流體力學第三章

1、第三章 理想流體動力學基本方程n理想流體： 不計粘性切應力的運動流體n一元流動： 流動參數(shù)主要跟一個座標方向 有關(guān)的流動n本章討論理想流體的基本方程及 在一元流動中的基本應用n 流體動力學是研究流體在運動中其流動參量之間的相互關(guān)系，以及引起運動的原因和流體對周圍固體物體的影響。n 流動參量：壓力 密度 表面張力 速度 應力 作用力 粘度 力矩 動量 能量流體運動學n 研究方法：從理想流體出發(fā)，推導其基本理論，再根據(jù)實際流體的條件對其應用加以修正。n 流場：流體占據(jù)的全部空間范圍。經(jīng)過管道或明渠的流場叫“管道流場”或“徑流流場”；繞過物體的流場叫“繞流流場” 流體運動學 連續(xù)介質(zhì)模型的引入，使我

2、們可以把流體看作為由無數(shù)個流體質(zhì)點所組成的連續(xù)介質(zhì)，并且無間隙地充滿它所占據(jù)的空間。我們把流體質(zhì)點運動的全部空間稱為流場流場。 由于流體是連續(xù)介質(zhì)，所以描述流體運動的各物理量(如速度、加速度等)均應是空間點的坐標和時間的連續(xù)函數(shù)。根據(jù)著眼點的不同，流體力學中研究流體的運動有兩種不同的方法，一種是拉格朗日拉格朗日（Lagrange）方法）方法，另一種是歐拉（歐拉（Euler）方法）方法。 3-1 描述流體運動的兩種方法n拉格朗日方法又稱隨體法，是從分析流場中個別流體質(zhì)點流體質(zhì)點著手來研究整個流體運動的。n這種研究方法，最基本以研究個別流體質(zhì)點的運動為基礎(chǔ)；研究每個流體質(zhì)點的運動情況，并給出其運動

3、軌跡。tzwtyvtxu,222222,tzatyatxazyx 設某質(zhì)點的軌跡為：x=x(t), y=y(t), z=z(t)速度：加速度：在理論力學中應用：n拉格朗日法：流場有無數(shù)個質(zhì)點，設其中某一質(zhì)點t=0時的位置為（a,b,c），稱為拉格朗日變數(shù)拉格朗日變數(shù)，它不是空間坐標的函數(shù)，而是流體質(zhì)點標號。將座標原點建在該質(zhì)點，則對于任意的流體質(zhì)點在t時刻：ttcbazwttcbayvttcbaxu),(,),(,),(222222),(,),(,),(ttcbazattcbayattcbaxazyx 軌跡：x=x (a, b, c, t), y=y (a, b, c, t), z=z (a,

4、 b, c, t)速度：加速度：拉格朗日法歐拉法n歐拉法，又稱局部法，是從分析流場中每一個固定空間點上的流體質(zhì)點的運動著手，來研究整個流體的運動，即研究流體質(zhì)點在通過某一空間點時流動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。所以流體質(zhì)點的流動是空間點坐標（x，y，z）和時間t的函數(shù)，n歐拉法：在固定的座標系中，研究空間某個點的流動參數(shù)（速度、壓力、密度），并給出這些參數(shù)與空間點和時間的分布：速度：u=u (x, y, z, t)， v=v (x, y, z, t)， w=w (x, y, z, t)壓力：p=p (x, y, z, t) 密度：=(x, y, z, t)歐拉法 速度分布n設某個質(zhì)點，t 時刻位于（

5、x, y, z），速度為：),(0tzyxV),(1ttzzyyxxVzzVyyVxxVttVVV01t+t 時刻位于(x+x, y+y, z+z, t+t),速度為：V0和V1的關(guān)系為l加速度（質(zhì)點導數(shù)）tVVlima)ot(01zzVyyVxxVttVVV01wtzvtyutxttt000lim,lim,limVVtVzVwyVvxVutVdtVda)(而注意到因此右邊第一項為當?shù)丶铀俣犬數(shù)丶铀俣龋址Q當?shù)貙?shù)、時變加速度時變加速度或局部局部加速度加速度，后三項為遷移加速度遷移加速度，又稱遷移導數(shù)、對流加速度對流加速度。n 當?shù)丶铀俣仁怯捎谀骋豢臻g點上的流體質(zhì)點的速度隨時間的變化而產(chǎn)生的n

