一起學(xué)奧數(shù)盈虧問題（課堂PPT）

1、20161風(fēng)子整理2教育目標(biāo)教育目標(biāo)了解“贏”與“虧”的意義，及盈虧問題的特征學(xué)習(xí)邏輯推理能力，探索解決盈虧問題的方法體會(huì)數(shù)學(xué)問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用教育重點(diǎn)教育重點(diǎn)弄清楚“贏”與“虧”，與贏虧之間的差的關(guān)系教育難點(diǎn)教育難點(diǎn)用線段圖來(lái)思考盈虧之間的邏輯關(guān)系3概念 盈虧問題：顧名思義有剩余就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物盈虧問題：顧名思義有剩余就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物品時(shí)，經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生這種盈虧現(xiàn)象品時(shí)，經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生這種盈虧現(xiàn)象 盈虧問題的關(guān)鍵是抓住兩次分配時(shí)盈虧總量的變化。盈虧問題的關(guān)鍵是抓住兩次分配時(shí)盈虧總量的變化。分類直接計(jì)算型盈虧問題條件轉(zhuǎn)換型盈虧問題關(guān)系互換型盈虧問題4第一

2、課 基礎(chǔ)部分5例例1、幼兒園老師給小朋友分糖果，每個(gè)小朋友分、幼兒園老師給小朋友分糖果，每個(gè)小朋友分5顆糖果，就多出顆糖果，就多出22顆糖顆糖 果；每個(gè)小朋友分果；每個(gè)小朋友分7顆糖果，就少顆糖果，就少18顆糖果。有多少個(gè)小朋友和多少顆糖果。有多少個(gè)小朋友和多少 顆糖果？顆糖果？5 顆/人【分析】首先我們要弄清楚，變化的是什么，不變的是什么。這個(gè)問題變化的是每個(gè)人分到的糖，不變的是人數(shù)和糖的總數(shù)。22+18下面我們來(lái)分糖。先每人5顆，結(jié)果多了18顆糖。如圖22老師分好糖后，想把多于的糖也分給小朋友，決定每人又再分了7-5=2顆糖。這是老師發(fā)現(xiàn)有一部分小朋友沒有分到第二次的兩顆。于是又拿來(lái)一些，

3、又分了18顆糖。很顯然，第二次分了40顆糖，每人分2顆。所以，可以知道有幾個(gè)小朋友：（22+18）（7-5）=20+2可以找?guī)讉€(gè)小朋友實(shí)際試試。6例例2、一根繩子圍著大樹繞、一根繩子圍著大樹繞9圈剩圈剩4米，如果圍著大數(shù)繞米，如果圍著大數(shù)繞10圈又缺圈又缺1米，那么米，那么 繞繞8圈還剩多少米？圈還剩多少米？【分析】上面棕色線段表示正好可以繞大樹9圈，藍(lán)色線段表示繞完9圈后剩余的線段。后來(lái)想了想，估計(jì)還能繞，可是實(shí)際上差了一點(diǎn)。于是又拿來(lái)一根繩子，又用掉了1米。顯然，第二次繞的一圈，實(shí)際用掉繩子長(zhǎng)為：4+1=5米。 所以，繩子總的長(zhǎng)度為49米，繞8圈則剩下：49-85=9米也可以這樣計(jì)算繞8圈

4、后剩下的繩子：(9-8)（4+1）+4=97例例3、人民路小學(xué)三、四、五年級(jí)的同學(xué)乘汽車去春游，如果每車坐、人民路小學(xué)三、四、五年級(jí)的同學(xué)乘汽車去春游，如果每車坐45人，人， 有有10人不能坐車；如果每車多坐人不能坐車；如果每車多坐5人，又多出一輛車。一共有多少輛人，又多出一輛車。一共有多少輛 汽車？有多少名同學(xué)去春游？汽車？有多少名同學(xué)去春游？4510【分析】先按照每輛車坐45人，畫出示意圖。每格表示1輛車，車上有45人，最后多出10人。后來(lái)一輛車出了故障，不能去了。所以這輛車上的小朋友也不能坐車了。這時(shí)，不能坐車的小朋友有：45+10=55人。老師看了下其它車，每車還有5個(gè)空位，正好把這些

5、沒上車的小朋友裝下。這時(shí)帶小朋友去春游的車有：555=11輛總的車的數(shù)量，不要把沒裝人的那輛忘記：11+1=12學(xué)生的總數(shù)量是11輛車每車裝了50人：11(45+5）=550人8例例4、動(dòng)物園為猴山的猴買來(lái)桃，這些桃如果每只猴分、動(dòng)物園為猴山的猴買來(lái)桃，這些桃如果每只猴分5個(gè)，還剩個(gè)，還剩32個(gè)；如個(gè)；如 果其中果其中10只小猴每只分只小猴每只分4個(gè)，其余的猴每只分個(gè)，其余的猴每只分8個(gè)，就恰好分完。問：個(gè)，就恰好分完。問： 猴山有猴多少只？共買來(lái)多少個(gè)桃？猴山有猴多少只？共買來(lái)多少個(gè)桃？【分析】這里猴子的數(shù)量是不變的。按沒猴5只桃子，最后剩32只。1032后來(lái)覺得大小猴子應(yīng)該有區(qū)別。10只小

