2020屆山西省高三適應性調研數(shù)學(理)試題(解析版)

1、2020屆山西省高三適應性調研數(shù)學(理)試題一、單選題 21 .已知全集 U R ,集合 A x 110g2 x 1 , B x|x x0,則 AIB ()A. x|1 x 2b. x|x 2 c. x1, x 2 D. x1, x 4【答案】A【解析】解對數(shù)不等式和一元二次不等式化簡集合A,B ,再進行交運算，即可得答案 .【詳解】由題意得 Ax|1og2x 1 x|0 x 2, B x|x(x 1) 0 x | x 0或x 1,.AI B x|1 x 2.故選：A. 【點睛】本題考查數(shù)不等式和一元二次不等式的求解、集合的交運算，考查運算求解能力，屬于 基礎題.2.已知復數(shù)z滿足Z 2i，則

2、z()3 i D.1 i 1 3i1 3i3 i2 22【答案】B 【解析】利用復數(shù)的除法運算，即可得答案.【詳解】2 i (2 i)(1 i) 1 3i - z .1 i (1 i)(1 i) 2故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查基本運算求解能力，屬于基礎題3.由我國引領的5G時代已經(jīng)到來，5G的發(fā)展將直接帶動包括運營、制造、服務在內 的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進而對GDP增長產(chǎn)生直接貢獻，并通過產(chǎn)業(yè)間的關聯(lián)效應和波及效應，間接帶動國民經(jīng)濟各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟增加值.如圖是某單位結合近年數(shù)據(jù)，對今后幾年的5G經(jīng)濟產(chǎn)出所做的預測.結合上圖，下列說法錯誤的是()A. 5G的

3、發(fā)展帶動今后幾年的總經(jīng)濟產(chǎn)出逐年增加B.設備制造商的經(jīng)濟產(chǎn)前期增長較快，后期放緩C .信息服務商與運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢D.設備制造商在各年的總經(jīng)濟產(chǎn)出中一直處于領先地位【答案】D【解析】 對A選項，可直觀感知每年的產(chǎn)出是逐漸增高；對 B選項，2020到2023年設 備制造商的經(jīng)濟產(chǎn)前期增長較快，后幾年放緩；對 C選項，2028到2030年第二個小矩形的高與第一個小矩形的高度差明顯逐年加大；對D選項，2029和2030年已被信息服務超出.【詳解】對A選項，每一年小矩形高是逐漸增高的，可直觀發(fā)現(xiàn)每年產(chǎn)值是逐漸增高，故A正確；對B選項，2020到2023年設備制造商的經(jīng)濟產(chǎn)前期增長

4、較快，后幾年放緩，故B正確;對C選項，2028到2030年第二個小矩形的高與第一個小矩形的高度差明顯逐年加大，故C正確；對D選項，2029和2030年已被信息服務超出，故 D錯誤.故選D . 【點睛】本題主要考查數(shù)學閱讀理解能力及從圖中提取信息的能力，屬基礎題.4. 1 1 (1 2x)4展開式中x2的系數(shù)為()xA. 10B. 24【答案】DC. 32D. 56【解析】先將式子11 (1 2x)4 化成 1 (1 2x)4 x-(1 2x)4,再分別求兩項各自 x第20頁共21頁的x2的系數(shù)，再相加，即可得答案【詳解】14414 1 (1 2x)4 1 (1 2x)4 (1 2x)4, xx

5、(1 2x)4展開式中含x2的項為1 C2(2x)2 24x2,1 (1 2x)4 展開式中含 x2 的項二 C3(2x)3 32x2, xx故x2的系數(shù)為24 32 56.故選：D.【點睛】本題考查二項展開式中指定項的系，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.5 .已知函數(shù)f(x) aex x b,若函數(shù)f(x)在(0, f(0)處的切線方程為y 2x 3,則ab的值為()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】對函數(shù)求導得f (0) 2 ,求得a的值，再根據(jù)切點既在切線上又在曲線上，可求得b的值，即可得答案.【詳解】f (x) aex 1 ,f (0) a 1 2

6、,解得 a 1,f(0) a b 1 b 3, . b 2,ab 2.故選：B.【點睛】 本題考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意切點既在切線上又在曲線上的應用6 .函數(shù)f(x) * x在,的圖象大致為()x 1【解析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)及 f( ) 0,再結合排除法，即可得答案【詳解】函數(shù)的定義域為 R,關于原點對稱，且f( x) si" X)2 ( x) f (x) ,，f(x)是 (x) 1 sin奇函數(shù)，故排除 A; f( ) 一2 0,排除B, C. 11故選：D.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式選擇函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結合思想，

