相似三角形的性質(zhì)與判定專題講義(基礎(chǔ))

1、相似三角形的性質(zhì)與判定專題講義一、知識梳理(一、相似三角形的性質(zhì):1、相似三角形的對應(yīng)角 ,對應(yīng)邊 。2、相似三角形的對應(yīng)高,對應(yīng)中線,對應(yīng)角平分線的比都等于 。3、相似三角形對應(yīng)周長的比等于 。4、相似三角形對應(yīng)面積的比等于 。注意:在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解題時,一定要確定好對應(yīng)邊、對應(yīng)角;若果不能確定,則應(yīng)當(dāng)進(jìn)行分類討論。(二、相似三角形的判定: 1、判定兩個三角形相似的條件:(1平行截割: _(2兩角對應(yīng)相等: (3兩邊夾: (4三邊比:_2、判定兩個三角形相似的一般步驟:(1先通過已知或平行、對頂角、公共邊、尋找是否存在兩對相等的角 (2若只能找到一對對應(yīng)角相等,則再找到一對對應(yīng)角相等

2、,或找夾這個角的兩邊是否對應(yīng)成比例。 (3若找不到相等的角,就分析三邊是否3、等積式的證明思路遇等積,化等比;橫找、豎找定相似;不相似,莫生氣,等線等比來代替。二、基礎(chǔ)練習(xí)1.(2013重慶已知ABC DEF ,若ABC 與DEF 的相似比為3:4,則ABC 與DEF 的面積比為( A .4:3B .3:4C .16:9D .9:162.兩相似三角形的最短邊分別是5cm 和3cm ,它們的面積之差為32cm 2,那么小三角形的面積為( A .10cm 2B .14cm 2C .16cm 2D .18cm 23.如圖,已知ABC ,AB=6,AC=4,D 為AB 邊上一點,且AD=2,E 為AC

3、 邊上一點(不與A 、C 重合,若ADE 與ABC 相似,則AE=( A .2B .34 C .3或43D .3或345.如圖,D 、E 分別是AC ,AB 上的點,ADE =B ,AG BC 于點G ,AF DE 于點F.若AD =3,AB=5,求: (1AGAF;(2ADE 與ABC 的周長之比;ABCDEF三、重難點高效突破專題一:計算線段的長度或線段之間的比在幾何中線段長度計算常用的方法是:1、運(yùn)用勾股定理計算;2、運(yùn)用相似三角形對應(yīng)邊成比例計算;3、綜合運(yùn)用進(jìn)行計算。典型例題1、(2012株洲如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿直線MN對折,使A、C 重合,直線MN交AC于

4、O. (1求證:COMCBA;(2求線段OM的長度.典型例題2、(2012鐵嶺已知:在直角梯形ABCD中,ADBC,C=90°,AB=AD=25,BC=32.連接BD,AEBD,垂足為E. (1求證:ABEDBC;(2求線段AE的長.典型例題3、(2013安順在平行四邊形ABCD中,E在DC上,若DE:EC=1:2,則BF:BE= . BC AC52、(2013巴中如圖,在平行四邊形ABCD 中,過點A 作AE BC ,垂足為E ,連接DE ,F 為線段DE 上一點,且AFE=B(1求證:ADF DEC ; (2若AB=8,AD=36,AF=34,求AE 的長.綜合提高1、(2009

5、甘孜州已知如圖,ABCD 中,DBC=45°,DE BC 于E ,BF CD 于F ,DE 、BF 相交于H ,BF 、AD 的延長線相交于G .(1求證:AB=BH ; (2若GA=10,HE=2.求AB 的值.專題二:等積式、等比式的證明對應(yīng)線段成比例除了用來計算線段長度外,它也是我們證明等積式、等比式的一個重要理論依據(jù)。 處理這類問題的口訣是:遇等積,化等比;橫找、豎找定相似;不相似,莫生氣,等線等比來代替。等積問題證明第一步:化等比,定相似遇到等積問題時,首先把等積化為等比的形式,然后考慮證明兩個三角形相似。例1、(2011閘北區(qū)一模如圖,ABC 是直角三角形,ACB=90&

6、#176;,CD AB 于點D ,E 是AC 的中點,ED 的延長線與CB 的延長線交于點F .求證:FCFDFD FB 變式練習(xí):點E是四邊形ABCD的對角線上一點,且BAC=BDC=DAE,求證:BE·AD=CD·AE等積證明第二步:不相似,莫生氣,等線等比來代替。若在化等比,定相似的基礎(chǔ)上不能通過證明兩個三角形相似來實現(xiàn)等積的證明,此時可通過查找問題中所隱含的相等的線段或相等比值的條件,用等線或相等的比值來代替等比式中的相應(yīng)部分,再在此基礎(chǔ)上通過其它的手段來證明等積問題。例2: 中,E 為邊AD延長線上的一點,BE交CD于F。試說明:CD·BC=AE

7、3;FC的理由。變式練習(xí):1、如圖,已知,在矩形ABCD中,AC是對角線,AF平分BAC交BC于F ,FGAC于H交AD于G,求證:DCFCACBF=2、(1997吉林已知:如圖,ABC中,AB=AC,AD是中線,P是AD上一點,過C作CFAB,延長BP交AC于E,交CF于F、求證:BP2=PEPF.E例3、如圖,P 的邊DC的延長線上的一點,連接AP交DB、BC于M、N,求證:AM2=MN·MP變式練習(xí):梯形ABCD中,ABDC,E是AB的中點,直線DE分別與對角線AC,直線BC相交于M和N,求證: MD·NE=ME·ND綜合提高1、(2012天水如圖所示的一張

8、矩形紙片ABCD(AD>AB,將紙片折疊一次,使點A與C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,交AC于點O,分別連接AF和CE.(1求證:四邊形AFCE是菱形;(2過E點作AD的垂線EP交AC于點P,求證:2AE2=ACAP;(3若AE=10cm,ABF的面積為24cm2,求ABF的周長.專題三:相似三角形中的面積問題一、求三角形面積常用方法1、面積公式2、等高或等底法3、相似三角形的性質(zhì)二、例題及變式練習(xí)例1:如圖,DEBC, ADE與ABC的相似比是_,面積之比是_.P12ADBD且CBEDANA BECDM例 2、 已知如圖， 梯形 ABCD 中， ABCD， CO

9、D 與AOB 的周長比為 1： 則 CD： 2， AB= SCOB：SCOD= ， 例 3、 ：如圖,DEBC ,DFAC, SABC =a , 且 _. AD 1 = 則四邊形 DFCE 的面積為 BD 2 A D E B D C 變式一： 如圖,平行四邊形 ABCD 中,AE:EB=2:3, 則 SAPE :SCPD=_. F C A E B 變式二：如圖,平行四邊形 ABCD 中,BE:AB=2:3, 且 SBPE =4, 求平行四邊形 ABCD 的 面積. D C P A E B 變式三：如圖,AC 是平行四邊形 ABCD 的對角線,且 AE=EF=FC, 求 SDMN: SACD D F B N C E A 變式四：如圖, ABC 中,ADBC,聯(lián)結(jié) CD 交 AB 于點 E,且，且 AE：EB=1：3，過 點 E 作 EF BC，交 AC 于點 F， S = 2, 求S 和S D A D