6、猴子給4個(gè)就夠了，于是各收回來(lái)一個(gè)。這樣多出來(lái)的桃子有32+10=42個(gè)了多出來(lái)的桃子給大猴子，使每只大猴子有8個(gè)桃子。也就是第二次每只大猴子又得到了3個(gè)桃子。所以，大猴子有：（32+10）（8-5）=14只所以，猴子數(shù)量為：14+10=24只 桃子的數(shù)量為：524+32=152個(gè)。9例例5、學(xué)校組織同學(xué)乘車去科技館參觀，原計(jì)劃每車坐、學(xué)校組織同學(xué)乘車去科技館參觀，原計(jì)劃每車坐30人，還剩下人，還剩下1人；人； 后來(lái)又臨時(shí)增加了后來(lái)又臨時(shí)增加了100人，汽車卻比原來(lái)少一輛；這樣每輛車要坐人，汽車卻比原來(lái)少一輛；這樣每輛車要坐36 人，還剩人，還剩5個(gè)人。原計(jì)劃乘坐幾輛車？原計(jì)劃去多少人？個(gè)人。

7、原計(jì)劃乘坐幾輛車？原計(jì)劃去多少人？【分析】這題我們不再畫圖，而是采用邏輯推理的過(guò)程來(lái)分析。首先，兩次車上的同學(xué)數(shù)量比較，后一次比前一次多100+1-5=96人車輛比原來(lái)少了一輛，則少的這輛車上的人，也被分配到了其它的車上。所以第二次被分配的人應(yīng)該是：96+30=126人第二次分配的方式是在每輛車上再乘6個(gè)人。即126按6人分組，能分幾組，而每組對(duì)應(yīng)一輛車。1266=21不要粗心，問題是原計(jì)劃乘坐的車輛數(shù)：21+1=22輛 原計(jì)劃去的人為：2230+1=661人10例例6、果樹專業(yè)隊(duì)上山植果樹，所需栽的蘋果樹苗是梨樹苗的、果樹專業(yè)隊(duì)上山植果樹，所需栽的蘋果樹苗是梨樹苗的2倍。如果梨倍。如果梨 樹

8、苗每人栽樹苗每人栽3棵，還余棵，還余2棵；蘋果樹苗每人栽棵；蘋果樹苗每人栽7棵，則少棵，則少6顆。問：果顆。問：果 樹專業(yè)隊(duì)上山植樹的有多少人？要栽多少顆蘋果樹和梨樹？樹專業(yè)隊(duì)上山植樹的有多少人？要栽多少顆蘋果樹和梨樹？【分析】這個(gè)題目需要關(guān)注的是蘋果樹苗與梨樹苗不是等值的，而是存在2倍關(guān)系。所以余下的2棵梨樹苗應(yīng)該折算成22=4棵蘋果樹苗。 在比較每人的樹苗時(shí)，也要考慮倍數(shù)關(guān)系。因?yàn)槿藛T是確定值，7=32+1，所以相比較梨樹苗，每人要多種一顆蘋果樹。而相對(duì)于梨樹苗數(shù)量，蘋果樹苗缺口是6+22=10所以，果樹專業(yè)隊(duì)上山植樹的人: （6+22）（7-32）=10人 要栽的蘋果樹苗有：107-6=

9、64棵 要栽的梨樹苗有： 103+2=32棵。11 第二講 提高篇121.直接計(jì)算型-盈虧問題關(guān)系式：人數(shù)或單位數(shù)=（贏數(shù)+虧數(shù)）兩次分配之差 一般情況下，兩次分配的結(jié)果，一次分配后有多，即“贏”；一次分配后不足，即“虧”。如基礎(chǔ)部分所講的案例，都是屬于這一類。 用下面線段來(lái)表示，藍(lán)菊相交點(diǎn)為分配平衡點(diǎn)，藍(lán)線為多余部分，虛線為不足部分。由于單位內(nèi)的數(shù)量不等，經(jīng)過(guò)單位數(shù)的累積，導(dǎo)致藍(lán)菊線的出現(xiàn)原因。贏數(shù)虧數(shù)131.直接計(jì)算型-盈盈問題關(guān)系式：人數(shù)或單位數(shù)=（贏數(shù)-贏數(shù)）兩次分配之差 有時(shí)，兩次分配的結(jié)果，都出現(xiàn)盈余的情況。 實(shí)質(zhì)上，這與盈虧問題沒有原則性的區(qū)別。盈虧問題中，兩者之間的差距部分進(jìn)行

