數(shù)學(xué)物理方法筆記摘要

1、數(shù)學(xué)物理方法筆記摘要【寫在學(xué)習(xí)本課程之前】對(duì)于本課程本人的學(xué)習(xí)目標(biāo)是熟悉數(shù)學(xué)物理方程本身的 物理實(shí)質(zhì)，對(duì)常見的分離變量法等要掌握解法， 但公式等不必記住，會(huì)解決簡(jiǎn)單 條件下的實(shí)際問題，如擴(kuò)散方程、電測(cè)深問題、三維電場(chǎng)問題等。第一章 數(shù)學(xué)物理方程基本概念一、數(shù)學(xué)物理方程的提出要解決物理量在時(shí)間和多維空間上的變化規(guī)律問題， 這就導(dǎo)致了偏微分方程的 產(chǎn)生。注意：所謂變化規(guī)律就是微分的思想，而在時(shí)間和空間上的多維變化就是 偏微分方程。二、定解問題 定解問題由泛定方程、邊界條件、初始條件組成。 泛定方程：數(shù)學(xué)物理方程本身叫做泛定方程，不含有邊界條件和初始條件。 邊界條件：即物理問題所處的“環(huán)境”，也就是

2、物理量在邊界上的狀況。 初始條件：及物理問題的“歷史”，也就是開始時(shí)刻物理量的狀況。 所以，解決物理問題，泛定方程是紐帶，將邊界值和初始值通過紐帶推算到每個(gè) 點(diǎn)、每個(gè)時(shí)刻，這就是解決數(shù)學(xué)物理問題的實(shí)質(zhì)過程！三、泊松方程和拉普拉斯方程的物理本質(zhì) 泊松方程是解決的物理場(chǎng)中的“有源”問題。 拉普拉斯方程解決的是物理場(chǎng)中的“無(wú)源”問題。四、擴(kuò)散方程詳見課本p145,將在后面的部分解決常見的擴(kuò)散方程。五、邊界條件分類（1）第一類邊界條件 指的是在邊界上物理量本身的值。（2）第二類邊界條件指的是在邊界上物理量法向?qū)?shù)的值，【物理意義】針對(duì)電場(chǎng)、熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散問題來(lái)說就是在邊界上的“對(duì)外”或 “對(duì)內(nèi)”的流量問

3、題。（3）第三類邊界條件對(duì)于熱傳導(dǎo)問題就是描述的自由冷卻問題，即桿端熱流強(qiáng)度與溫度差之間的 關(guān)系，詳見課本 p156.六、線性偏微分方程的分類（1）線性偏微分方程的定義（2）分類雙曲型拋物線型橢圓型第二章 分離變量法一、偏微分方程能夠進(jìn)行分離變量的條件 （1）方程是常系數(shù)線性偏微分方程； （2）邊界條件是齊次的。二、分離變量法解決偏微分方程的步驟 （1）將非齊次邊界條件化為齊次邊界條件； （2）將非齊次泛定方程表示成兩個(gè)泛定方程的線性組合；（3）將分離變量形式代入泛定方程，得到兩個(gè)常微分方程；（4）將分離變量代入邊界條件，和一個(gè)常微分方程組成特征方程，解出特征值；（5）將特征值代入另一個(gè)常微分

4、方程并解之；（6）綜合兩個(gè)常微分方程的解，寫出偏微分方程的解，然后代入初始條件，接 觸系數(shù)。三、常見問題和所用到的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)1. 解特征方程的問題2. 常微分方程的解3. 傅立葉級(jí)數(shù)4. 常見的分部積分四、齊次泛定方程和齊次邊界條件的方程的解法 【例】在鈾塊中，除了中子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)外，還進(jìn)行著中子的繁殖過程，每秒鐘在 單位體積中產(chǎn)生的中子數(shù)目正比于該處的中子的濃度u，可以表示為Bu，研究厚度為I的層狀鈾塊，求臨界厚度。（鈾塊厚度超過臨界厚度，則中子濃度將隨時(shí) 間而增長(zhǎng)，最終導(dǎo)致核爆炸）【解】根據(jù)題意，可以得出一個(gè)非齊次的泛定方程和齊次的邊界條件，如下：?u 2=a?t?x2(1)Uxx=0 =

5、 U x x=l = 0(2)經(jīng)過分析，（1）為常系數(shù)偏微分方程，（2）為齊次邊界條件，所以可以直接使用分離變量 的方法來(lái)解方程。設(shè) U(x,t) = X(x)T(t)，代入(1)有:X(x)T (t)- a2X T(t)- 3X(x)T(t)=0整理得：生!型=T (t)2-傷=-入(3)X(x)a2T (t)得：X”(x)+ 2X(x) =0 (4)X'(0) = X'(l) = 0 (5)T''(t) + ( 2a2 - ®T(t) = 0 (6)n n根據(jù)特征值方程（4） （5）得：X（x） = Acos（x） （n=0，1，3）（ 7） l入

6、=（口）2（8）l將（8）代入另一個(gè)常微分方程（6），得：（nn）2-陽(yáng)T（t） = Ce l （9）從而可以得到中子濃度的表達(dá)式：U(x,t)=廠ne"T)jn n(10)cos( x) (n=0, 1，2，3)l分析上式，可以看到，如果e的指數(shù)大于零，那么濃度就是增加的，所以臨界厚度就是e的指數(shù)等于零，故臨界厚度為【注】通過這個(gè)題目可以總結(jié)如下幾點(diǎn): 分離變量法的最核心的部分就是在于求解特征值方程，這是基礎(chǔ)； 在計(jì)算特征值方程的時(shí)候，n是否取零，要注意，這點(diǎn)非常容易忽視！ 上述題目與已經(jīng)推導(dǎo)出來(lái)的用 E表示的激電方程有類似之處，解決激電方 程時(shí)可以效仿該題目！五、非齊次泛定方程和非齊次邊界條件的處理方法該部分要看書，非齊次邊界條件的處理很簡(jiǎn)單，非齊次泛定方程需要用沖量 定理來(lái)解決，目前還沒有掌握該方法！另外看看解的結(jié)垢定理是怎么回事？第三章 球坐標(biāo)下的拉普拉斯方程的解法、各種坐標(biāo)下的拉普拉斯方程的表示方式直角坐標(biāo)系：護(hù)（70-U