《直線的傾斜角與斜率》教案及說明

1、直線的傾斜角與斜率的教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1、探索確定直線位置的幾何要素，感受傾斜角這個(gè)反映傾斜程度的幾何量的形成過程。2、通過教學(xué)，使學(xué)生從生活中的坡度，自然遷移到數(shù)學(xué)中直線的斜率，感受數(shù)學(xué)概念來源于生活實(shí)際，數(shù)學(xué)概念的形成是自然的，從而滲透辯證唯物主義思想。3、充分利用傾斜角和斜率是從數(shù)與形兩方面，刻畫直線相對于x 軸傾斜程度的兩個(gè)量這一事實(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合思想。4、經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，初步掌握過已知兩點(diǎn)的直線的斜率計(jì)算公式，滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何研究思想。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)： 1、感悟并形成傾斜角與斜率兩個(gè)概念；2、推導(dǎo)并初步掌握過兩點(diǎn)的直線斜率公式；3、體會(huì)數(shù)形結(jié)合

2、及分類討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的作用。難點(diǎn)： 用代數(shù)方法推導(dǎo)斜率的過程。三、教學(xué)方法計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)與發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合。 即在多媒體課件支持下， 讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下，積極探索，親身經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)與形成過程，體驗(yàn)公式的推導(dǎo)過程，主動(dòng)建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題問題1、（出示幻燈片）給出的兩點(diǎn) P、Q相同嗎?從形的角度看，它們有位置之分，但無大小與形狀之分。從數(shù)的角度看，如何區(qū)分兩個(gè)點(diǎn)？（用坐標(biāo)區(qū)分）問題2、過這兩點(diǎn)可作什么圖形？唯一嗎？只經(jīng)過其中一點(diǎn) （如點(diǎn)P） 可作多少條直線？若只想定出其中的一條直線， 除了再用一點(diǎn)外，還 有其他方法嗎？可以增加一個(gè)什么樣的幾何量？

3、 （估計(jì)不少學(xué)生能意 識(shí)到需要有一個(gè)角）由此引導(dǎo)學(xué)生歸納，確定直線位置可有兩種方式（1）已知直線上兩點(diǎn)（2）已知直線上一點(diǎn)和直線的傾斜程度問題3、角的形成還需一條線，也就是說要有刻畫傾斜程度的角，就 必須還有一條形成角的參照的直線。 在平面直角坐標(biāo)系下，以哪條軸 線為基準(zhǔn)形成刻畫傾斜程度的角？（學(xué)生可能回答 x軸或y軸）以x軸或y軸為基準(zhǔn)都可以，習(xí)慣上我們用 x軸。問題4、過點(diǎn)P與x軸形成45。角的直線有幾條？選烯M獻(xiàn)撇蹴哪瓶斜翹廢，就能保可坐標(biāo)系下的任日一 獺裁揣營唯所肺翩極圾瞬直線呢？儆幅牖爨I幽融獺有向來描述角，并區(qū)分目L35。-45向。數(shù)學(xué)概念來刻畫事物時(shí)，講求統(tǒng)一美與簡潔歲/如何用數(shù)

4、0言 準(zhǔn)確描述這個(gè)角呢？（揭示課題）1、傾斜角的定義：在直角坐標(biāo)系下，以x軸為基準(zhǔn)，當(dāng)直線l與X 軸相交時(shí)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角口，叫做直線l的 傾斜角。學(xué)生練習(xí)畫出過點(diǎn)P的各種傾斜角的直線。釉平彳f的直線J補(bǔ)出圖（4）X學(xué)佳容易招略與y問傾斜角在哪p lX規(guī)定：當(dāng)直線l與X軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為 0%自然有傾斜角的范圍是0 0, 180口）這樣平面直角坐標(biāo)系中每條直線都有唯一一個(gè)確定的傾斜角a與它對應(yīng)。傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直 線，其傾斜角不相等。以上定義了一個(gè)從“形”的角度用傾斜角刻畫平面直角坐標(biāo)系內(nèi) 一條直線的傾斜程度（二）鞏固舊知，同化新

5、知生活中，我們都有過爬山、爬坡的體驗(yàn)，對于斜坡的傾斜程度,可以用什么量來反映？（坡角與坡度）初中對坡度是如何定義的？升高量（即坡角a的正切值）坡度（比）=：前進(jìn)量當(dāng)坡角a增大時(shí)，坡度如何變化?當(dāng)坡角口 =90四0。時(shí)，升高量、前進(jìn)量分別是什么？坡度又分別 是什么？坡角、坡度都能反映傾斜程度，遷移到數(shù)學(xué)中，坡角相當(dāng)于直線 的傾斜角，而坡度則對應(yīng)于直線的斜率。2、斜率：傾斜角不是90。的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即k = tan ：（：二 90二）問題5、當(dāng)口為鈍角時(shí)，直線的斜率如何求？（轉(zhuǎn)化到其補(bǔ)角 日上）y如：傾斜角口 = 120口，則斜率k = -V30 V a v 90二=