6、 遷移加速度是某一瞬時流體質(zhì)點的速度隨空間點的變化而產(chǎn)生的。n 當?shù)丶铀俣群瓦w移加速度之和稱為總加速度總加速度。 兩個加速度的物理意義： 如圖3-1所示，不可壓縮流體流過一個中間有收縮形的變截面管道，截面2比截面1小，則截面2的速度就要比截面1的速度大。所以當流體質(zhì)點從1點流到2點時，由于截面的收縮引起速度的增加，從而產(chǎn)生了遷移加速度，如果在某一段時間內(nèi)流進管道的流體輸入量有變化（增加或減少），則管道中每一點上流體質(zhì)點的速度將相應發(fā)生變化（增大或減少），從而產(chǎn)生了當?shù)丶铀俣?。圖 3-1 中間有收縮形的變截面管道內(nèi)的流動 流體質(zhì)點和空間點是兩個截然不同的概念，n 空間點指固定在流場中的一些點n

7、流體質(zhì)點不斷流過空間點n 空間點上的速度指流體質(zhì)點正好流過此空間點時的速度。加速度的投影值：kajaiaazyxzuwyuvxuutuaxzvwyvvxvutvayzwwywvxwutwaz 定常流與非定常流 概念： 定常流動： 非定常流動 一元流動 二元流動（平面流動） 三元流動（空間流動）0t 例題jyxixyV)(2122)(21)(212222yxxxyxyxyyuvxuutuax)(21)()(21)(02222xyyyyxxxyyvvxvutvay)(21,22yxvxyu即 拉格朗日法可以描述流場中各個質(zhì)點的運動軌跡和軌跡上運動參量的變化，但是流體具有易流動性，對每一個質(zhì)點的跟蹤

8、十分困難。 歐拉法給出不同時刻流場中各個空間點的流動參量的分布，通過連續(xù)函數(shù)的理論對流場進行分析和計算；不注重各個質(zhì)點的運動軌跡。歐拉法與拉格朗日法比較 由上述可知，采用歐拉法描述流體的流動，常常比采用拉格朗日法優(yōu)越，其原因有三。n利用歐拉法得到的是場場，便于采用場論這一數(shù)學工具來研究。n采用歐拉法，加速度是一階導數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導數(shù)，所得的運動微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。n在工程實際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點的來龍去脈。 基于上述三點原因，歐拉法在流體力學研究中廣泛被采用。當然拉格朗日法在研究爆炸現(xiàn)象以及計算流體力學的

9、某些問題中還是方便的。 歐拉法與拉格朗日法比較3-2 跡線、流線與流管跡線、流線與流管1、跡線和流線跡線跡線：空間某一流體質(zhì)點的運動軌跡線 例如在流動的水面上撒一片木屑，木屑隨水流漂流的途徑就是某一水點的運動軌跡，也就是跡線。 流場中所有的流體質(zhì)點都有自己的跡線，跡線是流體運動的一種幾何表示，可以用它來直觀形象地分析流體的運動，清楚地看出質(zhì)點的運動情況。 跡線的研究是屬于拉格朗日法的內(nèi)容，跡線表示同一流體質(zhì)點在不同時刻所形成的曲線。煙火跡線彗星跡線 流線流線:在固定時刻t, 設流動空間中有某曲線, 該曲線上每 一點的切線都與該點的流體速度方向相同, 則稱此 曲線稱為流線。例如在流動水面上同時撤

10、一大片木屑，這時可看到這些木屑將連成若干條曲線，每一條曲線表示在同一瞬時各水點的流動方向線就是流線。 流線可以形象地給出流場的流動狀態(tài)。通過流線，可以清楚地看出某時刻流場中各點的速度方向，由流線的密集程度，也可以判定出速度的大小。 流線的引入是歐拉法的研究特點。 在運動流體的整個空間，可繪出一系列的流線，稱為流流線簇線簇。流線簇構(gòu)成的流線圖稱為流譜流譜。鈍體后流線圖鈍體后流線圖 汽車外部空氣流線汽車外部空氣流線u流線的性質(zhì)流線的性質(zhì):1. 流線簇的疏密程度反映了該時刻流場中各點速度的變化，流線密集的地方流動速度較大，流線稀疏的地方速度較小。 2. 對于定常流，流線的形狀和位置不隨時間而變化。

