微積分學(xué)基本定理

1、5 微積分學(xué)基本定理 一、變限積分與原函數(shù)的存在性 本節(jié)將介紹微積分學(xué)基本定理, 并用以證明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性. 在此基礎(chǔ)上又可導(dǎo)出定積分的換元積分法與分部積分法. 三、泰勒公式的積分型余項(xiàng) 二、換元積分法與分部積分法一、變限積分與原函數(shù)的存在性,fa, bxa,bfa, x設(shè)在上可積,則在上設(shè)在上可積,則在上 類(lèi)似稱(chēng)類(lèi)似稱(chēng)( )( )dbxxf tt 為為變下限變下限的定積分的定積分.( )( )d , ,xaxf ttxa b 為為變上限變上限的定積分的定積分。.可可積積稱(chēng)稱(chēng)注注：變限積分的本質(zhì)是函數(shù)變限積分的本質(zhì)是函數(shù)。定理定理9.9 ( 變上限定積分的變上限定積分的連續(xù)性連續(xù)性

2、),fa,b若在上可積若在上可積( )( )d ,xaxf tta b 則在則在,bax 證證,baxx 若若則則.上連續(xù)上連續(xù)( )d( )dxxxaaf ttf tt .d)(xxxttf ,fa, b因在上有界因在上有界,|( )|, , .Mf txa b故故 于是于是|( )d| |,xxxf ttx 從從而而由由 x 的任意性的任意性, , f 在在 a, b 上上連續(xù)連續(xù). .0lim 0.x 定理定理9.10（微積分學(xué)基本定理（微積分學(xué)基本定理) )可微性可微性若若 f 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), ,( )( )d , xaxf tta b 則則在在上處處可導(dǎo)上處處可導(dǎo),

3、,且且d( )( )d( ), , .dxaxf ttf xxa bx 證證 ,0, ,xa bxxxa b 當(dāng)當(dāng)且且時(shí)時(shí)1( )dxxxf ttxx ),(xxf 01. 由于由于 f 在在 x 處連續(xù)，因此處連續(xù)，因此0( )lim( )( ).xxf xxf x注注1 本定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分這兩個(gè)表面上似本定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分這兩個(gè)表面上似續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)”這個(gè)重要結(jié)論這個(gè)重要結(jié)論. .乎不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系乎不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系, , 也證明了也證明了“連連注注2 由于由于 f 的任意兩個(gè)原函數(shù)只能相差一個(gè)常數(shù)的任意兩個(gè)原函數(shù)只能相差一個(gè)常數(shù),( )

4、( )d.xaF xf ttC( );xaF aCxb用代入,得再用代入,則得用代入,得再用代入,則得( )d( )( ).baf ttF bF a所以當(dāng)所以當(dāng) f 為連續(xù)函數(shù)時(shí)為連續(xù)函數(shù)時(shí), 它的任一原函數(shù)它的任一原函數(shù) F 必為必為解解: :Ex1Ex120arcta.nxdt dt求求22200arctanarctanarctanxxdt dtt dtdxx dxEx2Ex222ln(1).xxtdt求求的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解: :22ln(1)xxtdt2222ln1() ()ln1() ()xxxx412 ln(1)ln(1)2xxxx解解: :Ex3Ex32200coslimsinxxt

5、 dtxx求求222200200coscoslimlim(sin)sinxxxxt dtt dtxxxxx04002 coslim12xxxx證證: :Ex4Ex42( )()( ),xaxxtf t dt設(shè)設(shè)22( )(2) ( )xaxxxttf t dt證明：證明：( )2() ( ),xaxxt f t dt22( )2( )( )xxxaaaxf t dtxtf t dtt f t dt22( )2( )( )2( )( )( )xaxaxxf t dtx f xtf t dtx xf xx f x2( )( )2( )( )xxxxaaaaxf t dttf t dtxf t dt

6、tf t dt2( )( )2() ( )xxaaxf ttf tdtxt f t dt證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。Ex6 求函數(shù)求函數(shù)20( )1xtf xetdt解解: :2( )1 ,xfxexf(x)在在(-(-,+ )上連續(xù)，可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為上連續(xù)

7、，可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為故在故在(-，1) 上上f(x)0，故，故f(x) ;在在(1，+) 上上f(x)0，故，故f(x) .Ex7Ex7 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：這是分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則. .證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf, 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 令令求求f(x).Ex