6、9090 v a v 180k 0k不存在k 0k =0問題6、當(dāng)口在0 0，180 口）內(nèi)變化日斜率k如何變化?ypo問題7、傾斜角與斜率都能刻畫直線的傾斜程度，哪個(gè)量更優(yōu)越呢?傾斜角能從形的角度刻畫傾斜程度，而斜率是比值，實(shí)質(zhì)是數(shù)值, 它能從數(shù)的角度反映傾斜的程度，顯然用斜率更細(xì)致入微些。（三）嘗試推導(dǎo)，深化認(rèn)識(shí)兩點(diǎn)確定一條直線，可見由兩點(diǎn)也就確定了直線的傾斜程度， 即 傾斜角與斜率?？磥恚本€上兩點(diǎn)與直線的斜率有著密不可分的聯(lián)系。 問題8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上兩點(diǎn) Pi （xi, y。，P2（X2, vZ且X1#X2,能否用Pi、B的坐標(biāo)來表示直線斜率k?（學(xué)生活動(dòng)）：隨意在坐

7、標(biāo)系下畫兩點(diǎn) R、P2及直線P1P2,探究各種 圖形并嘗試推導(dǎo)，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教師可適當(dāng)引導(dǎo)其將斜坡截面圖遷移到坐標(biāo)系中， 類似升高量，前進(jìn) 量，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長，并請同學(xué)敘述各個(gè)圖的推導(dǎo)過程與結(jié)果。解：設(shè)直線RP2傾斜角為口（口#900）當(dāng)直線PR方向向上時(shí)，過點(diǎn)Pi作X軸的平行線，過點(diǎn)P2作y軸的平行線，兩線交于點(diǎn) Q,則點(diǎn)Q為(X2, yi)(1)當(dāng) a 為銳角時(shí)，0t=NQPiP2, Xi X2 , yiy2在 RtP1P2Q 中，tanot = tan/QP F2 = 2y1P Q X2 x1(2)當(dāng) a 為鈍角時(shí)，豆=1800-e (設(shè)/qp1P2

8、=日)，XiX2, yiy2tan.：i =tan(180 -) = -tan在 R3P1P2Q 中，tan6 =典=上=一七二 QF1 X2 XiX2 Xi.tan：. =y_H (可讓學(xué)生分組推導(dǎo)) X2 - Xi同理，當(dāng)直線P2Pi方向向上時(shí)，無論U為銳角或鈍角，也有tana,即卜=X2 -XiX2 - Xi思考：i、各種一般情形得出的結(jié)論一致嗎？與Pi、R這兩點(diǎn)坐標(biāo)順序有關(guān)系嗎？2、當(dāng)直線垂直于X軸或y軸時(shí)，上述結(jié)論適用嗎？3、斜率公式使用時(shí)應(yīng)注意什么問題？鞏固練習(xí)：求經(jīng)過下列兩點(diǎn)直線的斜率，并判斷傾斜角是銳角還是鈍 角。(i) A (3,2) ,B (-4,i ) ( kAB =；)

9、 A (3,2) ,B (4,i ) (kAB = T)(3) A (3,2) ,B (3,-i )(不存在)(4) A (3,2) ,B (-4,2 ) ( kAB =0)（四）反思小結(jié)，概括提煉 （同學(xué)們這節(jié)課有何收獲？）1、明確了確定直線位置的幾何要素。2、理解了刻畫傾斜程度的量（傾斜角與斜率），知道了求斜率的兩種方法（定義法、坐標(biāo)法）k = tan：=立一y1X2 Xi3、經(jīng)歷了代數(shù)方法刻畫斜率的過程，感受了數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想（五）板書設(shè)計(jì)直線的傾斜角與斜率1、傾斜角的定義（學(xué)生展示推范圍0 0，180口）導(dǎo)斜率公式的2、直線的斜率圖形）k = tan （a 9 90 0）a

10、為鈍角時(shí)，（六）作業(yè)：自學(xué)課本P85：例1、例2；作業(yè)本：%: 1、2、3?！窘贪刚f明】直線的傾斜角與斜率一、教學(xué)內(nèi)容與地位作用解析本1、內(nèi)容分析本節(jié)課的主要內(nèi)容有兩個(gè)概念（直線的傾斜角、直線的斜率）及一個(gè)公式（斜率計(jì)算公式）直線的傾斜角是反映直線傾斜方向的量， 它也是確定直線位置的 一個(gè)重要的幾何要素，它實(shí)質(zhì)上能從“形”的角度刻畫直線的傾斜程 度。直線的斜率指傾斜角不是90。的直線，其傾斜角的正切值叫做這 條直線的斜率。教材是從生活中斜坡的坡度遷移到直線的斜率概念 的。直線的斜率可看作是比值，實(shí)質(zhì)上是數(shù)值，所以直線的斜率從本 質(zhì)上可看成是從“數(shù)”的角度刻畫直線的傾斜程度。華羅庚先生說過: 數(shù)

