函數(shù)與極限 學(xué)習(xí)指導(dǎo)書

1、第一章函數(shù)與極限教學(xué)與考試基本要求：1理解函數(shù)、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，函數(shù)的特性，會求函數(shù)的定義域；2理解數(shù)列、函數(shù)極限概念，掌握函數(shù)的存在極限與極限間的關(guān)系，無窮小與無窮大間的關(guān)系，無窮小與極限間的關(guān)系；3會靈活運用極限四則運算法則及兩個重要極限求函數(shù)的極限；4理解函數(shù)的連續(xù)性與間斷點的概念，會判斷間斷點的類型1.1函數(shù)一、主要內(nèi)容回顧函數(shù)設(shè)和是兩個變量，是一個給定的非空數(shù)集，如果對于每個數(shù)，變量按照一定的對應(yīng)法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記作叫做自變量，叫做因變量，數(shù)集叫做這個函數(shù)的定義域一個函數(shù)當它的定義域及對應(yīng)法則確定后，這個函數(shù)就確定了，所以，定義域和對應(yīng)法則

2、稱為函數(shù)的兩要素反函數(shù)設(shè)在區(qū)間上有定義，對應(yīng)的函數(shù)值集合為，如果對于每個數(shù)，按照對應(yīng)法則，在中有惟一的數(shù)與對應(yīng)，則稱這樣得到的函數(shù)為在區(qū)間上的反函數(shù)，記為，或按字母使用習(xí)慣記為而稱為直接函數(shù)注：反函數(shù)定義域和值域與直接函數(shù)的值域和定義域?qū)?yīng)相等互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱復(fù)合函數(shù)若函數(shù)的定義域為，函數(shù)在數(shù)集上有定義，對應(yīng)的值域，并且，那么對于每個數(shù)值，有確定的數(shù)值與值對應(yīng)由于這個值也屬于函數(shù)的定義域，因此有確定的值與值對應(yīng)，這樣對于每個數(shù)值，通過有確定的數(shù)值與對應(yīng)，從而得到一個以為自變量，為因變量的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由函數(shù)及復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作，而稱為中間變量注：不是任意兩個函數(shù)

3、都能復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)可以有多個中間變量基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成并且可以用一個式子表示的函數(shù)，叫做初等函數(shù)有界性設(shè)數(shù)集是函數(shù)的定義域的一個子集如果存在正數(shù)，使得與任一所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)在上有界，否則稱函數(shù)在上無界注：有界函數(shù)在上的圖象夾在兩平行線之間單調(diào)性設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，對于內(nèi)任意兩點（）如果當時，恒有，則稱函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增加的；（）如果當時，恒有，則稱函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)減少的注：單調(diào)增加函數(shù)的圖象從左往右是上升的；單調(diào)減少函數(shù)的圖象從左往右

4、是下降的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，如果對于任一，恒有，則稱為奇函數(shù)；如果對于任一，恒有，則稱為偶函數(shù)注：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱周期性對于函數(shù)，如果存在一個不為零的數(shù)，使得對于定義域內(nèi)的任何值，仍在定義域內(nèi)，且關(guān)系式恒成立，則稱為周期函數(shù)稱為它的一個周期注：函數(shù)的周期是指它的最小正周期；周期為 的周期函數(shù)的圖象，在長度為的任何區(qū)間上有相同的形狀二、基本題型及例題題型I判斷題（1）函數(shù)與為同一函數(shù)（2）函數(shù)與為同一函數(shù)解（1）對由于與的定義域都是，對應(yīng)法則也相同，所以它們是同一函數(shù)（2）錯雖然與的定義域都是，但它們的對應(yīng)法則不一樣，所以它們不是同一函數(shù)題型II計算

5、題（1）設(shè)，求（2）求函數(shù)的定義域解（1），（2）依題意 解之得，即函數(shù)的定義域為。題型III證明題設(shè)，則在上有界證因為，所以在上有界三、習(xí)題選解（習(xí)題11）2求下列函數(shù)的定義域：（）；（）；（）；（）；（）；（）解（1）由得（2）由， 得，從而（3）由，得（4）由，得（）由，得（）由，得7設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間內(nèi)的，證明：（）兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)（）兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)證（1）設(shè)都是內(nèi)的偶函數(shù)，則，所以為偶函數(shù)同理可證奇函數(shù)情形（2）設(shè)是內(nèi)的偶函數(shù)，是內(nèi)的奇函數(shù)，則令則所以是奇函數(shù)其余兩個類似