7、 求解時注意充分利用函數(shù)的性質及特殊點的函數(shù)值進行求解.7.如圖，在四棱錐P ABCD中，AD/BC, AD 2,BC 3, E是PD的中點，F(xiàn)12 、在PC上且PF PC, G在PB上且PG PB,則（）33A. AG 3EF ,且AG與EF平行C. AG 2EF ,且AG與EF異面B. AG 3EF ,且AG與EF相交D. AG 2EF，且AG與EF平行DH ,即可得【解析】 取CF的中點H ,連接DH,GH ,證明AG/DH ,且AG答案.取CF的中點H ,連接DH ,GH ,則在三角形PBC中2所以 GH /BC ,且 GH -BC 2 ,3又因為AD / /BC且AD 2 ,所以GH

8、 / /AD ,且GHPG PHPB PCAD ，所以四邊形ADHG為平行四邊形，所以 AG/DH，且 AG DH .在4PDH中，E, F分別為PD和PH的中點，1所以 EF /DH，且 EF -DH 2，1 _故選：D.【點睛】所以 EF/AG,且 EF AG,即 AG 2EF , 2本題考查空間中直線、平面的平行關系，考查轉化與化歸思想，考查空間想象能力，求解時注意利用線段的比例關系，證明平行8.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn, a22, S7 281則數(shù)列的刖2020411項和為（）20202018'2021' 2020【答案】A201820192021D.2020【

9、解析】根據(jù)a22 , S7 28,求得an ,再利用裂項相消法求Tn,令n 2020代入Tn,即可得答案【詳解】因為數(shù)列 an是等差數(shù)列，所以 S7 7 a1 a7 7a4.2設公差為d ,因為a2 2,S7 28 ,所以a1 d 2, 7 al 3d28,解方程組得ai 1,d 1,所以數(shù)列an的通項公式為an 1 (n 1) 1 n111所以 一;一-.設Tn為數(shù)列 的前n項和,anan 1n (n 1)anan 1則Tn11(n 1) n n (n 1)1111111 - 2 2 3 3 n n 1 11111T2020111111L223341112020 1 2020 2020120

10、20 1彳 120201 -2021 2021故選：A.本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意利用裂項相消法進行求和9.角谷定理”的內容為對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對它乘3再加1;如果它是偶數(shù)，則對它除以 2.如此循環(huán)，最終都能夠得到1 .如圖為研究角谷定理的一個程序框圖.若輸入 n的值為10,則輸出i的值為()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】 根據(jù)流程逐步分析，直到 n 1時，計算出i的值即可.【詳解】(1)n 10,i 0；(2)n 5,i 1； n 16,i 2；(4)n 8,i

11、3；(5)n 4,i 4；(6) n 2,i 5； (7) n 1,i 6.故選B.本題考查根據(jù)程序框圖計算輸出值，難度較易.程序框圖問題，多數(shù)可以采用列舉法的方式解答問題.210 .設拋物線y2 2 Px(p 0)的焦點為F ,準線為l ,過拋物線上一點 A作l的垂線,垂足為B ,設C 7 P,0 , AF與BC相交于點E ,若CF 2| AF| ,且 ACE的面積為3 J2，則p的值為B.C. 3【解析】試題分析：設點A(/、)，則因為尸仁汕，所以由 cf 2af 可得再由拋物線的定義可得：4目二|且3|=¥,即/,人工二？，所以七二尸，於二所以AJFC的面積為：舅3戶二津百，所

12、以 ACE的 22面積為 匕迫/二史 一二3衽，所以P- =6 ,即廿二n，故應選A.【考點】1、拋物線的定義；2、拋物線的簡單幾何性質.11 .現(xiàn)有一副斜邊長相等的直角三角板.若將它們的斜邊 AB重合，其中一個三角板沿斜邊折起形成三棱錐 A BCD ,如圖所示，已知DAB , BAC 一,三棱錐的64C.D.24. 348)【答案】B 【解析】 設三棱錐A BCD的外接球的半徑為r ,由球的體積得球的半徑，當平面ABC 平面ABD時，三棱錐的體積達到最大，利用體積公式計算，即可得答案【詳解】 設三棱錐 A BCD的外接球的半徑為r ,因為4 r2 4 r 1,因為 ADB ACB 90 ,所

