高中數(shù)學(xué)極坐標(biāo)與參數(shù)方程高考題型全歸納題型部分

1、2019極坐標(biāo)與參數(shù)方程高考題型全歸納一.題型部分（一）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)與參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化1 .極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式:若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，點(diǎn)P的y sin極坐標(biāo)為（，），直角坐標(biāo)為（x, y）,則x cos tan2 .參數(shù)方程:直線(xiàn)參數(shù)方程:x X0 tc0s （t為參數(shù)） （x0,y0）為直線(xiàn)上的定點(diǎn)，t為直線(xiàn)上任y V。 tsin點(diǎn)（x，y）到定點(diǎn)（x0，y0）的數(shù)量；圓錐曲線(xiàn)參數(shù)方程：圓的參數(shù)方程：x a rcos （為參數(shù)）（a,b）為圓心，r為半徑; y b r sin橢圓04 1的參數(shù)方程是x acos

2、（為參數(shù)）；a by bsin22雙曲線(xiàn)、與1的參數(shù)方程是x asec（為參數(shù)）；a by btan拋物線(xiàn)y2 2 px的參數(shù)方程是x 2Pt2 （t為參數(shù)）y 2pt（二）有關(guān)圓的題型題型一：圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系（圓與直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題）一利用圓心到直線(xiàn)的距離與半徑比較d r:相離，無(wú)交點(diǎn)；d ：相切，1個(gè)交點(diǎn)；d r:相交，2個(gè)交點(diǎn);用圓心（x0，V0）到直線(xiàn)Ax+By+C=0的距離d區(qū)xT*,算由d,在與半 . A2 B2徑比較題型二：圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最值問(wèn)題（不求該點(diǎn)坐標(biāo)，如果求該點(diǎn)坐標(biāo)請(qǐng)參照距離最值求法）思路：第一步：利用圓心（xo,yo）到直線(xiàn)Ax+By+C=0的距離d ”耳-C .

3、A2 B2第二步：判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系第三步：相離：代入公式：dmax d r, dmin d r相切、相交：dmax d rdmin 0題型三：直線(xiàn)與圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題弦長(zhǎng)公式1 2尸彳，d是圓心到直線(xiàn)的距離延伸：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)（包括圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)）的弦長(zhǎng)問(wèn)題（弦長(zhǎng)：直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的距離就是弦長(zhǎng)）弦長(zhǎng)公式1 ti t2，解法參考“直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義”（三）距離的最值：一用“參數(shù)法”1 .曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最值問(wèn)題2 .點(diǎn)與點(diǎn)的最值問(wèn)題“參數(shù)法”：設(shè)點(diǎn)一套公式-三角輔助角設(shè)點(diǎn)： 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)用該點(diǎn)在所在曲線(xiàn)的的參數(shù)方程來(lái)設(shè)套公式：利用點(diǎn)到線(xiàn)的距離公式輔助角

4、：利用三角函數(shù)輔助角公式進(jìn)行化一例如：在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)G的參數(shù)方程為x 73cos （為參數(shù)），以坐標(biāo)原 y sin點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為sin（ 4） 2 2 .（I）寫(xiě)由Ci的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(II)設(shè)點(diǎn)P在Ci上，點(diǎn)Q在C2上，求PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)2I) Ci的普通方程為t y因?yàn)镃2是直線(xiàn)，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值， d( ) | c0S -sin 4| 、.2|sin(-) 2|.解說(shuō)：利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離列式子，然后就是三角函數(shù)的輔助公式進(jìn)行化一)當(dāng)sin (-) 1時(shí)即當(dāng)

5、 2k (k Z)時(shí)，d()取得最小值，最小值為 疙，此時(shí) 1, 3C2的直角坐標(biāo)方程為x y 4 0.(解說(shuō)：Ci： x 3cos“利用三角消元：移項(xiàng)-化同-平方-相加 y sin a這里沒(méi)有加減移項(xiàng)省去，直接化同，那系數(shù)除到左邊x cosx22方 0c兩邊同時(shí)平方3- C0S a兩道式子相加y2 12.26P的直角坐標(biāo)為(I，；).(四)直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(xo, yo),傾斜角為的直線(xiàn)l的參數(shù)方程為x x0 tcos (t為參數(shù))若 y Vo tsinA, B為直線(xiàn)l上兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1, t2,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為to,則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常