8、9Ex9設(shè)設(shè)f(x)不是常數(shù)，且不是常數(shù)，且20( )1( )xf xtf t dt解解: :2 ( )( )1( )f x fxxf x上式兩邊關(guān)于上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得因因f(x)不恒為不恒為0，故，故1( )1 ,2fxx211( )(1)1(1)24f xxdxxC020(0)(1) ( )0(0)0ftf t dtf從而從而14C 又又代入代入(1)(1)式，求得式，求得于是于是22112( )1444xxf xx解解: :20( )ln(1),tg tudu設(shè)設(shè)則則0( )( ).xf xg t dt20( )( )ln(1)xfxg xudu2( )( )ln(1),fx

9、g xx所以所以(1)ln 2f 求求f”(1).Ex10Ex10 設(shè)設(shè)200( )ln(1),xtf xudu dt 又而又而故故定理定理9.11( (積分第二中值定理積分第二中值定理) ) 設(shè)設(shè) f 在在a, b上可積上可積. .(i) 若函數(shù)若函數(shù) g 在在 a, b 上單調(diào)減上單調(diào)減, ,且且, 0)( xg則存則存 ,a b 在使在使.d)()(d)()( abaxxfagxxgxf(ii) 若函數(shù)若函數(shù) g 在在 a, b 上單調(diào)增上單調(diào)增, , 且且, 0)( xg則存則存 ,a b 在在使使( ) ( )d( )( )d .bbaf x g xxg bf xx 證證 這里只證這

10、里只證 (i), 類(lèi)似可證類(lèi)似可證 (ii). 證明分以下五步證明分以下五步: :(1) 對(duì)任意分割對(duì)任意分割 T：,10bxxxan ( ) ( )dbaIf x g xx11( ) ( )diinxxif x g xx111( ) ( )()diinxixif xg xg xx.21II 111()( )diinxixig xf xx(2)|( )|, , ,f xL xa b故故因因1111|( )( )()diinxixiIf xg xg xx111|( )| | ( )()|diinxixif xg xg xx 1.ngiiiLx 01,:,ngT axxxb因可積 故使因可積 故使

11、1ngiiixL 1|.I 2111()()()niiiiIg xF xF x010()()()g xF xF x)()()(11 nnnxFxFxg(3)( )( )d ,xaF xf tt設(shè)設(shè)則則101() ()()F xg xg x)()()()()(1121 nnnnnxgxFxgxgxF. )()()()()(1111niniiixgbFxgxgxF11,()0,()()0.niigg xg xg x由對(duì)的假設(shè)記由對(duì)的假設(shè)記( , )min ( ) ,xa bmF x( , )max ( ) ,xa bMF x12111 ()()()( ),niiniIMg xg xMg xMg a

12、則則12111 ()()()( ),niiniImg xg xmg xmg a).()(2aMgIamg 于是于是(4) 綜合綜合 (2), (3), 得到得到12( )( ).mg aIIMg a0,( )( ).mg aIMg a 令便得令便得(5)( )0,( ) ( )d0,bag aIf x g xx若則此時(shí)任取若則此時(shí)任取 ,a b 滿足滿足( ) ( )d( )( )d .baaf x g xxg af xx ( )0,g a若則若則.)(MagIm( )( )dxaF xf tt由由( )( )d,( )aIFf ttg a 使使存在存在,ba 的連續(xù)性,的連續(xù)性,( ) (

13、)d( )( )d .baaf x g xxg af xx 即即 , ,a b 則存在使則存在使( ) ( )d( )( )d( )( )d .bbaaf x g xxg af xxg bf xx 推論推論( ) , ( ) , f xa bg xa b設(shè)在上可積,在上單調(diào),設(shè)在上可積,在上單調(diào),證證 若若 g 為單調(diào)遞減函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，( )( )( ),h xg xg b令令則則 h 非負(fù)、單調(diào)減非負(fù)、單調(diào)減, ,由定理由定理 9.11(i)， ,a b 使使( ) ( )d( )( )dbaaf x h xxh af xx ( )( )( )d .ag ag bf xx 因此因此(

14、 ) ( )d( )( )dbbaaf x g xxg bf xx ( )( )( )d ,ag ag bf xx 即得即得( ) ( )dbaf x g xx( )( )d( )( )d( )( )dbaaag af xxg bf xxg bf xx( )( )d( )( )d .bag af xxg bf xx 二、 換元積分法與分部積分法( ),( ),( ), ,ab atb t 則則( )d( ( )( )d .baf xxfttt ( ( )( )d( ( )( )( )d .bbaaftttFtF xf xx 證證( )( ) , F xf xa b設(shè)設(shè)是是在在上上的的一一個(gè)個(gè)原

