一元二次方程的解法例析

1、一元二次方程的解法例析【要點(diǎn)綜述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在沒(méi)講一元二次方程的解法之前，先說(shuō)明一下它與一元一次方程區(qū)別。根據(jù)定義可知，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式為：。一元二次方程有三個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(3)是整式方程。因此判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，要先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理，如能整理為的形式，那么這個(gè)方程就是一元二次方程。下面再講一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通過(guò)“降次”，將它化為兩個(gè)一元

2、一次方程。一元二次方程的基本解法有四種：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法適合方程類型注意事項(xiàng)直接開平方法0時(shí)有解，0時(shí)無(wú)解。配方法二次項(xiàng)系數(shù)若不為1，必須先把系數(shù)化為1，再進(jìn)行配方。公式法0時(shí)，方程有解；0時(shí)，方程無(wú)解。先化為一般形式再用公式。因式分解法方程的一邊為0，另一邊分解成兩個(gè)一次因式的積。方程的一邊必須是0，另一邊可用任何方法分解因式?！九e例解析】例1：已知，解關(guān)于的方程。分析：注意滿足的的值將使原方程成為哪一類方程。解：由得：或， 當(dāng)時(shí)，原方程為，即，解得. 當(dāng)時(shí)，原方程為，即， 解得，.說(shuō)明：由本題可見(jiàn)，只有項(xiàng)系數(shù)不為0，且為最高次項(xiàng)時(shí)，方程

3、才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，題中對(duì)一元二次方程的描述是不完整的，應(yīng)該說(shuō)明最高次項(xiàng)系數(shù)不為0。通常用一般形式描述的一元二次方程更為簡(jiǎn)明，即形如的方程叫作關(guān)于的一元二次方程。若本題不給出條件，就必須在整理后對(duì)項(xiàng)的字母系數(shù)分情況進(jìn)行討論。例2 ：用開平方法解下面的一元二次方程。（1）； （2）（3）； （4）分析：直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如的方程，其解為。通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)第（1）、（2）兩小題中的方程顯然用直接開平方法好做；第（3）題因方程左邊可變?yōu)橥耆椒绞?，右邊?210，所以此方程也可用直接開平方法解；第（4）小題，方程左邊可利用

4、平方差公式，然后把常數(shù)移到右邊，即可利用直接開平方法進(jìn)行解答了。 解：（1）（注意不要丟解） 由得，由得，原方程的解為：， （2）由得，由得原方程的解為：，（3） ，原方程的解為：，（4），即，原方程的解為：，說(shuō)明：解一元二次方程時(shí)，通常先把方程化為一般式，但如果不要求化為一般式，像本題要求用開平方法直接求解，就不必化成一般式。用開平方法直接求解，應(yīng)注意方程兩邊同時(shí)開方時(shí)，只需在一邊取正負(fù)號(hào)，還應(yīng)注意不要丟解。例3 ：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，應(yīng)先將常數(shù)移到方程右邊，再將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，變?yōu)榈男问?。第?）題可變?yōu)?，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半

5、的平方，即：，方程左邊構(gòu)成一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)不小于0的常數(shù)，即：，接下去即可利用直接開平方法解答了。第（2）題在配方時(shí)應(yīng)特別注意在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方。解：（1）二次項(xiàng)系數(shù)化為1，移常數(shù)項(xiàng)得：，配方得：，即直接開平方得：，原方程的解為：，（2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1，移常數(shù)項(xiàng)得：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得： 即直接開平方得：，原方程的解為：，說(shuō)明：配方是一種基本的變形，解題中雖不常用，但作為一種基本方法要熟練掌握。配方時(shí)應(yīng)按下面的步驟進(jìn)行：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到一邊；再在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。最后變?yōu)橥耆椒绞嚼弥苯娱_平方法即可完成

6、解題任務(wù)。例4：用公式法解下列方程。（1）；（2）分析：用公式法就是指利用求根公式，使用時(shí)應(yīng)先把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式的值，當(dāng)0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意當(dāng)0時(shí)，方程無(wú)解。第（1）小題應(yīng)先移項(xiàng)化為一般式，再計(jì)算出判別式的值，判斷解的情況之后，方可確定是否可直接代入求根公式；第（2）小題為了避免分?jǐn)?shù)運(yùn)算的繁瑣，可變形為，求出判別式的值后，再確定是否可代入求根公式求解。 解：（1），化為一般式：求出判別式的值：0代入求根公式：， ，（2）化為一般式：求出判別式的值：0， 說(shuō)明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到簡(jiǎn)單方法時(shí)，即考慮化為一般形式后

7、使用公式法。但在應(yīng)用時(shí)要先明確公式中字母在題中所表示的量，再求出判別式的值，解得的根要進(jìn)行化簡(jiǎn)。例5：用分解因式法解下列方程。（1）；（2）分析：分解因式法是把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。第（1）題已經(jīng)是一般式，可直接對(duì)左邊分解因式；第（2）題必須先化簡(jiǎn)變?yōu)橐话闶胶笤龠M(jìn)行分解因式。解：（1）左邊分解成兩個(gè)因式的積得：于是可得：，（2）化簡(jiǎn)變?yōu)橐话闶降茫鹤筮叿纸獬蓛蓚€(gè)因式的積得：于是可得：，說(shuō)明：使用分解因式法時(shí)，方程的一邊一定要化為0，這樣才能達(dá)到降次的

8、目的。把方程一邊化為0，把另一邊分解因式的方法可以用于解今后遇到的各類方程。因?yàn)檫@是把方程降次的重要手段之一。從上述例題來(lái)看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方法主要為開平方法和使方程一邊為0，把方程另一邊分解因式，配方，或利用求根公式法。另外，在解一元二次方程時(shí)，要先觀察方程是否可以應(yīng)用開平方、分解因式等簡(jiǎn)單方法，找不到簡(jiǎn)單方法時(shí)，即考慮化為一般形式后使用公式法。 例6：選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?。?）； （2）（3）； （4）分析：第（1）題可變形為，而后利用直接開平方法較為簡(jiǎn)便；第（2）題移項(xiàng)后利用分解因式法較為簡(jiǎn)便；第（3）題化為一般式后可利用求根公式法解答；第（4

9、）題采取配方法較為簡(jiǎn)便。解：（1）整理得：直接開平方得：，（2）分解因式得：，（3）整理得：求出判別式的值：0，（4）配方得：直接開平方得：，總結(jié)：直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程，在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在使用公式前應(yīng)先計(jì)算出判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的重要的數(shù)學(xué)方法之一。最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫成一般式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。因此在解一元二次方程時(shí)，首先觀察是否可以應(yīng)用開平方、分解因式等簡(jiǎn)單方法，找不到簡(jiǎn)單方法時(shí)，即考慮化為一般形式后使用公式法。通常先把方程化為一般式，但如果不化為一般式就可以找到簡(jiǎn)便解法時(shí)就應(yīng)直接求解。 【附訓(xùn)練典題】 1、用直接開平方法解下列方程：（1）； （2）； （3）