13、以AB為外接球的直徑，所以 AB 2,且 AD J3, BD 1,AC BC 22.當點C到平面ABD距離最大時，三枝錐 A BCD的體積最大，此時平面ABC 平面ABD ,且點C到平面ABD的距離d 1 ,所以 VA BCDVCABD S SAABDd - 3' 3 11.33 26故選：B.【點睛】本題考查三棱錐與球的內接問題、三棱錐體積的最大值、球的體積公式，考查函數(shù)與方 程思想、轉化與化歸思想，考查空間想象能力和運算求解能力，求解時注意球心位置的 確定.12.設函數(shù) f(x) sin(x ），其中 0,-,-,已知f(x)在0,2 上有且4 3僅有4個零點，則下列的值中滿足條件

14、的是（A.13611B.一6D.【解析】設t x ，則別2，從而將問題轉化為y sint在,2上有4個零點，從而彳#到4 , 25 ，再利用不等式恒成立問題求得的范圍,即可得答案.【詳解】設t x ，則蒯2,所以y sint在,2上有4個零點,因為 一，一，所以4 , 254 3日口 15，即一, 87一,滿足的只有A.3所以2 ,所以o 42廣故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)值，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意換元法的應用二、填空題 r r r rr r13 .若 |a| 3, |b| 2, |a+2b| J37 ,則 a與

15、b 的夾角為 .【答案】3r rr r _【解析】 設a與b的夾角為 ，對等式|a+2b| J37兩邊平方，再利用向量的數(shù)量積運算，求得cos的值，即可得答案.【詳解】r r設a與b的夾角為，加 r r 2r2 r r 21則 |a 2b| a 4ab 4b 9 4 3 2 cos 4 4 37,斛伶：cos -所以 一.3故答案為：一. 3【點睛】本題考查向量的夾角、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力 .14 .記Sn為等比數(shù)列 an的前n項和，若數(shù)列 Sn 2al也為等比數(shù)列，則S4S3 .15【答案】14【解析】設等比數(shù)列 an的公比為q,利

16、用等比數(shù)列 Sn 2a1的等比中項性質可得公比q,再代入等比數(shù)列的前 n項和公式中，即可得答案.【詳解】設等比數(shù)列 an的公比為q,:數(shù)列& 2a1為等比數(shù)列,a2ai1ai a2a3 ai ,解得：q 3,1523、,S4 a a2 a3 a4 ai(1 q q q )8152Z27,S331a 2 a3a1(1 q q )714415故答案為：15.14【點睛】本題考查等比數(shù)列中的基本量法運算、等比數(shù)列的通項公式和前 n項和公式，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力15 .某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分正品與次品，正品重 100g,次品重110g,現(xiàn)有5袋產(chǎn)品(

17、每袋裝有10個產(chǎn)品)，已知其中有且只有一袋次品(10個產(chǎn)品均為次品)如果將 5袋產(chǎn)品以15編號，第i袋取出i個產(chǎn)品(i 1,2,3,4,5),并將取出的產(chǎn)品一起用秤(可以稱出物體重量的工具)稱出其重量 y,若次品所在的袋子的編號是2,此時的重量y g ；若次品所在的袋子的編號是n ,此時的重量y g .【答案】15201500 10n,n 1,2,3,4,5【解析】第1袋取1個，第2袋取2個，第3袋取3個，第4袋取4個，第5袋取5個, 共取15個.若次品是第2袋，則15個產(chǎn)品中正品13個，次品2個，若次品是第n(n 1,2,3,4,5)袋，則15個產(chǎn)品中次品n個，正品15 n個，分別進行計算，

18、即可得答案.【詳解】第1袋取1個，第2袋取2個，第3袋取3個，第4袋取4個，第5袋取5個，共取15個.若次品是第2袋，則15個產(chǎn)品中正品13個，次品2個，此時的重量y 100 13 110 2 1520,若次品是第n(n 1,2,3,4,5)袋，則15個產(chǎn)品中次品n個，正品15 n個，此時的重量 y 100 (15 n) 110 n 1500 10n,n 1,2,3,4,5.故答案為：1520； 1500 10n,n 1,2,3,4,5【點睛】本題考查數(shù)學推理應用題，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意對題意的理解.216 .已知點P是雙曲線x2 1右支上一動點，F(xiàn)i,F2是雙曲線的左、

