導首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同

10、樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.我們把上述四個公式中的a+b設為x,a-b設為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2