2020年中考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)——四邊形、動(dòng)點(diǎn)、最值問題壓軸題型(含詳細(xì)解答)

1、2020年中考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)一一四邊形、動(dòng)點(diǎn)、最值問題壓軸題型1、如圖，在正方形 ABCD中，E, F分別為AD, BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)等于AP+EP最小值的是。A E DF C解：【分析】連接CP,當(dāng)點(diǎn)E, P, C在同一直線上時(shí)，AP+PE的最小值為CE長(zhǎng)，依據(jù)ABFzCDE,即可得到AP+ EP最小值等于線段 AF的長(zhǎng).如圖，連接CP,由 AD = CD, /ADP = /CDP=45 ,DP=DP,可得ADPzCDP,. AP=CP,. AP+ PE= CP+ PE,當(dāng)點(diǎn)E, P, C在同一直線上時(shí)， AP+PE的最小值為CE長(zhǎng),此時(shí)，由 AB=CD

2、, ZABF=ZCDE, BF=DE,可得ABFGDE,. AF = CE,.AP+EP最小值等于線段 AF的長(zhǎng),【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱，最短路線問題，根據(jù)題意作出A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C是解答此題的關(guān)鍵.2、【猜想】如圖1 ,在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交 AD . BC于點(diǎn)E. F.若【探究】如圖2,在菱形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn) O,過點(diǎn)O的直線分別交 AD, BC于點(diǎn)E, F,若AC=5,BD=10,求四邊形 ABFE的面積.【應(yīng)用】如圖3,在RUABC中，ZBAC=90 延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使DC = BC,連結(jié)AD ,若AC = 3, AD=2/

3、同,則小BD的面積是解：猜想：二.四邊形ABCD是平行四邊形,. AD/BC, OA = OC.zEAO = ZFCO, ZAEO=ZCFO,在AAOE和ACOF中, r.EAO?CiO蚯或a .AEOzCFO (AAS),I，四邊形CDEF的面積=S以cd = 芍? ABCD的面積=4探究：四邊形 ABCD是菱形, .AD/BC, AO=CO-AC=2.5 , BO=BD=5, ZAOD =90 , AB = AC = Jr峭鋁滲, ZOAE=ZOCF, ZOEA = ZOFC,%在AAOE TACOF 中, r0AfiZQCF 二/柚0欲0, .AOEzCOF (AAS),ACXBD，SS

4、ABFE- S|aC?BO*X旦I 分楚. 包 宓2 .4：應(yīng)用：延長(zhǎng) AC至UE使CE= AC = 3,在MBC與ACDE中，C或E；，N 版 典，. ZABCzCDE (SAS), .zE=ZBAC= 90 ,de=7a-Ae2,C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把/ C=2時(shí)，連接AE .構(gòu)建方程3、如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)是2,點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn) F是邊BC上不與點(diǎn)B, 沿直線EF折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C處.當(dāng)公DC為等腰三角形時(shí)，F(xiàn)C的長(zhǎng)為艮FC【分析】首先證明DC DA,只要分兩種情形討論即可：如圖 1中，當(dāng)AD=AC即可；如圖2中，當(dāng)點(diǎn)F在BC中點(diǎn)時(shí)，易證 AC =DC,滿足條件；【解答】解

5、：由題意 DE=EC=EC T, .DC AP= AD ,.-16+ y2=25,1 y= - 3,P (0, 3)或(0, - 3)n、AP=DP,-16+ y2= 16+ (y - 5) 2,的.y=重，SP(o,霄),ID、AD = DP , 25 = 16+ ( y - 5) 2 , .y=2 或 8,蒯二匈 一P (0, 2)或(0, 8).B、由A知，AD=5,由折疊知，AE=t1aC=2V5, deac 于 e,在 RtZADE 中，DE =山城譚2 =柄,、以點(diǎn)A, P, C為頂點(diǎn)的三角形與 ABC全等， .APCzABC,或cpazABC, .zAPC = ZABC = 90

6、 , .四邊形oabc是矩形， .ACOzCAB,此時(shí)，符合條件，點(diǎn) P和點(diǎn)O重合,即：P (0, 0),如圖3,過點(diǎn)0作ON AC于N ,易證，AONsACO,就：A“， L 過點(diǎn)N作NH 0A,. NH /0A,. ZANH s/acO,蒯 NH ： AH, =.-_= ._1一 匕逃1,Jf f8-4NH = , AH =百oh =16isN （管上而點(diǎn)P2與點(diǎn)O關(guān)于AC對(duì)稱,P2罩其）.P2（55.）即：滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)為:,/妲、（S一區(qū)）?（0,同理：點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)Pi,同上的方法得，Pi過點(diǎn)5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫圓，P是。O上一動(dòng)