10、了再分配。而盈盈問題也同樣是贏數(shù)1與贏數(shù)2之間的差距部分進(jìn)行再分配。贏數(shù)1贏數(shù)2141.直接計(jì)算型-盈盈問題例：老猴子給小猴子分桃。每只小猴分10個(gè)桃，就多出9個(gè)桃，每只小猴分11個(gè)桃則多出2個(gè)桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少只桃子？【分析】老侯子兩種方式分桃，單位數(shù)相差1個(gè)，而兩次多出來(lái)的桃子數(shù)相差7個(gè)。這是由于每只小猴子多分了1個(gè)桃子，導(dǎo)致了剩余的桃子家少了7個(gè)。 所以，小猴子有： (9-2)（11-10）=7只 桃子總數(shù)為：710+9=79個(gè)151.直接計(jì)算型虧虧問題關(guān)系式：人數(shù)或單位數(shù)=（虧數(shù)-虧數(shù)）兩次分配之差 有時(shí)，兩次分配的結(jié)果，都出現(xiàn)不足的情況。我們稱為虧虧問題。

11、實(shí)質(zhì)上，這也與盈虧問題沒有原則性的區(qū)別。盈虧問題中，兩者之間的差距部分進(jìn)行了再分配。而虧虧問題也同樣是虧數(shù)1與虧數(shù)2之間的差距部分進(jìn)行再分配。161.直接計(jì)算型虧虧問題例：學(xué)校新進(jìn)了一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差2本，請(qǐng)問有多少老師？多少本書？【分析】老師的人數(shù)是不變的。所以第一次與第二次相比，不夠的數(shù)減少了7本，這是由于每個(gè)人少發(fā)了一本導(dǎo)致的結(jié)果。 所以，老師的人數(shù)為： （9-2）（10-9）=7人 書的數(shù)量為：710-9=61本172.條件轉(zhuǎn)換型贏虧問題例：軍隊(duì)分配宿舍，如果每間住3人，則多出20人；如果每間住6人，余下2人可以每人各住一個(gè)房間，現(xiàn)

12、在每間住10人，可以空出多少個(gè)房間？【分析】所謂條件轉(zhuǎn)換型，即把題目中給定的條件轉(zhuǎn)換為直接可用的條件。本題“每間住6人，余下2人可以每人住一個(gè)房間”說(shuō)明少了10個(gè)人。所以，房間數(shù)為：(26-2+20)(6-3)=10間 總?cè)藬?shù)為：310+20=50人那么，每間住10，所需房間為：5010=5間 空房間為：10-5=5間。183.關(guān)系互換型關(guān)系互換型贏虧問題例：幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果分給大班的小朋友每人3個(gè)則余10個(gè)蘋果；如果分給小班的小朋友每人6個(gè)則缺2個(gè)蘋果。已知大班比小班多5個(gè)小朋友，問這筐蘋果共有多少個(gè)？【分析】直接計(jì)算的盈虧問題所參與的對(duì)象是同一個(gè)，而關(guān)系互換型中，前后兩次參

13、與的對(duì)象并不是同一個(gè)，但它們之間存在著轉(zhuǎn)換關(guān)系。題目中，分別分給了大班和小班，而大班和小班的人數(shù)是存在數(shù)量上的關(guān)系的。即題目條件“分給大班每人3個(gè)余10個(gè)”，可轉(zhuǎn)化為“分給小班每人5個(gè)余53+10=25”，兩者存在可比效應(yīng)。所以，盈虧總數(shù)為：25+2=27 小班小朋友為： 27（6-3）=9 蘋果數(shù)量為：96-2=5219例、三年級(jí)給學(xué)生發(fā)糖果，如果每個(gè)學(xué)生發(fā)5個(gè)還剩32個(gè)；如果其中10個(gè)學(xué)生每人4個(gè)，其余每人8個(gè)，就恰好發(fā)完。那么學(xué)生有幾人？糖果有多少個(gè)？【分析】首先分析，兩個(gè)方案發(fā)糖的參與對(duì)象是不變的。但條件有所變化，因此要做條件轉(zhuǎn)移?？梢园训诙€(gè)方案轉(zhuǎn)為為：每個(gè)學(xué)生發(fā)8顆，則少40個(gè)糖果。這樣，兩次的盈虧值為：32+40=72學(xué)生數(shù)為：72（8-5）=24人糖果數(shù)量為：245+32=152個(gè)20小白兔和小灰兔各有若干只。如果5只小白兔和3只小灰兔放到一個(gè)籠子中，小白兔還多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一個(gè)籠子中，小白兔放完，小灰兔還多12只。問小白兔和小灰兔共有多少只。523nm412【分析】按題目給出的信息，畫出上圖。根據(jù)圖示，我們得到一個(gè)問題：原來(lái)小灰兔正好裝下，后來(lái)為什么多出12只。因?yàn)樾』彝每倲?shù)沒變，那只有一個(gè)可能，籠子減少了。減少的籠子數(shù)量是：