勾股定理知識點與常見題型總結(jié)

1、勾股定理知識點與常見題型總 結(jié)作者：日期:勾股定理復(fù)習一.知識歸納1.勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a, b,斜邊為c,那么a2 b2 c2勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理.我國古代把直角三角形中較短 的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.早在三千多年前周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了勾三,股四,弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 2 .勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過

2、割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法': 4s SO形EFGH S正方形ABCD,4 ab (b a) c ,化簡可證.2方法四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S 41ab c2 2ab c22大正方形面積為 S (a b)2 a2 2ab b2所以a2 b2 c2方法三：S弟形1(a b) (a2b), S弟形2S adecc 1，S ABE 2 ab21 2 , - 一2 c2化簡得證2AabE ab C3 .勾股定理的適用范圍勾

3、股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征 ，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形4 .勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在 ABC 中， C 90 ,則 c Ja2 b2 , b Jc2 a2 , a 4c b2知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運用勾股定理解決一些實際問題5 .勾股定理的逆定理如果三角形三邊長 a,b,c滿足a2 b2 c2,那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確

4、定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2 b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時，以a,b, c為三邊的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2,時，以a ,b , c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2 b2 c2,時，以a, b, c為三邊的三角形是銳角三角形；定理中a,b, c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長 a,b, c滿足 222a cb,那么以a,b, c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形6 .勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形

5、的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2 b2 c2中，a, b, c為正整數(shù)時，稱a,b, c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5; 6,8,10;5,12,13; 7,24,25等用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：22n 1,2n,n1 （n 2, n 為正整數(shù)）；222n 1,2n2n,2n 2n 1 （ n 為正整數(shù)）2222m n ,2 mn, m n （m n, m , n 為正整數(shù)）7.勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題.在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角

6、邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解.8.勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論.9 .勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體.通常既要通過逆 定理判定一個三角形是直角三角形 ，又要用勾股定理求出邊的長度 ，二者相輔相成，完成對問題的解決 常見圖形：題型一：直接考查勾

7、股定理例 1.在 ABC 中，C 90 .已知 AC 6, BC 8.求AB的長已知 AB 17, AC 15,求BC的長分析:直接應(yīng)用勾股定理 a2 b2 c2解: ab Jac2 bc2 10 BC AB2 AC2 8題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例2.在 ABC 中，ACB 90 ,AB 5 cm , BC 3 cm , CD AB 于 D , CD =已知直角三角形的兩直角邊長之比為3:4 ,斜邊長為15,則這個三角形的面積為已知直角三角形的周長為 30 cm ,斜邊長為13 cm ,則這個三角形的面積為 分析:在解直角三角形時，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.

8、有時可根據(jù)勾 股定理列方程求解解： AC TAB_Bo7 4 , CD AC BC 2 4AB設(shè)兩直角邊的長分別為 3k,4k(3k)2 (4k)2 152, k 3, S 54設(shè)兩直角邊分別為a , b,則ab 17, a2 b2289,可得 ab 60 S1-ab 3022 cm12,CD 1.5,BD 2.5，求AC的長例3.如圖ABC 中， C 90 ,分析:此題將勾股定理與全等三角形的知識結(jié)合起來 解：作DE AB于E ,12 , C 90DE CD 1.5在BDE中2 222, BED 90 ,BE . BD DE11 八Rt AED90Rt ACDiAC AE 在Rt ABC中,

9、22AB ACBC22(AE EB)一 22AC 4 AC例4 .如圖Rt ABC ，C 90 AC3,BC 4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積答案：6 題型三：實際問題中應(yīng)用勾股定理例5.如圖有兩棵樹，一棵高8 cm,另一棵高2 cm,兩樹相距8 cm,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了分析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，如圖AB8 m ,CD 2 m , BC 8 m，過點D作DE AB ,垂足為 E ,則AE 6 m , DE 8 m在Rt ADE中，由勾股定理得 AD AEE2 DE2 10答案:10 m題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個三角形是否是直角三角形 例6 .已知三角形的三邊長為 a,b, c,判定 ABC是否為Rt a 15 b 2, c 2.5 a 5 , b 1,c -43屈刀 小3222222斛：.a b 1.5 2 6.25 ,c 2.5 6.25ABC是直角三角形且C 90“b2 c2 ,a2 竺，b2 c2 a2ABC不是直角三角形.916例7.三邊長為a,b,c滿足a b 10, ab 18,c 8的三角形是什么形狀? 解：此三角形是直角三角形理由：；a2 b2 (a b)2 2ab 64 ,且 c2 64222 一一 .一a b c所以此三角形是直角三角形題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用AC例8