等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式周宏家一、教材分析等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是高等教育岀版社第六章第三節(jié)的內(nèi)容，主要內(nèi)容是等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和簡單的應(yīng)用，本節(jié)課在教材中占有極其重要的地位，是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的 通項(xiàng)公式之后，對等差數(shù)列進(jìn)行更廣，更深一步的研究，因此這節(jié)課在教材中具有承上啟下的 作用，是數(shù)列研究方面不可缺少的重要內(nèi)容，對于這節(jié)課我們應(yīng)予以高度的重視，做更加深入 的講解，對于教材的安排順序及內(nèi)容我做了簡單的調(diào)整，我增加了一個數(shù)學(xué)小故事，目的是通過 故事的引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動學(xué)生分析、討論問題的熱情。二、教學(xué)目標(biāo)根據(jù)教學(xué)大綱的要求，結(jié)合中職學(xué)生的實(shí)際情況和認(rèn)知特點(diǎn)，我將本節(jié)課的

2、教學(xué)目標(biāo)設(shè)定 如下：(1) 知識目標(biāo)：掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，掌握住等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的兩 種形式。(2) 技能目標(biāo)：靈活運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算等差數(shù)列的求和問題。(3) 情感目標(biāo)：通過公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用，使學(xué)生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認(rèn)識問題，解決問題的一般思路和方法。通過公式的推導(dǎo)的過程教學(xué)，對學(xué)生進(jìn)行思維靈活性和廣闊性的訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的思維水平。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，難點(diǎn)是獲得推導(dǎo)公式的思路。根據(jù)教材內(nèi)容及教學(xué)大綱的要求，前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用是本節(jié)課的重點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生 的認(rèn)知規(guī)律，以及以往的

3、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的難點(diǎn)。對于本節(jié)課的重點(diǎn)在教學(xué)中我們應(yīng)該做深入系統(tǒng)的講解，對于本節(jié)課的難點(diǎn)，我們應(yīng)該根據(jù)中職學(xué)生的心理特點(diǎn)，及思維方式，由淺入深，由一般到特殊的進(jìn)行引導(dǎo)和分析。四、教學(xué)方法本節(jié)課主要采用啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)法。在推導(dǎo)公式之前，我引用了高斯的故事，讓同學(xué)們參與到高斯小時候的數(shù)學(xué)問題中，并對此 問題加以引導(dǎo)和討論，這樣可以吸引同學(xué)們的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動他們參與課堂 的積極性。五、教學(xué)手段多媒體輔助教學(xué)六、教學(xué)流程復(fù)習(xí)回顧:回顧上節(jié)課內(nèi)容，也就是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2分鐘）新科導(dǎo)入:講解高斯的故事，看多媒體資料（高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，高斯10歲時，有一次

4、數(shù)學(xué)老師給同學(xué)們出了一道題：計(jì)算從1到100的自然數(shù)之和。那個老師認(rèn)為，這些孩子算這道題目需要很長時間，所以他一寫完題目，就坐到一邊看書去了。誰知，他剛坐下,馬上就有一個學(xué)生舉手說：“老師，我做完了?！崩蠋煷蟪砸?驚，原來是班上年紀(jì)最小的高斯。老師走到他身邊，只見他在筆記本上寫著5050,老師看了， 不由得暗自稱贊。為了鼓勵他,老師買了一本數(shù)學(xué)書送給他。）（3分鐘時間看多媒體資料）根據(jù)故事提出問題，高斯是如何在短時間內(nèi)計(jì)算出1到100之和的呢？（這 個過程給同 學(xué)們3分鐘左右的時間討論，討論過程中老師不斷的啟發(fā)，引導(dǎo)，同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情充分調(diào)動起 來了，大家都想知道如何計(jì)算）討論完畢，老師問同學(xué)

5、們的討論結(jié)果是什么，同學(xué)們踴躍發(fā)言，各自表達(dá)自己的觀點(diǎn)。接下 來就是老師揭謎底的時間了，“下面我們聽聽高斯是如何說的吧？高斯說：1+100=101, 2+99=101, 3+98=101-50+51=101 , 一共是50個101相加，所以結(jié)果應(yīng)該是 5050。”這里是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn),其中蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想一一倒序相加法，教師一 定要引導(dǎo)學(xué)生理解透這種數(shù)學(xué)思維。這里也是我們對學(xué)生的思維進(jìn)行拓展教育的關(guān)鍵之處，作 為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀 察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找岀某些規(guī) 律性的東西。教育我們學(xué)生從小就要養(yǎng)成勤動腦，多思考的好習(xí)慣。(12分鐘)公式推導(dǎo)：F

6、面就從特殊到一般講解公式的推導(dǎo)過程。已知等差數(shù)列ai,且2, 33,，an , an an它的前n項(xiàng)和是 S" =a： +a a才+亦_ 2* +a若把次序顛倒是&二dn +a.nj +Qn_2+a.丈d卞且(1) + (2)得 2Sn 二 1 +Qn) +2 +anj )+3 +an 11) + + (且 n/ + 且 3)+ (dn_l + 且 2)+ (an +ai)由等差數(shù)列的性質(zhì)(且，+a.n)二(&2 +anj )二3 +n/)于是 2Sn二1 +%) + (耳+兔)+佝+an) +即2®+中)2這個公式和等差數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)，以及項(xiàng)數(shù)有關(guān)。如果

7、將公式中的an用通項(xiàng)公式an =ai + (n -1) d來替換，我們可以得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和的第二個公式即 Sn F2這個公式和等差數(shù)列的首項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)，公差有關(guān)。(15分鐘講解時間)例題講解：例1已知一個等差數(shù)列的首項(xiàng)為-12,第30項(xiàng)為18,求它的前30項(xiàng)的和。解：&土亠二90例2.已知一個等差數(shù)列的首項(xiàng)為a-5,公差d =3,求它的前20 項(xiàng)的和。解：$0 =20X (-5)+ 型綸匕也 X 3 =4702解答這幾道題的過程中，我們要教會學(xué)生選擇合適的公式進(jìn)行求和計(jì)算。(例題講解大約 占5分鐘時間)歸納總結(jié)：通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，我們得到了一種重要的數(shù)學(xué)思想一一倒序相加 法，學(xué)會了等 差

8、數(shù)列求和的兩個公式，以及如何選用恰當(dāng)?shù)墓綄Φ炔顢?shù)列進(jìn)行求和計(jì)算。隨堂練習(xí)(課后習(xí)題)，通過課堂練習(xí)，使學(xué)生能夠熟練選擇運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公 式。作業(yè)布置歸納總結(jié)，隨堂練習(xí)，及作業(yè)布置共占10分鐘時間板書設(shè)計(jì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式回顧上節(jié)內(nèi)容：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式高斯的求和1+2+3+100二？推導(dǎo)過程 已知等差數(shù)列ai, a2, a3,.,曲，且nA, an<3 I 3,si = al +2 +3 丁 an+ an _2 + anJ +(1)&2+ ai(1) + (2)得 2Sn 二1 +an)+2 +anj ) +3 +anR+. + (an/ +a3)+a2)+ (an +O)由等差數(shù)列的性質(zhì)個+an)二心2 +寺丿二3 +寺于是2Sn 二l+dn) + (ai +a.n) + (ai +即 s. -n佝+粘)2cI. n(n-