19、右焦點，動 3uuiruuuruuuupfpfuuu點Q滿足下列條件： QF2uuu1uuur0,QpIPFil IPF2Iuuur愿|PFi Iuuur醫(yī)IPF2I0,則點Q的軌跡方程為【答案】x2 y2 1(y 0)【解析】設動點Q的坐標為（x, y）,延長F2Q交PF1于點A,根據(jù)向量的加法法則及數(shù)1量積為0,可得QF2 PQ ,利用雙曲線的定義可得|OQ I -|AF1 1 ,即可得答案【詳解】設動點Q的坐標為（x,y）,延長F2Q交PF1于點A, 由條件知點Q在 F1PF2的角平分線上，結合條件知QF2 PQ ,所以在 PF2A中，PQ F2A.又PQ平分 APF2,所以 PF2A為

20、等腰三角形，即|PA| |PF2, |AQ| |QF2 .因為點P為雙曲線上的點，所以|PF1| PF2 2,即|PA| AF1 PF2| 2,所以|AFj 2.又在VF1AF2中，Q為AF2的中點，。為F1F2的中點，所以IOQI *11,所以點Q的軌跡是以O為圓心，半徑為1的圓，所以點Q的軌跡方程為x2 y2 1（y 0）.22故答案為：x y 1(y 0).【點睛】本題考查單位向量、向量的數(shù)量積、向量的加法法則的幾何意義、雙曲線的定義、軌跡方程的求解，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意平面幾何知識的應用 三、解答題17 .在 AB

21、C中，角A, B , C所對的邊分別是a,b,c,且csin2B bsin(A B)(1)求角B的大小;(2)設 a 4, c 6 ,求 sinC 的值.【答案】(1) B (2)3/2131422.2(2)由余弦定理可得，cosB a一c2ac【解析】(1)由已知結合正弦定理化簡可求 cosB,進而可求B；1 ，一一, 、一 一r,代入可求b ,由正弦定理可得,2csin BsinC 可求.b解：(1)由正弦定理得 sinCsin2B sinBsin(A B) 0,化簡得 2sin Csin BcosB sin Bsin C 0 .因為在三角形中，sinB_ 1可得cosB -2又因為B (

22、0,),所以(2)由余弦定理可得,2acosB 一2-2c b2ac216 36 b1一,2 4 62所以b 2.7 ,由正弦定理可得，sinCcsin Bb3、2114本題主要考查了兩角和及二倍角的公式,正弦定理,余弦定理的綜合應用，屬于中等試題.18 .為實現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結合某貧困村水質優(yōu)良的特點，決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進行養(yǎng)殖試驗，試驗后選擇其中一種進行大面積養(yǎng)殖，已知魚苗甲的自然成活率為0.8.魚苗乙，丙的自然成活率均為0.9,且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨立(1)試驗時從甲、乙，丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾

23、數(shù)為 X ,求X的分布列和數(shù)學期望；(2)試驗后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購買n尾乙種魚苗進行大面積養(yǎng)殖，為提高魚苗的成活率，工作組采取增氧措施， 該措施實施對能夠自然成活的魚苗不產(chǎn)生影響.使不能自然成活的魚苗的成活率提高了50%.若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元，不成活則虧損 2元，且扶貧工作組的扶貧目標是獲利不低于37.6萬元，問需至少購買多少尾乙種魚苗？【答案】(1)分布列見解析，2.6 (2) 40000尾【解析】(1)由題意得隨機變量 X的所有可能取值為0, 1, 2, 3,利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率，可計算 P(X 0), P(X 1),P(X 2), P(X 3)的

24、值，進而得到分布列和期望；(2)依題意知一尾乙種魚苗最終成活的概率為0.95,計算一尾乙種魚苗的平均收益，進而1t算n尾乙種魚苗最終可獲得的利潤，再解不等式，即可得答案【詳解】(1)記隨機變量 X的所有可能取值為0, 1, 2, 3,則 P(X 0) 0.2 0.1 0.1 0.002,P(X1) 0.8 0.1 0.1 0.2 0.9 0.1 0.2 0.1 0.9 0.044 ,P(X 2)0.8 0.9 0.1 0.8 0.1 0.9 0.2 0.9 0.9 0.306,P(X 3) 0.8 0.9 0.9 0.648.故X的分布列為X0123P0.0020.0440.3060.648E