11、數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”。顯然，與傾斜角相比，用斜 率刻畫傾斜程度會(huì)更細(xì)致。關(guān)于過已知兩點(diǎn)的直線斜率公式：因?yàn)檫^兩點(diǎn)的直線是唯一確定 的，所以其傾斜程度也就確定（即直線的斜率也是確定的）。從而在 直角坐標(biāo)系中，直線的斜率與直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)就有密不可分的聯(lián) 系。斜率k =22二工不僅反映了這種聯(lián)系，并用代數(shù)方法表示了出來， X2 - Xi而且在公式的推導(dǎo)中蘊(yùn)含了分類討論、 數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思 想。2、地位作用分析本節(jié)課是高中解析幾何部分的起始課，學(xué)生具備的知識(shí)基礎(chǔ)是在 直角坐標(biāo)系中會(huì)用坐標(biāo)表示點(diǎn)，明確了坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對可 建立一一對應(yīng)的關(guān)系。這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，不僅能反映出

12、數(shù)學(xué)概念離 不開生活，數(shù)學(xué)是自然有用的，而且蘊(yùn)含了幾何問題代數(shù)化的思想， 從知識(shí)點(diǎn)及研究方法上，為后繼判斷兩條直線的位置關(guān)系以及建立直 線的方程等內(nèi)容起著關(guān)鍵性的鋪墊作用。二、教學(xué)目標(biāo)解析1、探索確定直線位置的幾何要素，感受傾斜角這個(gè)反映傾斜程 度的幾何量的形成過程；2、通過教學(xué)，使學(xué)生從生活中坡度自然遷移到數(shù)學(xué)中直線的斜 率的過程，感受數(shù)學(xué)概念來源于生活實(shí)際，數(shù)學(xué)概念的形成是自然的， 從而滲透辯證唯物主義思想；3、充分利用傾斜角和斜率是從數(shù)與形兩方面刻畫直線相對于x軸傾斜程度的兩個(gè)量這一事實(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合思想；4、經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，初步掌握過已知兩點(diǎn) 的直線的斜率計(jì)算公式，滲

13、透幾何問題代數(shù)化的解析幾何研究思想。 三、教學(xué)問題診斷分析1、關(guān)于傾斜角的概念：為什么要引入傾斜角？如何描述這個(gè)角？ 這些地方都是教學(xué)中易忽略的，也是學(xué)生最難理解的地方。直接給出 傾斜角的定義，會(huì)使學(xué)生誤認(rèn)為數(shù)學(xué)概念就是絕對抽象的， 你只要接 受就可以了，這樣我們就把活生生的、自然的數(shù)學(xué)演變成高不可攀的， 為聰明人準(zhǔn)備的學(xué)科，會(huì)漸漸使許多學(xué)生變得被動(dòng)學(xué)習(xí)，缺乏數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)興趣及自信心。所以，在引入這節(jié)課時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)讓學(xué)生感受引入傾 斜角的必要性，要描述清楚傾斜角必須規(guī)定“基準(zhǔn)”與“直線方向”， 從而能自然地、準(zhǔn)確地描述清楚定義。2、對于斜率，學(xué)生基本上能從斜坡的坡度中順利遷移過來，當(dāng)傾斜角為90吸

14、0口時(shí)可以特殊認(rèn)識(shí)，當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)（與斜坡稍有不同）斜率的求法應(yīng)重點(diǎn)分析，突出轉(zhuǎn)化思想的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)P83頁的腳注，使學(xué)生對所有直線的斜率情況有全面的認(rèn)識(shí)。另外，傾斜角和斜率分別是從“形”與“數(shù)”的不同方面刻畫直 線的傾斜程度，相比較斜率更具有優(yōu)越性。3、斜率計(jì)算公式的得出，學(xué)生有兩點(diǎn)不易把握。一方面，怎樣 將兩點(diǎn)坐標(biāo)與tana相聯(lián)系；另一方面，圖形分析不夠全面。對前者， 可提供學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，對后者教師可先讓學(xué)生在直角坐標(biāo)系下 聯(lián)想坡度，找升高量與前進(jìn)量，再引導(dǎo)其轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示。公式的推導(dǎo)過程是多數(shù)學(xué)生能獨(dú)立解決的， 教學(xué)中應(yīng)放手讓學(xué)生 推導(dǎo)并體會(huì)數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想，有助于