6、證明8試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：（）；（）證（1）任取，且設(shè)，由于所以在（1,0）內(nèi)單調(diào)減少（2）任取，且設(shè)，由于所以在內(nèi)單調(diào)增加10求下列函數(shù)的反函數(shù)：（）；（）；（）；（）解（1）由，解得，故反函數(shù)為（2）由，解得，故反函數(shù)為（3）由，解得，故反函數(shù)為（4）由，解得，故反函數(shù)為12設(shè)的定義域是，問（），（），（），（）的定義域各是什么？解（1）由得，所以，的定義域是（2）由得，所以，的定義域是（3）由得，所以，的定義域是（4）由，得，所以，的定義域是：當時，；當時，；當時，13設(shè)，求和解141998年在上海乘大眾出租車的第一5km（包括以內(nèi)）路程要付費14.40元，續(xù)后的每1km（

7、包括1km以內(nèi)）需要付費1.40元，試把付費金額元表達成距離km的函數(shù)，其中解1.2數(shù)列的極限一、主要內(nèi)容回顧?quán)徲蛟O(shè)與是兩個實數(shù)，且，數(shù)集稱為點的鄰域，記作，即，點叫做的中心，叫做的半徑而集合稱為點的去心鄰域稱為點的去心的左鄰域，稱為點的去心的右鄰域數(shù)列極限設(shè)為一常數(shù)若當充分大時，總能保持小于預(yù)先給定的無論怎樣小的正數(shù)，就稱為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于，記為或如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的數(shù)列收斂于也可說成任何內(nèi)含有的無窮多項有界數(shù)列對于數(shù)列，如果存在正數(shù)，使得對一切都有，則稱數(shù)列有界；如果這樣的正數(shù)不存在，就說數(shù)列無界收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列必有界注：有界數(shù)列不一定收斂，發(fā)散數(shù)列不一定無界

8、二、基本題型及例題題型I選擇題（1）數(shù)列收斂是數(shù)列有界的（）A必要條件B充分條件C充要條件D無關(guān)條件（2）下列數(shù)列中收斂的是（）ABCD解 （1）選A； （2）選C三、習(xí)題選解（習(xí)題12）4設(shè)，討論數(shù)列的極限并舉例說明在極限存在的條件下極限不一定存在解由，則當充分大時，總能保持小于預(yù)先給定的無論怎樣小的正數(shù)，此時也成立，即如數(shù)列，但不存在1.3 函數(shù)的極限一、主要內(nèi)容回顧函數(shù)極限（1）自變量趨于有限數(shù)的極限設(shè)函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當充分接近（但不等于）時，對應(yīng)的函數(shù)值與某個確定的常數(shù)之差的絕對值總能保持小于預(yù)先給定的正數(shù)（無論它多么?。?，則稱當趨于時函數(shù)的極限為，記為或?qū)⑸厦娑x

9、中的去心鄰域改為左（右）去心鄰域，就得到左（右）極限的定義，分別記為（）（2）自變量無限增大時的極限如果當充分大時，對應(yīng)的函數(shù)值與某個確定的常數(shù)之差的絕對值總能保持小于預(yù)先給定的正數(shù)（無論它多么小），則稱當時函數(shù)的極限為，記作或?qū)⒊浞执蟾臑榍覠o限增大，記作（或且無限增大，記作），就得到（或）的定義保號性如果且，則必存在的某一去心鄰域，當在該去心鄰域內(nèi)時，重要結(jié)論的充要條件是的充要條件是水平漸近線若(或)，則稱直線為曲線的水平漸近線注：需記住的幾個極限1；2；3；4；二、基本考試題型及配套例題題型I判斷題（1）若函數(shù)在有定義，則存在（）（2）若與都存在，則存在（）解（）錯； （）錯題型II證明題

10、證明不存在證設(shè)所以，故不存在三、習(xí)題選解求當時的左、右極限，并說明它們當時的極限是否存在解，所以；，所以不存在4判斷極限是否存在，并說明理由解由于所以不存在1.4無窮小與無窮大一、主要內(nèi)容回顧無窮小若（或），就稱函數(shù)當（或）時為無窮小注：無窮小是以為極限的變量說到無窮小，必須指明自變量的變化過程無窮小與絕對值很小的數(shù)不能混為一談零是惟一可以作為無窮小的常數(shù)無窮大（）若，則稱函數(shù)當時為無窮大（）若，則稱函數(shù)當時為正無窮大（）若，則稱函數(shù)當時為負無窮大注：無窮大是變量說到無窮大，必須指明自變量的變化過程無窮大與絕對值很大的數(shù)不能混為一談無窮小與極限的關(guān)系具有極限的函數(shù)等于它的極限與一個無窮小之和；