25、(X) 0 0.002 1 0.044 2 0.306 3 0.648 2.6 .(2)根據(jù)已知乙種魚苗自然成活的概率為0.9,依題意知一尾乙種魚苗最終成活的概率為0.9 0.1 0.5 0.95所以一尾乙種魚苗的平均收益為10 0.95 2 0.05 9.4元.設購買n尾乙種魚苗，E(n)為購買n尾乙種魚苗最終可獲得的利潤,則 E(n) 9.4n376000 ,解得 n40000.所以需至少購買 40000尾乙種魚苗，才能確保獲利不低于37.6萬元.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列、期望、利潤最大化的決策問題，考查函數(shù)與方程思想、，考查數(shù)據(jù)處理能力.19 .如圖，圓柱的軸截面 ABCD

26、是邊長為2的正方形，點P是圓弧CD上的一動點(不 與C,D重合)，點Q是圓弧AB的中點，且點P,Q在平面ABCD的兩側.(1)證明：平面 PAD 平面PBC ;(2)設點P在平面ABQ上的射影為點。，點E,F分別是4PQB和VPOA的重心,當三棱錐P ABC體積最大時，回答下列問題(i)證明：EF/平面PAQ;(ii)求平面 PAB與平面PCD所成二面角的正弦值(1)見解析(2) ( i )見解析(ii )2.5【解析】(1)證明PC垂直平面PAD內的兩條相交直線 AD,PD ,再利用面面垂直的判定定理證明即可;(2)當三棱錐P ABC體積最大時，點P為圓弧CD的中點，所以點O為圓弧AB的 中

27、點，所以四邊形 AQBO為正方形,且PO 平面ABO. ( i )連接PE并延長交BQ 于點M ,連接PF并延長交OA于點N ,連接MN ,則MN /AQ ,再由線面平行的 判定定理證得結論；(五)由PO 平面ABO, AO垂直BO ,所以以O為坐標原點， OA,OB,OP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，求出平面PAB的法向量r _ _irn (J2, J2,1),平面PCD的法向量m (0,0,1),求兩向量夾角的余弦值，進而得到 二面角的正弦值.【詳解】(1)因為ABCD是軸截面，所以 AD 平面PCD,所以AD PC,又點P是圓弧CD上的一動點(不與 C,D重合)，且CD為直徑

28、，所以PC PD ,又AD PD D,PD 平面PAD, AD 平面PAD,所以PC 平面PAD ,而 PC 平面PBC ,故平面PAD平面PBC .(2)當三棱錐P ABC體積最大時，點P為圓弧CD的中點，所以點O為圓弧AB的 中點，所以四邊形 AQBO為正方形，且PO 平面ABO.(i )連接PE并延長交BQ于點M ,連接PF并延長交OA于點N ,連接MN ,則 MN / /AQPEPF2因為E,F分別為兩個三角形的重心，. ，EF/MNPMPN3所以EF / /AQ ,又AQ 平面PAQ, EF 平面PAQ ,所以EF /平面PAQ .(ii ) PO 平面ABO, AO垂直BO,所以以

29、O為坐標原點，OA,OB,OP所在直線為x, y,z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：_urn_ uur _ _則 P(0,0,2), AG/2,0,0), B(0,衣0), PA (72,0, 2), AB ( Q),設平面0,2x 2z 0, r即可取n0,. 2x , 2y 0,(”,V2,i)，rv PAPAB的法向量 n (x,y,z),則 v uuv n ABir又平面PCD的法向量m (0,0,1),r ir_r ur n m 1. 5 . r ir 2 r5所以 cos n, m-rJ = ,所以 sin n, m .|n|m|.555所以平面PAB與平面PCD所成二面角的正弦值

30、為 空5.5【點睛】本題考查空間中的線面平行、面面垂直、二面角的向量求解，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查空間想象能力和運算求解能力，求解時注意建系前必需證明三條直線兩兩互相垂直.22 x y20 .已知橢圓C:2一1(a b 0)的左、右焦點分別為 Fi, F2是橢圓上一動點 a b(與左、右頂點不重合)已知pf1f2的內切圓半徑的最大值為 Y3,橢圓的離心率為 31.2(1)求橢圓C的方程；(2)過F2的直線l交橢圓C于A, B兩點，過A作x軸的垂線交橢圓 C與另一點Q ( Q| AB |不與A, B重合).設 ABQ的外心為G ,求證 ="為定值.GF222【答案】(1