15、培養(yǎng)學(xué)生研究問題的 獨(dú)立性、條理性、全面性。教學(xué)重點(diǎn)：1、感悟并形成傾斜角與斜率兩個(gè)概念；2、推導(dǎo)并初步掌握過兩點(diǎn)的直線斜率公式；3、體會(huì)數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的作用。教學(xué)難點(diǎn)：用代數(shù)方法推導(dǎo)斜率的過程。四、本節(jié)課的教學(xué)方法：計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)與發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合。即在多媒體課件支持下，讓學(xué) 生在教師引導(dǎo)下，積極探索，親身經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)與形成過程，體驗(yàn) 公式的推導(dǎo)過程，主動(dòng)建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題問題1、給出的兩點(diǎn)P、Q相同嗎？如何區(qū)分這兩個(gè)點(diǎn)？問題2、過這兩點(diǎn)可作什么圖形？只經(jīng)過其中一點(diǎn)（如點(diǎn) P）可作多 少條直線？若只想定出其中的一條直線，

16、除了再用一點(diǎn)外，還有其他 方法嗎？可以增加一個(gè)什么幾何量？【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生歸納確定直線位置的幾何要素問題3、角的形成還需一條線。即要有刻畫傾斜程度的角，就必須還 有一條形成角的參照的直線。在平面直角坐標(biāo)系下，以哪條軸線為基 準(zhǔn)形成刻畫傾斜程度的角？問題4、過點(diǎn)P與x軸形成45口角的直線有幾條？如何區(qū)分這兩條直線？選擇哪個(gè)角來描述直線的傾斜程度， 就能保證坐標(biāo)系下的任何一 條直線都有唯一的角與它對應(yīng)呢？【設(shè)計(jì)意圖】傾斜角的形成離不開“基準(zhǔn)”與“直線方向”的規(guī)定， 同時(shí)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念是自然的以及數(shù)學(xué)定義的統(tǒng)一美與簡潔美， 從而提示本節(jié)課的課題。K學(xué)生練習(xí)R畫出過一點(diǎn)的各類傾斜角的直線，并完

17、善傾斜角的定義。（二）鞏固舊知，同化新知根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，將坡度自然遷移到斜率的概念上， 通過坡 角（傾斜角）的變化，感受斜率的變化，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念是親 切的，激發(fā)其求知欲。問題5:生活中坡角沒鈍角，當(dāng)支為鈍角時(shí)，直線的斜率如何求？ 【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生會(huì)用轉(zhuǎn)化思想求口為鈍角時(shí)的斜率，明確課本腳 注的用法。問題6、當(dāng)口在0 , 180 ）內(nèi)變化日斜率k如何變化?【設(shè)計(jì)意圖】更條理、更全面地認(rèn)識(shí)斜率與傾斜角的變化關(guān)系。問題7、傾斜角與斜率都能刻畫直線的傾斜程度，哪個(gè)量更優(yōu)越呢？ 【設(shè)計(jì)意圖】突出斜率刻畫傾斜程度的優(yōu)越性是更細(xì)致入微，使用方便簡潔。（三）嘗試推導(dǎo)，深化認(rèn)識(shí)兩點(diǎn)確定唯一一條直線

18、，可見由兩點(diǎn)也就確定了直線的傾斜程 度，即傾斜角與斜率?？磥?，直線上兩點(diǎn)與直線的斜率有著密不可分 的聯(lián)系。問題8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上兩點(diǎn)：Pi （xi, yi） , P2 （X2, V2且xi#x2,能否用Pi、B的坐標(biāo)來表示直線斜率k?（學(xué)生活動(dòng)）：在坐標(biāo)系下畫兩點(diǎn) R、R及直線P1P2,探究各種圖形 并嘗試推導(dǎo)。教師可適當(dāng)引導(dǎo)其將斜坡截面圖遷移到坐標(biāo)系中，類似升高量與前進(jìn)量，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長，請同學(xué)敘述各個(gè)圖的推導(dǎo) 過程與結(jié)果?！驹O(shè)計(jì)意圖】給學(xué)生提供充分的自主探索的時(shí)間與空間， 克服公式推 導(dǎo)中不易把握的兩點(diǎn)（1、兩點(diǎn)坐標(biāo)與tan久的聯(lián)系；2、圖形分析不全 面），培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想，促進(jìn)思維的獨(dú)立性、全面性， 邏輯性。思考：1、各種情形得出的結(jié)論一致嗎？與兩點(diǎn)坐標(biāo)順序有關(guān)系嗎？2、當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時(shí)，上述結(jié)果適