11、反之，如果函數(shù)可表示為常數(shù)與一個無窮小之和，那么該常數(shù)就是此函數(shù)的極限無窮小與無窮大的關(guān)系在自變量的同一變化過程中，如果為無窮小，且，則為無窮大；反之，如果為無窮大，則為無窮小鉛直漸近線若（或或），則稱直線為曲線的鉛直漸近線二、基本題型及例題題型I判斷題（1）變量按下面數(shù)列取值：變量是無窮大（2）設(shè)是自變量的某個變化過程中的無窮小，為該過程中的無窮大，則在該過程中以為極限解（1）錯因為不論取得有多大，后總有為0的項，對任何正數(shù)，不能成立，但是無界的這表明無界的數(shù)列不一定是無窮大（2）錯如當時，是無窮小，是無窮大，但，即它們的積是無窮大題型II填空題曲線的水平漸近線是_，鉛直漸近線是_解， 三、

12、習(xí)題選解（習(xí)題14）2證明：函數(shù)在區(qū)間上無界，但當時，該函數(shù)是無窮大證對于任意給定的正數(shù)，取，則只要，就有，這表明在上無界但它不是無窮大因為對于任意給定的正數(shù)，取，則不大于3設(shè)函數(shù)，問應(yīng)滿足什么條件能使？并證明時該函數(shù)是無窮大解因為，要使，只要，即對于任意給定的正數(shù)，要使，只要即這表明時函數(shù)是無窮大1.5極限運算法則一、主要內(nèi)容回顧極限運算法則（1）有限個無窮小之和、差、積仍是無窮?。?）有界函數(shù)與無窮小之積是無窮?。?）若，則（4）若，則特別地，若為正整數(shù)，；若為常數(shù)，（5）若且，則復(fù)合函數(shù)極限的計算設(shè)，而函數(shù)在連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)當時的極限存在，且也即注：連續(xù)函數(shù)求極限時函數(shù)符號與極限符號可以

13、交換位置二、基本題型及例題題型I判斷題（1）若存在，不存在，一定存在（）（2）若與都不存在，則一定不存在（）解（1）錯假設(shè)存在，由于，則由極限運算法則知，也存在，與條件矛盾假設(shè)錯誤（2）錯如設(shè)，及不存在，但題型II計算題計算下列各題：求；求；求解三、習(xí)題選解（習(xí)題15）1 計算下列極限：（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）解因為， 所以.計算下列極限：（）；（）解4已知，且存在，求解，因為存在，所以，從而1.6 極限存在準則及兩個重要極限一、主要內(nèi)容回顧極限存在準則（）夾逼準則：如果數(shù)列滿足下列條件：，則注：函數(shù)極限也有類似的結(jié)論（）單調(diào)有界準則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限兩個重要極

14、限（）注：只要，也有（），注：只要，也有二、基本考試題型及配套例題題型I填空題（1），（2） 已知，則解（1）0,1（2），所以題型II計算題（1）求；（2）求；（3）求解（1）（2）（3），而，由夾逼法則有三、習(xí)題選解（習(xí)題16） 1 計算下列極限：（）；（）；（）；（）；（）；（）解（1）（2）（3）（4）（5）（6）2計算下列極限：（）；（）；（）；（）解（）（）（）（）3利用極限存在準則證明：證設(shè)，則，即，而，所以1.7無窮小的比較一、主要內(nèi)容回顧無窮小的階設(shè)是自變量的同一變化過程中的無窮小量，若，則稱是比高階的無窮小，記作； 若，則稱是比低階的無窮??；若，則稱與是同階的無窮小；若，則

15、稱與是等價無窮小，記作 無窮小的性質(zhì)若，且存在，則這表明，求兩個無窮小之比的極限時，可以用等價無窮小來代替二、基本題型及例題題型I選擇題（1）當時，與比較是（）A等價無窮小B同階無窮小C低階無窮小D高階無窮?。?）當時，與是同階的無窮小是（）ABCD解（）（）題型2證明題證明：當時，（1）是無窮小，（2）證（1）（2）因為，所以三、習(xí)題選解當時，與相比，哪一個是高階無窮?。拷庖驗?，所以是比高階的無窮小1 當時，無窮小與（），（）是否同階？是否等價？解因為，所以是的同階無窮小，是的等價無窮小2 證明：當時，下列各對無窮小是等價的：（）（）解證（1），所以（2），所以3 利用等價無窮小的性質(zhì)，求下

16、列極限：（）；（）（為正整數(shù)）；（）；（）解（1）（2）（3）（4）4 設(shè)是無窮小，證明：如果，則；反之，如果，則證設(shè)，所以 ，即；設(shè)，則，所以，即1.8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點一、主要內(nèi)容回顧左右連續(xù)（1）若在點的某個左鄰域內(nèi)有定義，且，則稱在點左連續(xù)；（2）若在點的某個右鄰域內(nèi)有定義，且，則稱在點右連續(xù)連續(xù)（1）設(shè)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱在處連續(xù)，稱為的連續(xù)點（2）記，稱為在的增量，若，則稱在處連續(xù)（3）若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點處都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)；（）連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線重要結(jié)論在點連續(xù)的充要條件是在點既左連續(xù)，又右連續(xù)即間斷點在點有定義，三條中至少有一條不滿足，則稱在