31、) 1 (2)見解析433【解析】(1)當PF1F2面積最大時，r最大，即P點位于橢圓短軸頂點時r Y3,3即可得到b的值，再利用離心率求得 a,c,即可得答案;(2)由題意知，直線 AB的斜率存在，且不為 0,設直線AB為x my 1 ,代入橢圓、一 _22_萬程得3m 4 y 6my 90 .設A,B X2,y2 ,利用弦長公式求得1AB |,| AB |利用AB的垂直平分線方程求得 G的坐標，兩個都用 m表示，代入 行中，即可得GF 2答案.【詳解】c 1000-(1)由題息知：一一，a 2Gba c , b 73c.a 2設PF1F2的內切圓半徑為r,-1_1 _則 SvpfePF1P

32、F2F1F2r -(2a2c)r (a c) r ,1 222故當PF1F2面積最大時，r最大，即P點位于橢圓短軸頂點時 r 吏，3所以 Y3(a c) bc,把 a 2c,b 73c代入，解得：a 2,b J3,322所以橢圓方程為1.43(2)由題意知，直線 AB的斜率存在，且不為 0,設直線AB為x my 1,代入橢圓方程得2.23m 4 y 6my 9 0.6m設 A"/ ,BX2,y2 '則-¥2 3m1,y1y293m2 4，所以AB的中點坐標為4 3m-2, Z 23m 4 3m 4所以 |AB| .1 m2 1yl ，21 .1 m212.1 m23

33、m2 4212 1 m23m2 4因為G是 ABQ的外心，所以G是線段AB的垂直平分線與線段 AQ的垂直平分線的交點，AB的垂直平分線方程為3m3m2 43m2 4第25頁共21頁令y 0,得x1r1 ,一1一，即 G ,0 ,所以 GF23m2 43m 413m2 43m2 33m2 412 m2 1所以1AB | 3m2 412 4,所以1AB|為定值，定值為4.GF2|3m 33GF23m2 4【點睛】 本題考查橢圓方程的求解、離心率、直線與橢圓位置關系中的定值問題，考查函數(shù)與方 程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意將問題轉化為關于變量m的表達式，進而求證得

34、到定值 .21 .已知函數(shù) f(x) 2x (1 2a)ln x a. x(1)討論f(x)的單調性； 一 x1 x2一(2)如果萬程f (x) m有兩個不相等的解 x,x2,且x x2,證明：f 0.2【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)對函數(shù)f(x)進行求導得f (x) (x a)(2x 1)(x 0),再對a進行分類 x討論，解不等式，即可得答案；(2)當a, 0時，f (x)在(0,)單調遞增，f(x) m至多一個根，不符合題意；當a 0時，f(x)在(0,a)單調遞減，在(a,)單調遞增，則f (a) 0 .不妨設0 x1 a x2 ,只要證x1 x2 ax2 2a x1，

35、再利用函數(shù)的單調性，即可證得結論2【詳解】/八1 2a a2x2 (1 2a)x a(1)f (x) 2 -x xx(x a)(2x 1)(x0).當a, 0時，x (0,),f (x) 0, f (x)單調遞增;當a 0時，x (0,a), f (x) 0, f(x)單調遞減;x (a,), f (x) 0, f(x)單調遞增.綜上：當a, 0時，f(x)在(0,)單調遞增；當a 0時，f(x)在(0,a)單調遞減，在(a,)單調遞增.當a, 0時，f(x)在(0,)單調遞增，f(x) m至多一個根，不符合題意;當a 0時，f(x)在(0,a)單調遞減，在(a,)單調遞增，則f (a) 0

36、.不妨設0 x1 a x2 ,rx1 x2要證f 2x1X2 2a ,即證 x22a x1.因為f (x)在(a,)單調遞增，即證x2 f2ax1，因為f 乂2fxif 2axi,即證f (ax)f(a x).令 g(x) f(ax) f (ax)2(a x) (12a)ln( ax)2(ax)(1 2a)ln( ax)4x (12a)ln( ax)(12a)ln( ag (x) 41 2a1 2aa(a x)2a(a x)2所以2a(1 2a)22a x2a a2(a x)2(a x)22224x x a(a x)2(a(0,a)時，g (x) 0,g(x)單調遞減，又 g(0)f (a0) f(a0) 0,x (0,a)時，g(x) g(0) 0,即 f(a x)f