15、原函函數(shù)數(shù), ,則則( ) ,t 連續(xù),在上連續(xù)可微,且連續(xù),在上連續(xù)可微,且定理定理9.12（定積分換元積分法）（定積分換元積分法）( ) , f xa b若在上若在上的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù). . 因此因此( ( )( ( )( )Ftftt是是注注 與不定積分不同之處與不定積分不同之處: : 定積分換元后不一定要定積分換元后不一定要例例1202d.1x xx求求解解21222222 1 20020d1d(1)12(1)22(1)1x xxxxx. 15 （不變?cè)ú蛔冊(cè)? ,不變限）不變限）元積分法時(shí)，引入了新變量，此時(shí)須改變積分限元積分法時(shí)，引入了新變量，此時(shí)須改變積分限. .保留原積

16、分變量，因此不必改變積分限保留原積分變量，因此不必改變積分限; ;用第二換用第二換用用原變量代回原變量代回. .一般說(shuō)來(lái)，用第一換元積分法時(shí)，一般說(shuō)來(lái)，用第一換元積分法時(shí)，例例2402d .21xxx求求解解2121, dd ,22ttxxxt t x設(shè)設(shè)則則23;01,43.2txtxt時(shí)時(shí)于是時(shí)時(shí)于是4320121d(3)d221xxttx3311(3 )23tt1271(9)(3)233.322（變?cè)ㄗ冊(cè)? ,變限）變限）例例3350sinsind .xx x求求解解350sinsindxx x320sin|cos|dxxx3322202sincos dsin( cos )dxx xx

17、xx3322202sind(sin )sind(sin )xxxx552220222sinsin55xx224().555 （必須注意偶次根式的非負(fù)性）（必須注意偶次根式的非負(fù)性）例例4120ln(1)d .1xxx求求解解2dtan ,d.1xxttx設(shè)設(shè)則則, 00 xt時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1,00tan1,44txtt時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,于于是是14200ln(1)dln(1tan )d1xxttx40cossinlndcostttt402cos()4lndcosttt444000ln2dlncos()dlncos d .4ttttt,dd ,4utut 設(shè)設(shè)則則0,4tu時(shí)時(shí)4t 時(shí)時(shí)0404l

18、ncos()dlncos ( d )4ttuu40lncos d .u u 因此因此, ,14200ln(1)dln2d1xxtxln2.8 0,u于是于是 Ex112204x dx求求解解: :2sin ,xt設(shè)設(shè)2222200042cos2cos4cosx dxttdttdt22002(1cos2 )(2sin2 )t dtttEx12ln201xedx求求解解: :1,xte設(shè)設(shè)則則222ln(1),1txtdxdttln211220002112111xtedxtdtdttt102arctan2(1)4tt證證00( )( )( ),aaaaf x dxf x dxf x dx0000(

19、 )()()()aaaaf x dxft dtft dtfx dx 而而02( ),( )( )0,( )aaaf x dxf xf x dxf x若偶若奇()( ),fxf x00( )()( )aaaaf x dxfx dxf x dx02( );af x dx()( ),fxf x 00( )()( )0aaaaf x dxfx dxf x dxEx144342212222sincos,(sincos),1xIxdxIxx dxx設(shè)設(shè)4422202cos2cos0Ixdxxdx32232(sincos ),Ixxx dx比較比較I1，I2，I3的大小。的大小。解解: :43322sinc

20、os, sin,sin1xxxxxx注意注意是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，0 ,24cos,cosxx是偶函數(shù)，且在是偶函數(shù)，且在上上cosx0,因此因此I1=0，2302cos0Ixdx 所以所以I3I1I2。奇函數(shù)奇函數(shù)Ex15 Ex15 計(jì)算計(jì)算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積1)( )( );b Tba Taf x dxf x dx函數(shù)，證明：函數(shù)，證明：( )()( )( )b

21、Tbbba Taaaf x dxf uT duf u duf x dx()( )f uTf u證證: :,xuT1) 1) 作換元作換元且由于且由于可得可得由由1)1)知知,2)2)所以所以Ex16(,) 設(shè)設(shè)f(x)在在上連續(xù)，且是周期為上連續(xù)，且是周期為T(mén)的周期的周期02)( )( ).a TTaf x dxf x dx00( )( )( )( )a TTa TaaTf x dxf x dxf x dxf x dx00( )( )( )a TaTaf x dxf x dxf x dx 000( )( )( )( )a TTaaaf x dxf x dxf x dxf x dx0( )Tf