11、3. 定常流時，流線和跡線重合。 4. 流線不能相交，不能折轉(zhuǎn)，只能是一條光滑曲線。 n圖示為t 時刻經(jīng)過點0的流線,以及t 時刻經(jīng)過點0的跡線.對定常流動，跡線和流線重合。 跡線和流線的區(qū)別： 跡線是流體質(zhì)點在t0t時間段的運動軌跡，是實在的；流線是某一時刻流場中連續(xù)質(zhì)點運動的方向和速度大小的假象線。 跡線隨質(zhì)點而變，一個質(zhì)點對應一條跡線；流線隨時間而變與質(zhì)點無關(guān)。 跡線可以相交，而流線不能相交。對于定常流跡線與流線重合。 跡線方程跡線方程n質(zhì)點速度：dtdzwdtdyvdtdxu 故dtwdzdtvdydtudx 或?qū)懗桑篸twdzvdyudx 稱為跡線方程。流線方程n設流線微段為:kwj

12、 viuVkdzjdyidxsdwdzvdyudx該點的流體速度為:因為, 平行于 ，兩矢量的分量對應成比例:sdV稱為流線方程。* 思考：和跡線方程的比較？例3-1 n 已知u=-(y+t2)，v=x+t, w=02)4(xdyydx2211(2)(4)22zcxyc，求t=2，經(jīng)過點（0，0）的流線解: t=2時，u=(y+4)，v=x+2，w=0流線方程 d z =0流線過點（0，0） c=10流線方程為 (x+2)2+(y+4)2=20特例分析：特例分析：對一平面不可壓非定常流，速度分布為u=xt，v=-yt，分別求其流線和跡線方程。流線微分方程：dxdyuv0dxdyxtyt代入u，

13、v分布積分，得1xyC當x=x0，y=y0時，可得C1=x0y0，所以過空間固定點（x0，y0）的流線方程為00 xyyx由此可見，對于非定常流，流線的形狀和位置也可能不隨時對于非定常流，流線的形狀和位置也可能不隨時間而變化間而變化。跡線方程為dxdydtuv代入u，v分布，得00dxdxdtxtxtdtdydydtytytdt積分，得221exp21exp2xAtyBt設t=t0時，x=x0，y=y0，可求得積分常數(shù)A，B，由以上兩式消去參數(shù)t，即可得過點（x0，y0）的跡線方程為00 xyyx由此可見，對本例中的非定常流，不同時刻過空間固定點對本例中的非定常流，不同時刻過空間固定點（X0，

14、y0）的流線與跡線是重合的）的流線與跡線是重合的。原因分析：原因分析：用表示空間點（x0，y0）處流體速度與x軸的夾角，則01100000,tgtg,vtyyxutyxx由此可見，雖然流速u，v既是空間坐標的函數(shù)，也是時間的函數(shù)，但速度的方向卻只是空間坐標的函數(shù)，這就速度的方向卻只是空間坐標的函數(shù)，這就導致了其流線與跡線有與定常流相似的性質(zhì)導致了其流線與跡線有與定常流相似的性質(zhì)。流管和流束的概念流管流管:在一條封閉曲線上的每一點作流線,這些流線所 圍成的管狀面稱為流管.流束流束:流管內(nèi)的運動流體稱為流束.流管表面的流體速度與管表面相切，因此，沒有流體質(zhì)點會穿過流管表面?？偭骺偭?工程上把由無數(shù)

15、微小流束組成的流動稱為總流。n體積流量體積流量：單位時間內(nèi)，流過某一曲面的流體體積稱為該曲面的體積流量。AndAQAnmdAQn質(zhì)量流量質(zhì)量流量：單位時間內(nèi)，流過某一曲面的流體質(zhì)量稱為該曲面的質(zhì)量流量。流量n要計算總流的流量總流的流量，可以在總流中取一個橫截面，則此橫截面上的流量就是總流的流量。過流斷面 在流管內(nèi)任取一微元面dA，過其上的每一點作流線，叫微元流束，如果dA與微元流束的每一根流線都正交，則dA叫做有效流通截面有效流通截面（過流斷面過流斷面、有效截面有效截面）。有效截面有效截面實際計算中，常采用過流斷面來計算總流流量AdAQAmdAQn平均流速平均流速： 流量與過流斷面的面積之比。

