高等數(shù)學(xué)11.6二重積分的計(jì)算ppt課件

1、高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)主講人主講人 宋從芝宋從芝河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院11.6 11.6 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算假設(shè)積分區(qū)域假設(shè)積分區(qū)域D D為：為：, bxa 12( )( ).xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上延續(xù)上延續(xù). .)(1x )(2x ,ba一、在直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、在直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分1.x1.x型區(qū)域型區(qū)域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 曲頂柱體體積的計(jì)算曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱體的底為設(shè)曲頂柱體的底為x型區(qū)域：型區(qū)域：12( )( )axbxyx 任取任取, ,0bax 平面平面x21( )( )(

2、 )( , )dxxA xf x yy 截面積為截面積為截柱體的截柱體的2( )yx )(1xyzxyoabxD),( yxfz曲頂柱體體積的計(jì)算曲頂柱體體積的計(jì)算故曲頂柱體體積為故曲頂柱體體積為( , )d dDVf x y x y baA x dx badx 21( )( )( , )xxf x y dy 21( )( )( , )dxxf x y y dbax 21( )( )( , )( , ).dycyDf x y ddyf x y dx 假設(shè)積分區(qū)域假設(shè)積分區(qū)域D D為：為：,dyc 2( )xy 1( )xy Dcdcd2( )xy 1( )xy D2. y型區(qū)域型區(qū)域12( )

3、( )yxy 在直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分：在直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分：且在且在 D 上延續(xù)時(shí)上延續(xù)時(shí) ( , )f x y當(dāng)當(dāng)被被積積函函數(shù)數(shù)12( )( )axbxyx 21( )( )( , )dxxf x yy dbax 1. 假設(shè)假設(shè)D為為 x 型區(qū)域型區(qū)域 )(1xy)(2xyxboyDax2. 假設(shè)假設(shè)D為為y型區(qū)域型區(qū)域12( )( )cydyxy y)(1yx)(2yxxdocy21( )( )( , )dyyf x yx ddcy ( , )dDf x y ( , )dDf x y 計(jì)算二重積分的步驟：計(jì)算二重積分的步驟：1. 畫(huà)出積分區(qū)域畫(huà)出積分區(qū)域 D 2.根據(jù)根據(jù)D的特點(diǎn)，選擇

4、積分次序的特點(diǎn)，選擇積分次序3.4.假設(shè)假設(shè)D為為x 型區(qū)域型區(qū)域 假設(shè)假設(shè)D為為y型區(qū)域型區(qū)域先對(duì)先對(duì)y積分，后對(duì)積分，后對(duì)x積分積分先對(duì)先對(duì)x積分，后對(duì)積分，后對(duì)y積分積分計(jì)算二重積分的根本思想，計(jì)算二重積分的根本思想， 將其化成兩次定積分。將其化成兩次定積分。12( )( )axbxyx 12( )( )cydyxy 1.假設(shè)積分區(qū)域既是假設(shè)積分區(qū)域既是x型區(qū)域又是型區(qū)域又是y型區(qū)域型區(qū)域 , 為計(jì)算方便為計(jì)算方便,可選擇積分序可選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序必要時(shí)還可以交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc那么那么有有x)(1xyyyyxfxxd),()()(

5、21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd闡明闡明: :( , )dDf x y 2. 假設(shè)積分域較復(fù)雜假設(shè)積分域較復(fù)雜,可將它分成假設(shè)干可將它分成假設(shè)干x型區(qū)域或型區(qū)域或y型區(qū)域型區(qū)域 , 123DDDD 那么那么 闡明闡明: :oxy1D2D3D例例1 1計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分(2 )d ,Dxy 0,1,12xxyy 和和其中其中 D 是由直線是由直線圍成的矩形區(qū)域。圍成的矩形區(qū)域。二、例題二、例題 首先畫(huà)出積分區(qū)域首先畫(huà)出積分區(qū)域D D。解解1 1xyO2D11將將D D表示成表示成x x型區(qū)域型區(qū)域0112xy (2 )dDxy 12012dxxy dy 21201xyy

6、dx 103xdx 12032xx 72 例例1 1計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分(2 )d ,Dxy 0,1,12xxyy 和和其中其中 D 是由直線是由直線圍成的矩形區(qū)域。圍成的矩形區(qū)域。首先畫(huà)出積分區(qū)域首先畫(huà)出積分區(qū)域D D。解解2 2xyO2D11將將D D表示成表示成y y型區(qū)域型區(qū)域1201yx (2 )dDxy 21102dyxy dx 1221022xxydy 21122y dy 2212yy72 例例2 2計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分22()d ,Dxy 21,0 xyyx 和和拋拋物物線線其中其中 D 是由直線是由直線圍成的區(qū)域。圍成的區(qū)域。首先畫(huà)出積分區(qū)域首先畫(huà)出積分區(qū)域D D。解

7、解將將D D表示成表示成x x型區(qū)域型區(qū)域2010 xyx ， 22Dxy d 212200 xdxxydy 2312003xyx ydx 61403xxdx 1570521xx 26105 xyOD1y=x2x例例3 3計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分d ,Dxy 2yx 和和直直線線其中其中 D 是由拋物線是由拋物線圍成的區(qū)域。圍成的區(qū)域。2yx 解解 求交點(diǎn)求交點(diǎn), ,解方程組解方程組:DDxy22 xy214oyxy22yxy21y為計(jì)算簡(jiǎn)便為計(jì)算簡(jiǎn)便, 先對(duì)先對(duì) x 后對(duì)后對(duì) y 積分積分,22yxyx 得交點(diǎn)坐標(biāo)得交點(diǎn)坐標(biāo)(1,-1),(4,2)。畫(huà)出積分區(qū)域。畫(huà)出積分區(qū)域。表示成表示成y型區(qū)域型區(qū)域:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy458 22yxy21y2y2y例例4 4交換積分次序交換積分次序2110yxdxedy 交換二次積分的積分次序的步驟：交換二次積分的積分次序的步驟：1.根據(jù)已給的二次積分的積分限用不等式表示根據(jù)已給的二次積分的積分限用不等式表示區(qū)域區(qū)域D，并畫(huà)出，并畫(huà)出D的圖形。的圖形。2.根據(jù)根據(jù)D的圖形將的圖形將D用另一種表達(dá)式來(lái)表示，用另一種表達(dá)式來(lái)表示，以確定改動(dòng)積