高等數(shù)學(xué)D1對(duì)弧長(zhǎng)和曲線積分(2)ppt課件

1、第十章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 第十章 AB一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求極限

2、” kkkks),(可得nk 10limM為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: : 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 設(shè) 是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作szyxfd),(若通過(guò)對(duì) 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 2.定義定義是定),(zyxf以下“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對(duì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下

3、頁(yè) 返回 完畢 假如 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(假如 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 考慮考慮:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問(wèn)Ls(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù))szyxfd),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線弧 的長(zhǎng)度),(zyxgszyxfd),(sz

4、yxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),證證: :是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 , ,1kkktt點(diǎn)),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsy

5、xfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續(xù)注意)()(22tt設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為), 1 ,0(nktk對(duì)應(yīng)參數(shù)為 那么,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說(shuō)明說(shuō)明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 因而機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),

6、()(: rrL那么syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx那么szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例1. 計(jì)算計(jì)算,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1

7、 (B機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例2. 計(jì)算半徑為計(jì)算半徑為 R ,中心角為中心角為2的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I (設(shè)線密度 = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R那么 )(sincos:RyRxL機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例3. 計(jì)算計(jì)算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對(duì)稱性 , 得sxILd414022d)

8、()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例4. 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例5. 計(jì)算計(jì)算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對(duì)稱性可知由對(duì)稱性可知sx d2

9、szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 考慮考慮: 例例5中中 改為改為0)1()1(2222zyxazyx計(jì)算?d2sx解解: 令令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 那么sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圓的形心在原點(diǎn), 故0XaX22, 如何機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 d d s例例6. 計(jì)算計(jì)算,d)(222szyxI其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22

10、920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y那么機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例7. 有一半圓弧有一半圓弧cosRx ),0(其線密度 ,2解解: :cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力為),(yx,sinRy 求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. RkRkF2,4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)

11、性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長(zhǎng)度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 3. 計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr

12、)(),(ttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓134:22yxL周長(zhǎng)為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對(duì)稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為設(shè)其密度為 (常數(shù)常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐標(biāo)為),0,0(k作業(yè)作業(yè)P131 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xyo備用題備用題1. 設(shè)設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線是由極坐標(biāo)系下曲線, ar 0及4所圍區(qū)域的邊界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段積分分段積分xeIaxd0d4