16、 平均流速是一個假想的流速，即假定在有效截面上各點都以相同的平均流速流過，這時通過該有效截面上的體積流量仍與各點以真實流速流動時所得到的體積流量相同。 將流動簡化為一元時，可以簡化工程實際問題，其前提是流動截面上的流速是均勻的。QVA 根據(jù)流場中同一條流線各空間點上的流速是否相同，可將總流分為均勻流和非均勻流。若同一條流線各空間點若同一條流線各空間點上的流速相同則稱為均勻流，否則稱為非均勻流上的流速相同則稱為均勻流，否則稱為非均勻流。 由此定義可知在均勻流中，流線是彼此平行的直線，過流斷面（有效截面）是平面。如在等直徑的直管道內(nèi)的水流都是均勻流(圖3-9)。注意在均勻流中各流線上的流速大小不定

17、彼此相等在非均勻流中，流線或者是不平行的直線，或者是曲線，如圖3-10所示。一般非均勻流的過流斷面（有效截面）是曲面。圖 3-9 均勻流圖 3-10 非均勻流非均勻流按流速的大小和方向沿流線變化的緩、急程度又可分為緩（漸）變流和急變流兩種（圖3-11）。n流速的大小和方向沿流線逐漸改變的非均勻流，稱為緩（漸）變流。顯然，緩（漸）變流的流線的曲率半徑r較大，流線之間的夾角較小。因此，緩（漸）變流是一種流線幾乎平行又近似直線的流動，其極限情況就是均勻流。緩（漸）變流的有效截面可看作平面，但是緩（漸）變流各個過水斷面的形狀和大小是沿程逐漸改變的，各個過水斷面上的流速分布圖形也是沿程逐漸改變的。n流速

18、的大小和方向沿流線急劇變化的非均勻流，稱為急變流。急變流流線之間的夾角較大，或者流線曲率半徑較小，或者兩者兼而有之。急變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流急變流急變流急變流急變流圖 3-11 緩變流和急變流習題n3-2n3-33-3 連續(xù)性方程n系統(tǒng)和控制體的概念系統(tǒng)系統(tǒng)：固定的流體質(zhì)點的集合。 系統(tǒng)的位置，形狀及邊界可以隨時間而變化，但系統(tǒng)包含 的流體質(zhì)量不變。系統(tǒng)的流體質(zhì)量為：)()()(tdttM00t)t (M)tt (MlimdtdMt 質(zhì)量守恒:系統(tǒng)的質(zhì)量在任何時刻都相等：控制體的概念控制體控制體是指一個空間固定體（或區(qū)域）?？刂企w既不運動也不變形，控制體表面可以有流體出入。流體系統(tǒng)

19、，控制體及兩者的區(qū)別流體系統(tǒng)，控制體及兩者的區(qū)別圖中，控制體的邊界（控制面）A是流體系統(tǒng)在時刻t的邊界，t+t時刻，系統(tǒng)運動到新的邊界A（t+t），而控制體保持不變。 連續(xù)性方程連續(xù)性方程如圖所示，從時刻t到t+t，系統(tǒng)內(nèi)流體質(zhì)量的變化可以表示為)t (M)tt (M)tt ()t (d)t (d)tt ()()()()(ttdtdtt)()()()(tdttdttt而：tdAvttdttAn)()(vn是系統(tǒng)表面的法向速度。AndAvdtddtd該式對于一般物理量（如動量，能量）也成立： 根據(jù)質(zhì)量守恒，可得：0AndAvdt稱為積分形式的連續(xù)性方程。其物理意義是，控制體內(nèi)單位時間內(nèi)由于密度變

20、化引起的質(zhì)量增加量與單位時間內(nèi)經(jīng)過控制體表面流出的質(zhì)量之和等于零。（雷諾輸運定理雷諾輸運定理）由此可得dAvdtddtddtdMAn特例0AndAv定常流動:固定邊界區(qū)域流動：1V1A1=2V2A2 不可壓: V1A1=V2A2式中：A1、A2為過流斷面的面積， V1、V2為平均流速。 微分形式連續(xù)性方程微分形式連續(xù)性方程dydzdxxuudxx)2)(2(dydzdxxuudxx)2)(2(左側(cè)面流入質(zhì)量: 右側(cè)面流出質(zhì)量:2dxx2dxx2dyx2dyxyyyy如圖所示，取一邊長為dx，dy，dz的控制體，在時刻t，中心點流體密度為，速度分量為u，v，w。dydzdxxuudxx)2)(2

