高等數(shù)學(xué)1-初等函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、一、四則運(yùn)算的連續(xù)性一、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx(Operations of Continuous Function)二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理2 2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .例如例如,2,2sin上上單單

2、調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 xy.1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理 xyarctan ,cot,).yx yarcx 在在( (上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)若若證證,)(連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)auuf .)()(,0,0成成立立恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) afufau,)(lim0axxx 又又,0,0,00

3、時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)于于 xx.)(成成立立恒恒有有 auax將上兩步合起來將上兩步合起來:,0, 0, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 注：當(dāng)注：當(dāng) x時(shí)有類似的結(jié)論時(shí)有類似的結(jié)論.意義意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;.)(.2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 例例 Example 1Example 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解 0( )( )( )xxuaLim f xLi

4、m f uf a ( )u x 外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)的極限處連續(xù)，那么外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)的極限處連續(xù)，那么例例 Example 2Example 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx .)(,)(,)(,)(00000也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)而而函函數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意定理注意定理4 4是定理是定理3 3的特殊情況的特殊情況.

5、.例如例如,), 0()0,(1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 )1, 0(log aaxya對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在(Continuity of elementary function)定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaa

6、log ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間注意注意注意注意2. 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限

7、的方法-代入法代入法.在在x=0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.不連續(xù)不連續(xù)函數(shù)在這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義函數(shù)在這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義. 不連續(xù)不連續(xù)例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx四、小結(jié)四、小結(jié) Brief summary連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連

8、續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法求極限的又一種方法.兩個(gè)定理兩個(gè)定理; 兩點(diǎn)意義兩點(diǎn)意義.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性.思考題思考題 Consideration 設(shè)設(shè)xxfsgn)( ，21)(xxg ，試試研研究究復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xgf與與)(xfg的的連連續(xù)續(xù)性性.思考題解答思考題解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xfg0 x是它的可去間斷點(diǎn)是它的可去間斷點(diǎn). 0, 10, 00, 1)(xxx

9、xf一一、 填填空空題題：1 1、 43lim20 xxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 xxx11lim0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 xxx24tancos22lim _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .5 5、 tett1lim2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、設(shè)設(shè),0,0,)( xxaxexfx 當(dāng)當(dāng) a_ _ _ _ _ _時(shí)時(shí)，)(xf在在 ),( 上上連連續(xù)續(xù)

10、. .練練 習(xí)習(xí) 題題 Exercises 7 7、 函數(shù)函數(shù)61)(24 xxxxxf的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為 _. _.8 8、 設(shè)設(shè) 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1,11,2cos)(xxxxxf確定確定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 計(jì)算下列各極限：計(jì)算下列各極限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；三三、 設(shè)設(shè) 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已已知知)(xf在在 0 x處處連連續(xù)續(xù)，試試確確 定定a和和b的的值值. .四四、 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù)，且且0)0( f, ,已已知知)()(xfxg ， 試試證證函函數(shù)數(shù))(xg在在0 x處處也也連連續(xù)續(xù). .一一