6、用到：t1 + t2t1 + t2(1)to=-; (2)|PM|=|to|=-; (3)|AB|=|t211|； (4)|PA|, |PB|=|t1 t2|t1 t2t2)242,當(dāng)城2ot1 t2,當(dāng)垃2 oy sin ay sin a(II)由題意，可設(shè)點(diǎn) P的直角坐標(biāo)為(T3cos ,sin )(5) PA PB t1 t2(解說(shuō)：點(diǎn)直接用該點(diǎn)的曲線(xiàn)方程的參數(shù)方程來(lái)表示)(注：記住常見(jiàn)的形式，P是定點(diǎn)，A、B是直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)，P、A、B三點(diǎn)在直線(xiàn)上)【特別提醒】 直線(xiàn)的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何 意義且其幾何意義為：|t|是直線(xiàn)上任一點(diǎn) M(x, y)到M0(

7、xo, yo)的距離，即 |MoM|=|t|.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tj,則弦長(zhǎng)l |ti t2 ；2.解題思路第一步：曲線(xiàn)化成普通方程，直線(xiàn)化成參數(shù)方程第二步：將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的普通方程，整理成關(guān)于 t的一元二次方程：at2 bt c 0第三步：韋達(dá)定理：ti t2 b , tlt2 Ca a第四步：選擇公式代入計(jì)算。例如：已知直線(xiàn)1：<3x=5 +t2(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為P=2cos0 .(1)將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5, V3),直線(xiàn)1與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)為A

8、, B,求 |MA| |MB|的值.解：(1) p = 2cos 0 等價(jià)于 p 2=2 p cos 0 .將p2 = x2 + y2, p cos0 =乂代入即得曲線(xiàn) C的直角坐標(biāo)方程為 x2+y2-2x =0.將x=5 +具y=V3+2t代入式，得t2+573t+18=0.設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為L(zhǎng), t2,則由參數(shù)t的幾何意義即知,|MA| |MB|=|tit2|= 18.(五).極坐標(biāo)中p的幾何意義一直線(xiàn)與兩曲線(xiàn)分別相交，求交點(diǎn)間的距離思路：一般采用直線(xiàn)極坐標(biāo)與曲線(xiàn)極坐標(biāo)聯(lián)系方程求生2個(gè)交點(diǎn)的極坐標(biāo),利用極徑相減即可。例如：在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線(xiàn)Ci的參數(shù)方程為 尸,口 (其中

9、a為L(zhǎng)y=2+V7sinC參數(shù))，曲線(xiàn)C2： (x - 1) 2+y2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極 軸建立極坐標(biāo)系.(I )求曲線(xiàn) C1的普通方程和曲線(xiàn) C2的極坐標(biāo)方程；(n)若射線(xiàn)e =V(p > 0)與曲線(xiàn)C1, C2分別交于A, B兩點(diǎn)，求|AB|.解：(I) 曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為匕?(其中a為參數(shù))，曲線(xiàn)C1的普通方程為x2+ (y-2) 2=7.曲線(xiàn) C2: (x1) 2+y2=1,.把 x= p cos 0 , y= p sin 0 代入(x 1) 2+y2=1 ,得到曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程(p cos 0 - 1) 2+ ( p sin 0 ) 2=1,化簡(jiǎn)，

10、得p =2cos e.(n)依題意設(shè) A ( p 1-y), B ( p 丁磊)， ;曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為P 2 4 P sin e - 3=0, 將3$(p >0)代入曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程，得p 2-2 p-3=0, 解得P 1=3,同理，將e=2L （p >0）代入曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程，得r廣6,. |AB|=| p 1- P 2|=3-g.（六）.面積的最值問(wèn)題面積最值問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化成弦長(zhǎng)問(wèn)題+點(diǎn)到線(xiàn)的最值問(wèn)題例題：在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，圓C的參數(shù)方程為, （t為參 y=3+ xfgsint數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程

11、為3八口+卷）二-瓜 A, B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為IT4 （2,下），B （2,冗）.（1）求圓C的普通方程和直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)P是圓C上任一點(diǎn)，求 PAB面積的最小值.解：由仁藍(lán):，化簡(jiǎn)得:+5=V2costY VSsint，消去參數(shù) t,得(x+5) 2+ (y-3) 2=2, 圓C的普通方程為(x+5) 2+ (y-3) 2=2.由 p cos ( 0 + 三)=V2,化簡(jiǎn)得 悴 p cos 0 - p sin 0 =-我，即 p cos0 - p sin 0 = - 2,即 x y+2=0 ,則直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為 x - y+2=0 ;(n)將 A (2, -J), B (2,兀)化為直角坐標(biāo)為 A (0, 2), B ( - 2, 0), 二 |A