21、(dydzdxxuudxx)2)(2(dxdydzxu)(則x方向純流出的質(zhì)量為: 同理, y方向純流出的質(zhì)量為:dxdydzyv)(密度變化引起控制體內(nèi)質(zhì)量的減少: z方向純流出的質(zhì)量為:dxdydzyw)(dxdydzt即0)()()(zwyvxut 或 于是，dxdydzzwdxdydzyvdxdydzxudxdydzt)()()(0)(Vt這就是微分形式的連續(xù)性方程微分形式的連續(xù)性方程。微分形式連續(xù)性方程n定常流動:0)()()(zwyxu0zwyxu=常數(shù)時（不可壓流動）：或0 V附：附：極（柱）坐標方程極（柱）坐標方程n極坐標和直角坐標的速度分量的關(guān)系cossin,sincosvu

22、vvuvr0)()(1rrurtrcossin,sincosvvvvvurr 極坐標形式的連續(xù)性方程：習題n3-5n3-7n3-93-4 理想流體動量方程和運動方程根據(jù)牛頓第二定律 ，流體的動量定理可以表示為dVdFdt 對于理想流體，作用在控制體上的外力只有質(zhì)量力和壓力，利用雷諾輸運定理，可以將上式寫為nAAVdVv dAfdpndAt 這就是積分形式的理想流體動量方程。()dmVFdt 在流動的理想流體中，取出一個微元平行六面體的微團，它的各邊長度分別為dx、dy和dz，如圖3-15所示。對于理想流體，沒有粘性，作用在流體微團上的外力只有質(zhì)量力和壓強。該壓強與靜壓強一樣，垂直向內(nèi)，作用在流

23、體微團的表面上。假設六面體形心的坐標為x、y、z，壓強為p，密度為。nx方向 m ax=Fxdxdydzxpdxdydzfdydzdxxppdydzdxxppdxdydzfdxdydzaxxx )2()2(xpfaxx1即zpfaypfazzyy11同理amF由牛頓第二定律：或?qū)懗桑簒pfzuwyuvxuutux1或：ypfzvwyvvxvutvy1zpfzwwywvxwutwz1pfVVtV)(稱為：理想流體運動微分方程理想流體運動微分方程* 對于靜止流體，u=v=w=0，則由該式可以得出靜止流體的 歐拉平衡微分方程。 理想流體的運動微分方程只有在少數(shù)特殊情況下才能求解。在下列幾個假定條件下

24、： (1)不可壓縮理想流體的定常流動； (2)沿同一微元流束（也就是沿流線）積分； (3)質(zhì)量力只有重力。 即可求得理想流體微元流束的伯努利方程。3-5 伯努利方程 (Bernoulli equation,1738)因此理想流體的運動微分方程可寫成zwwywvxwuzpfzvwyvvxvuypfzuwyuvxuuxpfzyx1111) 理想流體定常流動：0twtvtu分別以dx、dy、dz乘三個方向的運動方程(1) 1dxxpdxfdxzuwdxyuvdxxuux(2) 1dyxpdyfdyzvwdyyvvdyxvuy(3) 1dzxpdzfdzzwwdzywvdzxwuz)2(2vdvdvd

25、yzvwdyyvvdyxvu同理有)2(2wdwdwdzzwwdzywvdzxwu)2( 2udududzzuudyyuudxxuudxzuwdxyuvdxxuu因此：2) 流線方程：wdzvdyudxudzwdxudyvdx (1) 1dxxpdxfdxzuwdxyuvdxxuux將(1)、(2)、(3)式相加：(4) )2()222(2222Vdwvud左邊(5) )(1)(dzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyx右邊因為：(6) )(1dpdzzpdyypdxxp(7) gdzddzfdyfdxfzyx3) 重力場中：由(4)(5)(6)(7)式，得： 0) 2Vd(gdzdp2

26、此即微分形式的伯努利方程4) 對不可壓流體，為常數(shù)，積分上式： 常數(shù) 2Vgzp2即理想流體伯努利方程伯努利方程積分式。伯努利方程的物理意義 常數(shù) 2gVgpz2nz表示單位重量流體所具有的位勢能；np/(g)表示單位重量流體的壓強勢能；nV2/(2g)表示單位重量流體具有的動能。n位勢能、壓強勢能和動能之和稱為機械能。n伯努利方程可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流伯努利方程可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線（或微元流束）上各點的單位重量流體所具有動時，沿同一流線（或微元流束）上各點的單位重量流體所具有的位勢能、壓強勢能和動能之和保持不變，即機械能是一常

