【高中數(shù)學(xué)】不等式證明方法ppt課件

1、不 等 式 的 證 明天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696321【例例1】已知已知a0a0，b0b0，求證：，求證：a3+b3a2b+ab2.(.(課本課本P12P12例例3)3)即即a3+b3a2b+ab2. .證明一：證明一：比較法（作差）比較法（作差）（a3+b3）- -（a2b+ab2）=（a3- - a2b）+（b3- -ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)a0a0，b0b0，( a- -b)2(a+b)0.故（故（a3+b3）- -（a2b+ab2）0,a+b00，而，而( a- -b)20.=( a- -b)2(a+b).=(a

2、-b)( a2- -b2)天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696322故故a3+b3a2b+ab2. .2233abbaba 證明二：證明二：比較法（作商）比較法（作商）a2+b22ab，ababab2 ababba22 )ba(ab)abba)(ba(22 1 又又a0a0，b0b0，所以，所以ab00，3所以有所以有a3+b3a2b+ab2. .證明三：分析法證明三：分析法欲證欲證a3+b3a2b+ab2，只需證明只需證明(a+b)(a2+b2- -ab)ab(a+b).由于由于a0a0，b0b0，所以所以a+b00，故只要證明故只要證明a2+

3、b2- -abab即可。即可。即即證明證明a2+b22ab.而而a2+b22ab 顯然是成立的顯然是成立的天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696324即即a3+b3a2b+ab2.證明四：綜合法證明四：綜合法a2+b22ab，a2+b2- -abab.又又a0a0，b0b0， a+b00，故故(a+b)(a2+b2- -ab)ab(a+b).天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696325【例例2】已知已知a0a0，b0b0，求證：，求證：課課本本習(xí)習(xí)題題改改變變）.(baabba22 證明一：比較法（作差

4、）證明一：比較法（作差）) ba (abba22 baabba22 所所以以，0 ab)ba()ba(2 ab)ba)(ba(22 ab)ab(b)ba(a22 ababbaba2233 天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696326證明二：比較法（作商）證明二：比較法（作商）baabba22 而而a0a0，b0b0，所以，所以a+b0.a+b0. baabba22 故故1 ababab2 ababba22 )ba(abba33 7證明四證明四:綜合法綜合法b2aab2 同理同理a2bba2 b2a2aabbba22 baabba22 即即0b, 0

5、a 8a1a2a3an,b1b2b3bn,a1bn+a2bn-1+ + an-1b2+anb1.a1b2+a2b3+ + an-1bn+anb1則則a1b1+ +a2b2+a3b3+ +anbn9【例例3】求證求證: :(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).證明一：證明一：(比較法比較法)(ac+bd)2- -(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).=2abcd- - a2d2- -b2c2=(a2c2+b2d2+2abcd)- -(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2)=- -(ad- -bc)20.0.10證明二：證明二：(分析法分析法)證明三

6、：證明三：(綜合法綜合法)一般地一般地,對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)ai,bi(i=1,2,3, ,n),都有都有:(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn) 2.( (柯西不等式柯西不等式) )11【例例4】設(shè)設(shè)-1a1,-1b1,-1a1,-1b1,求證求證: : . .ab12b11a1122 證明一證明一:比較法比較法(作差作差)ab12b11a1122 )ab1)(b1)(a1 (ba2b2a22baaba1ababb12222223232 )ab1)(b1)(a1()b1)(a1(2)ab1)(a1()ab1)(b1(222222 12)ab1)(

7、b1)(a1(ba2baabab2ba22223322 )ab1)(b1)(a1()ba(ab)ba(2222 )ab1)(b1)(a1()ab1()ba(222 13-1-1a1,-1-1b0， 1- -a20,1- -b20, 1- -ab0.所以所以，(1-(1-a2)(1-)(1-b2)(1-ab)0,)(1-ab)0, 14證明二證明二:分析法分析法證明三證明三:綜合法綜合法a2+ +b22ab, 2ab, 22b11a11 ab12)ab1 (122 2222baba112 22b11a112 -a2- -b2-2ab.-2ab.從而從而01+00.1-ab0.15證明四證明四:換

8、元法換元法設(shè)設(shè)a=sin,b=,b=sin,則則 2222sin11sin11b11a11ab12sinsin12 |sinsin)cos(|2 |coscos|2coscos|coscos|222 22222222coscoscoscos)sin1)(sin1 ()sin1 ()sin1 (16思考思考 6422aaa1a11 )ba()ba()ba(2b11a1166442222ab12 6422bbb1b112+2ab+22+2ab+2a2b2+ + =2(1+ab+=2(1+ab+a2b2+ +) )17【例例5】設(shè)設(shè)a0,b0,a0,b0,且且a+b=1,a+b=1,求證：求證：32

9、1b41a4 證明一證明一(分析法分析法)12)1b4)(1a4(2)1b4()1a4( 3)1b4)(1a4( (4a+1)(4b+1) 9916ab+4a+4b+1916ab+4a+4b+19 41ab 321b41a4 18證明二證明二(綜合法綜合法)因?yàn)橐驗(yàn)閍0,b0,a0,b0,且且a+b=1,a+b=1,所以所以, 2b22)1b4(3)1b4(3 , 2a22)1a4(3)1a4(3 從而從而 + + . .1a4 1b4 3236)2b2()2a2(31 19【例例6】已知已知m0,m0,求證求證: :m+ 33.2m4證明一證明一(比較法比較法)m+ - -3=2m4223m4m3m m+2m4330 22m)1m()2m( 2223m4mm2m 20證明二證明二(綜合法綜合法)m+ = 2m42m42m2m 證明三證明三(函數(shù)思想函數(shù)思想)設(shè)設(shè)f(x)=x+ ,則則f (x)=1- ,- ,令令f(x)=0,得得: x=2.2x43x8當(dāng)當(dāng)0 x22時(shí)時(shí), f (x)0.2 2時(shí)時(shí), f (x)0.0.所以當(dāng)所以當(dāng)x=2時(shí)時(shí), , f(x)取到最大值取到最大值3, 故當(dāng)故當(dāng)m0m0時(shí)時(shí), ,有有 m+ 3.3. 2m4