22、x dx2200sincos;nnxdxxdx證明：證明：0202sinsin ()2nnxdxt dt sin()cos2tt證證: :,2xt令令利用公式利用公式可得可得Ex172200coscosnntdtxdxEx18證證（1）設(shè)設(shè)2xt,dxdt 20(sin )fx dx20sin2ftdt 20(cos )ft dt20(cos );fx dx（2）設(shè)設(shè)0() (sin )t ft dtxt,dxdt 0(sin )xfx dx0() sin()t ft dt 0(sin )ft dt0(sin )tft dt0(sin )fx dx0(sin )xfx dx00(sin )(s

23、in ).2xfx dxfx dx20sin1 cosxxdxx20sin21 cosxdxx201(cos )21 cosdxx 0arctan(cos )2x 2.4()244 積分的分部積分公式：積分的分部積分公式：( ) ( )d( ) ( )( ) ( )d .bbbaaau x v xxu x v xu x v xx證證 因?yàn)橐驗(yàn)?uv 是是vuvu 在在 a, b 上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù), ,( ( ) ( ) dbau x v xx( ) ( ).bau x v x 移項(xiàng)后則得移項(xiàng)后則得所以所以( ) ( )d( ) ( )dbbaau x v xxu x v xx( )

24、 ( )d( ) ( )( ) ( )d .bbbaaau x v xxu x v xu x v xx定理定理9.13（定積分分部積分法）（定積分分部積分法）若若 u( (x),),v( (x) )為為 a, b 上的連續(xù)可微函數(shù)上的連續(xù)可微函數(shù), ,則有定則有定例例5120arcsind .x x求求解解2darcsin ,d, dd ,1xux vxuvxx設(shè)則設(shè)則 111 2220002darcsindarcsin1x xxxxxx112222011(1)d(1)262xx 1 220112x31.122例例620sind .nx x求求解解20sindnnJx x1222200sinc

25、os(1)sincosdnnxxnxxx 22200(1)sind(1)sindnnnx xnx x.)1()1(2nnJnJn于是于是21,2 .nnnJJnn 200d,2Jx210sin d1,Jx x221231(21)!,22222(2)!2mmmmJmmm 212222(2)!1,21213(21)!mmmmJmmm 1, 2,.m 其中其中解解: :000( )( )( )f x dxxf xxdf x0( )( )fxfx dx由于由于sinsin( )0,( )txfdtfxtx故有故有00sin( )0 xf x dxxdxxEx19sin( ),xtf xdtt設(shè)設(shè)求求

26、0( ).f x dx0cos2x 0sin xdx Ex20Ex20 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因?yàn)橐驗(yàn)閠tsin沒(méi)有初等形式的原函數(shù)，沒(méi)有初等形式的原函數(shù)，無(wú)法直接求出無(wú)法直接求出)(xf，所以采用分部積分法，所以采用分部積分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102

27、cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf若若 u(x), ,v(x) 在在 a, b 上有上有 (n+1) 階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)階連續(xù)導(dǎo)函數(shù), ,則則(1)( )( )dbnau x vxx( )(1)( )( )( )( )nnu x vxu x vx1(1)( 1)( ) ( )d .bnnaux v xx 三、泰勒公式的積分型余項(xiàng)由此可得以下帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式由此可得以下帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式. .( )( 1)( ) ( ) bnnaux v x ( )( )( ),nnf xP xRx0(1)1( )( )() d .!xnnnxRxftxttn00(),( )() ,( )( ),nxU xu txtv tf ttx證證 設(shè)在設(shè)在階連續(xù)導(dǎo)數(shù)階連續(xù)導(dǎo)數(shù), , 則則( )( ),nPxf xn為為的的階階泰泰勒勒多多項(xiàng)項(xiàng)式式 余余項(xiàng)項(xiàng)為為其中其中,x與之間與之間則則定理定理9.1400( )()1f xxU xn 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有設(shè)在的某鄰域內(nèi)有.d)(!1)(0)1(xxnnnttxtfnxR其中其中注注 由推廣的積分第一中值定理由推廣的積分第一中值定理, ,可得拉格朗日型可得拉格朗日型000!( )!()()()n f xnf xfxxx ( )00()() !( ),!nnnfxxxn Rxn