27、數(shù)，的位勢能、壓強勢能和動能之和保持不變，即機械能是一常數(shù)，但位勢能、壓強勢能和動能三種能量之間可以相互轉(zhuǎn)換。但位勢能、壓強勢能和動能三種能量之間可以相互轉(zhuǎn)換。n伯努利方程是能量守恒定律能量守恒定律在流體力學中的一種特殊表現(xiàn)形式。理想流體伯努利方程三種形式1) 能量形式constVpgz22單位：J/kgconstVpgz222) 壓頭（壓強）形式單位：PaconstgVgpz223) 水頭形式單位：mH2O伯努利方程的物理意義n能量意義：J/kg 單位：常數(shù) 2Vgzp2沿流線，(壓力能勢能動能)守恒Pa 單位：常數(shù) 2Vgzp2沿流線，(靜壓位壓動壓=總壓)守恒n幾何意義：OmH 2單位：

28、常數(shù) 2gVzgp2沿流線, (壓力水頭位置水頭速度水頭)總水頭, 即：沿流線總水頭守恒幾何意義圖幾何意義圖 p/(g)表示單位重量流體的壓強水頭， Z表示單位重量流體的位置水頭， V2/(2g)表示所研究流體由于具有速度V，在無阻力的情況下，單位重量流體所能垂直上升的最大高度，稱之為速度水頭。n位置水頭、壓強水頭和速度水頭之和稱為總水頭。由于它們都表示某一高度，所以可用幾何圖形表示它們之間的關(guān)系，如圖3-16所示。n因此伯努利方程也可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線(或微元流束)上各點的單位重量流體所具有的壓強水頭、位置水頭和速度水頭之和保持不變，即總水頭是一常數(shù)

29、。OmH 2單位：常數(shù) 2gVzgp2圖 3-16 總水頭線和靜水頭線伯努利方程應用1、靜壓管、總壓管測速度hggppgu22101P0=Pa+g(h+x) （總壓）P1=Pa+g x （靜壓）20112ppuggg2、畢托管(Pitot Tube)測流速gugpzgugpz2221112000gppguuzz1010102, 0,用于測點速度.沿流線伯努利方程3-6 壓強沿流線法向的變化n設流線某處的曲率半徑為r ，法向運動方程為rpfarr12ruar 向心加速度)(2pgzrrucosrzfggr , 0)(,pgzrr時當pzg即沿流線法向常數(shù)（適用于緩變流）3-7 總流的伯努利方程n

30、 總流：全部流束的總體 研究總流在截面11和22的部份，取某一流束，速度和截面積為u1, dA1和u2，dA2。gugpzgugpz2222222111伯努利方程不可壓縮連續(xù)方程 u1dA1=u2dA2 或 dQ1=dQ2222222112111)2()2(21dAugugpzdAugugpzAA作積分n設兩截面處在緩變流中，在1 1 和 2 2 截 面 上 ，z+p/g=常數(shù),則AQgpzdQgpz)()(22 22AuVQudAV AVggA令為 截面平均速度31()AudAAV動能 通為量稱修正系數(shù)對圓管層流，=2；工程上的管流一般為湍流湍流，1222222121111)2()2(QgV

31、gpzQgVgpzgVgpzgVgpzQQ22222222111121z, p 通常在截面中心取值，對管流，可在軸線上取值?？偭鞑匠痰膽脳l件：1. 流動定常。2. 理想流體。3. 不可壓縮流體。4. 只在重力場中。5. 兩截面處在緩變流，但兩截面之間可以出現(xiàn)急變流。對若干支總流的分支或匯合gz+V2/2+p=gz1+1V12/2+p1 gz+V2/2+p=gz2+2V22/2+p2 1、小孔定常出流gVgpzgpzaa2211101011,zzh取12Vgh平均流速對00和11：該式稱為托里拆利定理/公式（1628年）。3-8 總流伯努利方程應用2、文丘里流量計(Venturi Met