7、點(diǎn)且在第一象限內(nèi),P作。的切線，與x、y軸分別交于點(diǎn) A、B.（1）求證：AORP與4PA相似；（2）當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；Q點(diǎn)坐（3）在。上是否存在一點(diǎn) Q,使得以Q, O, A、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，試求出標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）證明：.AB是過點(diǎn)P的切線,.ABOP, ./OPB=/OPA=90 ;（1 分）在 Rt 個(gè)PB 中，/1+/3 = 90又. /BOA = 90，1+/2=90 ,z2 = Z3 ; （1 分）在AOPB中4APO中，. .RPBs4APO . （2 分）（2） . OPXAB,且 PA= PB,. OA= OB, .A

8、OB是等腰三角形，OP是/AOB的平分線， 點(diǎn)P到x、y軸的距離相等；（1分）又.點(diǎn)P在第一象限，設(shè)點(diǎn) P （x, x） （x0）, 圓的半徑為2,，OP = J，=Z，解得x=或x=-膽（舍去），（2分） .P點(diǎn)坐標(biāo)是（心，也）.（1分）（3）存在；如圖設(shè) OAPQ為平行四邊形，PQ/OA, OQ/PA;ABXOP, . OQXOP, PQXOB, .zPOQ =90,.OP=OQ,. ZPOQ是等腰直角三角形，OB是/POQ的平分線且是邊 PQ上的中垂線,. zBOQ=/BOP=45 .zAOP=45 ,設(shè) P（x, x）、Q （-x, x） （x0）, （2 分）OP = 2代入得寸浮黃

9、,解得x = V2,Q點(diǎn)坐標(biāo)是（-譙,誼）；（1分）如圖示OPAQ為平行四邊形，同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo)是-m）.（ 1分）6、如圖1,在MBC中，/ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) AD ,以AD為一邊且在D的右側(cè)作正方 形ADEF,解答下列問題：（1）如果 AB = AC, /BAC=90 .當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2,線段CF, BD之間的位置關(guān)系為 ，數(shù)量關(guān)系為 ;當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 3,中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？（2）如果AB#AC, /BACW90。，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（如圖4）當(dāng)/ACB =時(shí)，CFLBC （點(diǎn)C, F 重合除外）？（3）

10、若AC = 4 V2, BC=3.在（2）的條件下，設(shè)正方形 ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P,求線段CP長(zhǎng) 的最大值.解：(1) CF，BD, CF=BD,理由如下：四邊形ADEF是正方形，.zDAF=90 ,AD=AF,AB = AC, ZBAC=90 , /BAD + ZDAC = ZCAF+ ZDAC = 90 , . zBAD=ZCAF,在ABAD和ACAF中，上隼驢點(diǎn)鯉, . ZBADzCAF (SAS),. CF= BD,. zB=ZACF,zB+ ZBCA= 90 ,zBCA+ZACF=90 ,即 CFXBD;故答案為：CF, BD, CF= BD;當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)

11、，的結(jié)論仍成立.如圖2,由正方形 ADEF得：AD = AF, ZDAF = 90.zBAC = 90 ,. zDAF = ZBAC. zDAB = ZFAC.y.AB= AC,. ZDABFAC (SAS). CF= BD, ZACF= /ABD.1 .zBAC = 90 ,AB=AC,2 .zABC = 45 ,3 .zACF=45 . .zBCF=/ACB+ZACF = 90 ,. CF BD;(2)當(dāng)/BCA=45 時(shí)，CFBD;理由如下：如圖3,過點(diǎn)A作AC的垂線與CB所在直線交于 G,.zACB=45 ,.AGC等腰直角三角形，. AG=AC, /AGC=/ACG=45 ,. AG

12、=AC, AD=AF,. zGAD=/GAC-/DAC = 90 - zDAC, ZFAC= ZFAD - ZDAC = 90 - zDAC ,. zGAD =ZFAC,. ZGADzCAF (SAS),.zACF=ZAGD = 45 ,.zGCF=/GCA+ZACF=90 ,. CF BC;故答案為：45 ;(3)過點(diǎn)A作AQ，BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q,如圖4所示：.DE與CF交于點(diǎn)P時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D位于線段CQ上,. zBCA = 45 ,AC = 4*,.ACQ是等腰直角三角形,. AQ=CQ=4.設(shè) CD = x,則 DQ = 4-x,./DB+ ZADE+ ZPDC=180且/ADE