17、點不連續(xù)，也稱為的間斷點間斷點的類型第一類間斷點：與都存在的間斷點含可去與跳躍兩類可去間斷點：與都存在且相等的間斷點跳躍間斷點：與都存在但不相等的間斷點第二類間斷點：與中至少有一個不存在的間斷點二、基本考試題型及配套例題題型1判斷題（1）分段函數(shù)必有間斷點（）（2）若與都在點間斷，則也在間斷（）解（）錯如分段函數(shù)，在上連續(xù)（）錯如與都在處不連續(xù)，但在處連續(xù)題型II選擇題（1）是在連續(xù)的（）A必要條件B充分條件C充要條件D無關(guān)條件（2）是的（）A跳躍間斷點B無窮間斷點C可去間斷點D振蕩間斷點解（）選（）選題型III計算題（1）設(shè)，要使在處連續(xù)，為多少？（2）設(shè)，為何值時在連續(xù)解（1）在處沒有定義

18、，是函數(shù)的間斷點因為，所以補充能使在連續(xù)（2）因為，所以，當時，能使函數(shù)在連續(xù)三、習(xí)題選解（習(xí)題18）1 研究下列函數(shù)的連續(xù)性：（）；（）解（1）在0,1與上連續(xù)又，故在處連續(xù)從而在0,2上連續(xù)（2）在上連續(xù)，又，在處連續(xù)；，在處不連續(xù)即在上連續(xù)2 下列函數(shù)在指出的點處間斷，說明這些間斷點屬于哪一類型如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)（）；（）；（）解（1）因為為可去間斷點，補充，則函數(shù)在處連續(xù)；又，所以為無窮間斷點（2）當時，為可去間斷點，補充，則函數(shù)在處連續(xù)；當時， ，是無窮間斷點；，是可去間斷點，補充，則函數(shù)在處連續(xù)（3）不存在，是函數(shù)的第二類間斷點3常數(shù)為何值時，可使函數(shù)

19、在上連續(xù)解在上連續(xù)，在處，在上連續(xù)，所以，4討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，判別其類型解，因為，所以為函數(shù)的跳躍間斷點；因為， 所以為函數(shù)的跳躍間斷點1.9連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、主要內(nèi)容回顧連續(xù)函數(shù)的四則運算 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0時）連續(xù) 若函數(shù)在某區(qū)間上單值、單調(diào)增加（或減少）且連續(xù)，則它的反函數(shù)也在對應(yīng)區(qū)間上單值、單調(diào)增加（或減少）且連續(xù) 連續(xù)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)的它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的注：定義區(qū)間是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間二、基本題型及例題題型I填空題（） 設(shè)，則（） 設(shè)，則解（）（）

20、題型II計算題（1） 已知，求（2） 設(shè)在定義域內(nèi)連續(xù)，求的值解 （1） ，（2）在定義域內(nèi)連續(xù)，所以它在處連續(xù)， 所以 ，故 三、習(xí)題選解3 求下列極限：（）；（）；（）解令，則，所以4設(shè)函數(shù)，應(yīng)當怎樣選擇數(shù)，使成為在上連續(xù)的函數(shù)？解要使函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)必在處連續(xù)故因此，時，函數(shù)在上連續(xù)1.10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、主要內(nèi)容回顧函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在左端點右連續(xù)，在右端點左連續(xù)，則稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)零點如果使，則稱為函數(shù)的零點注：函數(shù)的零點也就是方程的根閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值（）（有界性）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上

21、一定有界（）（零點定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號，則在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點即至少存在一點使（）（介值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上取得介于最大值與最小值之間的任何值二、基本題型及例題題型I判斷題（1）在上不連續(xù)的函數(shù)一定沒有最大值（）（2）在上不連續(xù)的函數(shù)一定無界（）解（）錯（）錯如：在上不連續(xù)，但它有最大值，也有界題型II證明題（1） 設(shè)在上連續(xù)，且，證明在內(nèi)必存在一點，使得（2）設(shè)在上連續(xù)且無零點，證明：在上恒正或恒負證（1）設(shè)，則在上連續(xù)，而，所以在至少存在一點，使得，即（2）用反證法設(shè)在上不是恒正或恒負，則在必有，且，使得，又在上連續(xù)，所以至少存在一點，使得這與已知矛盾故得證三、習(xí)題選解（習(xí)題110）1 證明方程至少有一個根介于和之間證設(shè)，則在上連續(xù)，且，由零點定理，在（1,3）內(nèi)至少有一點，使即方程在（1,3）內(nèi)至少有一根2 證明方程至少有一個正根，并且它不超過證設(shè)，則在上連續(xù)，且，若，則是方程的根；若，由零點定理，在內(nèi)至少有一點，使，即是方程的根故方程至