32、er)n對截面1和2，總流伯努利方程gVgpzgVgpz222222221111211221221,()V AV AV VAAd D取 =11221242()1 ()ppgVzzdgD 如果用水銀壓差計測壓差則有p1+g(x+h)=p2+g(z2-z1+x)+ghhzzgpp) 1/(,21214,222)/(1) 1/(24DdhgdVAQ為流量系數(shù)，一般=0.950.98。3、煙囪排煙原理n對截面1和2，總流伯努利方程gVgpzgVgpz2222222211112112212211()V AV AV VAAd D取，22111221242()1 ()ppgVzzdgD2211設煙囪周圍大氣

33、壓為 Pa1，Pa2則煙囪正常排煙時，HgPPaaa12HZZ12)VV(gH)(PPaa22211121 稱為煙囪的自然抽力，通常為負值，說明煙囪底部是負壓。并且只有流體的密度小于空氣的密度時才能自然排出。可見，H越大時，煙囪的自然抽力也越大。但22aPP 總流伯努利方程的推廣n1、風機n2、水泵n3、渦輪機)Vpgz(P)Vpgz(2222222111其中，P為風機的靜壓頭，Pa)gVgpz(H)gVgpz(2222222111其中，H為水泵的揚程，mH2ON)Vpgz()Vpgz(2222222111其中，N為渦輪機的輸出功，J/kgn伯努利方程應用時特別注意的幾個問題伯努利方程應用時特

34、別注意的幾個問題 伯努利方程是流體力學的基本方程之一，與連續(xù)性方程和流體靜力學方程聯(lián)立，可以全面地解決一維流動的流速解決一維流動的流速(或流量或流量)和壓強的計算問題和壓強的計算問題，用這些方程求解一維流動問題時，應注意下面幾點： (1) 弄清題意弄清題意，看清已知什么，求解什么，是簡單的流動問題，還是既有流動問題又有流體靜力學問題。 (2) 選好有效截面選好有效截面，選擇合適的有效截面，應包括問題中所求的參數(shù)，同時使已知參數(shù)盡可能多。通常對于從大容器流出，流入大氣或者從一個大容器流入另一個大容器，有效截面通常選在大容器的自由液面或者大氣出口截面，因為該有效截面的壓強為大氣壓強，對于大容器自由

35、液面，速度可以視為零來處理. (3) 選好基準面選好基準面，基準面原則上可以選在任何位置，但選擇得當，可使解題大大簡化，通常選在管軸線的水平面或自由液面，要注意的是，基準面必須選為水平面。 (4) 求解流量時，一般要結(jié)合一維流動的連續(xù)性方程求解結(jié)合一維流動的連續(xù)性方程求解。伯努利方程的p1和p2應為同一度量單位，同為絕對壓強或者同為相對壓強，p1和p2的問題與靜力學中的處理完全相同。 (5) 有效截面上的參數(shù)有效截面上的參數(shù)，如速度、位置高度和壓強應為同一應為同一點的點的，絕對不許在式中取有效截面上點的壓強，又取同一有效截面上另一點的速度。 例3-2. 有一貯水裝置如圖所示，貯水池足夠大，當閥

36、門關(guān)閉時，壓強計讀數(shù)為2.8個大氣壓強。而當將閥門全開，水從管中流出時，壓強計讀數(shù)是0.6個大氣壓強，試求當水管直徑d=12cm時，通過出口的體積流量(不計流動損失)。 aaappgHp8 . 2O)(mH289806980608 . 28 . 22gpHa20.60.6 9806022 9.8062.820.78 m/s9806apVg Hg22320.785 0.1220.780.235/sm4Vqd V所以管內(nèi)流量代入到式（1）則【解解】 當閥門全開時列1-l、2-2截面的伯努利方程gVgppgpHaaa26 . 00022當閥門關(guān)閉時，根據(jù)壓強計的讀數(shù)，應用流體靜力學基本方程求出值（1

37、） 例例3-3. 水流通過如圖所示管路流入大氣，已知：形測壓管中水銀柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計管中水頭損失，試求管中流量qv。 【解解】 首先計算1-1斷面管路中心的壓強。因為A-B為等壓面，列等壓面方程得：Hg111Hg1g hpghpg hgh ，則Hg12113.6 0.20.722 mOHphhg 列1-1和2-2斷面的伯努利方程gVgpzgVgpz2222222111由連續(xù)性方程：21221ddVV將已知數(shù)據(jù)代入式（1），得（1）22222119.6 7 16202150,12.1 m/s16 2215VVVg