13、= 90,zADQ + ZPDC=90 ,又.在直角4PCD 中，/PDC+/DPC=90 . zADQ =/DPC,. zAQD =/DCP= 90 .叢QDsRCP,座四口口空X 蔗F即至廠舌解得：CP= - 3，x=-告（x T ） 2+1 ./0x/5,當(dāng)t=2近時(shí)，N點(diǎn)在x軸下方，不符合題意，舍去,. M （- 2 近,或 +5 ）,N （-2或北）；當(dāng)OD為對(duì)角線時(shí)，則 MN垂直平分OD,，點(diǎn)M在直線y=2.5上，在y =-套x+5中，令y = 2.5可得x = 5, .M （5, 2.5）, M、N關(guān)于y軸對(duì)稱，N (5, 2.5),綜上可知存在滿足條件的點(diǎn) N,其坐標(biāo)為（4,

14、8）或（-5, 2.5）或（-2善，必）.【點(diǎn)評(píng)】 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、待定系數(shù)法、菱形的性質(zhì)、分類討論及方程思想.在（2）中求得E點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得M點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大.10、如圖1,已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為6, E是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn) C重合），以CE為邊在正方形 ABCD的右側(cè)作正方形 CEFG,連接BF、BD、FD.計(jì)算：（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，4BDF的面積為;當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)， BDF的面積為證明：（2）當(dāng)E是CD邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn) C重合）時(shí)，猜想 Szbdf與S正方形AB

15、CD之間的關(guān)系，并證明你的猜想；蕊運(yùn)用：（3）如圖2,設(shè)BF與CD相交于點(diǎn)H,若4DFH的面積為 三，求正方形 CEFG的邊長(zhǎng).解：計(jì)算：（1）二當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí),-.CE= CD = 6 ,四邊形ABCD,四邊形CEFG是正方形,. DF = CE= AD=AB=6,. SABDF=XDFXAB=18如圖，連接CF,D四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形；. zCBD = /GCF= 45 ,. BD/CF,S/BDF= S/BDC=斡5 正方形 ABCD = 77X36 = 18 ,故答案為：18, 18;、 1證明：（2） S用DF= KS正方形ABCD,理由：連接CF.四邊形AB

16、CD和四邊形CEFG均為正方形,. zCBD = ZGCF= 45BD/CF,9 一工.SABDF= S6DC=S 正萬形 ABCD運(yùn)用：（3）如圖2,：1 ；1且 SBDF= SBDH+ SDFH ,. Sbdf=歹S 正方形 abcd = X36 = 18 ,1 -SBDH _ 185 r 一 5 ,154.通XDH X6 = ,DH =；語36SABDH= 2 X XEF=-gT, .EF= 4.正方形CEFG的邊長(zhǎng)為4.11、已知如圖，點(diǎn) C、D 在線段 AF 上，AD = CD=CF, ZABC=ZDEF= 90 ,AB/EF.(1)若BC=2, AB = 2的求BD的長(zhǎng);(2)求證

17、：四邊形 BCED是平行四邊形.(1)解：/ABC=90 ,AC=4 c2+A82=Jz )澳/不憶2f,. AD= CD,-.BD = AC(2)證明：AD = CD = CF,. DF = AC = 2 J,.zDEF=90 ,CE=yDF = V?,. BD=CE,AB/EF,.zA=ZF,在AABC和AFED中，/NAB告我珈， 融期期. .小BCHED (AAS),. BC=ED,. BD=CE,四邊形BCED是平行四邊形.12、如圖，在矩形 ABCD中，M是BC上一點(diǎn)，EF垂直平分 AM ,分別交BC, AM , AD于點(diǎn)E, O, F,連接AE,MF .(1)求證：四邊形 AEMF是菱形；(2)若AB = 6 , H為AB的中點(diǎn)，連接 OH交AE于點(diǎn)P, OH + OA= 9,求OPE的周長(zhǎng).(1)證明：. EF垂直平分 AM ,. AE=EM, OA = OM .四邊形ABCD是矩形，. AD /BC.zAFO=ZMEO,在4OF 和AMOE 中，姿&即=/聊, 0A前如 .AO*JMOE (AAS). OF=OE. 四邊形AEMF是平行四邊形. .AE=EM. 四邊形AEMF是菱形；(2)解：:。、H分別為AM、AB的中點(diǎn)，. BM =2OH , AM =2OA, .AM+BM =2OA+2 OH = 18 .設(shè) BM=x,則 AM =18 x