38、g 管中流量223220.0512.10.024/sm44Vqd Vn采用動坐標，離心慣性力屬質(zhì)量力spfass12()2sduduaudsds沿動坐標的一條流線S，運動方程為加速度:n質(zhì)量力有重力和慣性力dsdrrdsdzgrgfs22coscos3-9葉輪機械的伯努利方程0)22(222rupgzdsdgugpz2H 2令總水頭2gRRHH2122212)( 則表示：出口水頭入口水頭轉(zhuǎn)動動能的變化量（做功） 積分得2222221212121022ppRRuuzzggg該式即為葉輪機械內(nèi)理想流體定常流動的伯努利方程。n設流體沿通道的相對運動速度為ur，牽連速度為uc=r，絕對速度V是牽連速度

39、及相對速度之和:crVuu 速度三角形速度三角形cos2222ccruVuVucos2222crcruuuuV且有:cossinVuVtgc23-10 非定常流動的伯努利方程n非定常一元流動的運動方程：1ssuupzuffgtsss ， 式中022)upgz(stu2102)(21211212ssuuppzzgdstu或沿流線從1到2點積分s1s2流線s 例 旁管非定常流出流2102)(21221212ssuuppzzgdstu022ughldtdu即n容器的旁管打開瞬間，出流速度從零開始增加。n容器內(nèi)速度視為零，水深 h 可視常數(shù)utdtlughdu00212tan h22()2ghught

40、l當t時，2ugh（定常解）例: U形管中的液體振蕩初始時，液面在虛線上振蕩時，左液面向下位移x，右液面向上位移x。設液柱之長為l，運動方程可寫為0)sin()sin(xgxgdtdul2102)(21221212ssuuppzzgdstu2(sinsin),dxgudtl令2220d xxdt得0sinxtx例 習題3-21n水庫的出水管設有調(diào)壓井, 已知 l,d,h,D,求調(diào)壓井水面的震蕩周期.n解:4422DVdu0202VgydtdVhdtdul2102)(21221212ssuuppzzgdstu02)(222VgydtdVdDlh2222,2dDlhgdtdyVV令且忽略0222y

41、dtyd0sinyty其解為2T習題n3-10n3-12n3-14n3-17n求解物體所受流體的作用力（或力矩）n利用流體運動微分方程： 根據(jù)邊界條件求出速度與壓強分布（求解困難）n利用動量方程和動量矩方程求解 不需要了解流動的細節(jié)，僅根據(jù)邊界上的流動狀況就可以求解。3-11 動量方程與動量矩方程xpfaxx1即n質(zhì)點動量方程:FVmdtd)(FdVdtdAAndAnpdfdAVdtV)(n 系統(tǒng)的動量方程：n 對于控制體，不計粘性力影響,則有動量方程動量方程n總流的動量方程：AAndAnpd fdAV1212AAFdQVdQV2()11()AAuudQdAQ VAV動量 通量 修正系數(shù)稱為對

42、于定常流動：物理意義：流出控制體的動量等于作用在控制體上的外力和流出控制體的動量等于作用在控制體上的外力和?？偭鞯膭恿糠匠膛c動量矩方程FQVQV流入流出總流的動量方程)()( : :()()VrQVrQrF流出流入總流的動量矩方程n對圓管層流，=4/3，n工程上的管流為湍流，1.021.05 1 注意事項1. 動量方程和動量矩方程是矢量式，為便于計算，應選擇一個合適的坐標系，求出各項在坐標軸上的投影值。2. 選擇一個合適的控制體。3. 方程的未知數(shù)較多，要與連續(xù)性方程和伯努利方程聯(lián)合才能求解。應用1水流對彎管的作用力n分析管壁受力0)(00dAnppFAa則dAnppFAa00)(即設：為固定

43、彎管所需外力為FFAnppAnppdAnppdAnppdAnppaaAAaAaa222111)()()()()(102()aAAFpndApp ndA 1112222211()()aaFFpp n App n AQVQV n分析控制體內(nèi)水的受力（不計重力）121取，投影式為222()sinsinyaFpp AQV112221()()cos(cos)xaaFpp App AQ VV注意：控制面上的壓強一律采用表壓強！例:求固定彎管所需外力n已知:Q=0.08m3/s，d1=0.3m，d2=0.2m， =30，p1-pa=12kN/m2，求F x ,F y.gVgpgVgp22222211解: V1=