初中銳角三角函數(shù)專題

1、目錄課題：銳角三角函數(shù)課件2解直角三角形應(yīng)用題6解直角三角形的方法技巧11銳角三角函數(shù)考點(diǎn)16銳角三角函數(shù) 課后檢測19課題：銳角三角函數(shù)課件【引題】例題1：操作與探究（1）度量下列一組直角三角形30度角所對的邊與斜邊，計(jì)算它們的比值，發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（2）度量下列一組直角三角形45度角所對的邊與斜邊，計(jì)算它們的比值，發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（3）猜想：當(dāng)A取其它一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對邊與斜邊的比值是否定值？為什么？（4）用同樣的方法探討A的鄰邊與斜邊、A的對邊與鄰邊的比有什么規(guī)律？為什么？【歸納與總結(jié)】 三角函數(shù)的定義：如圖，在RtABC中,C=90°，（1）我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做

2、A的正弦，記做sinA。即sinA=； （2）我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記做cos A。即 cosA=；（3）我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記做tanA。即tanA=；例題2：如圖：利用特殊直角三角形求特殊角的三角函數(shù)。（1）已知，在RtABC中，C=90°，A=30°，求30°角、60°角的三角函數(shù)，并填出表格。（2）已知，在RtABC中，C=90°，A=45°，求45°角的三角函數(shù)，并填出表格。（3）分析上面特殊角的三角函數(shù)，你能從表格中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？三角函數(shù)0°30°45

3、°60°90°【歸納與總結(jié)】1余角三角函數(shù)關(guān)系： 如A+B=90°, 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 2. 同角三角函數(shù)關(guān)系： sin2A+cos2A =1； 3. 函數(shù)的增減性：在銳角的條件下，正弦，正切函數(shù)隨角的增大，函數(shù)值增大；余弦函數(shù)隨角的增大，函數(shù)值反而減小.4. 函數(shù)值的取值范圍： 在時(shí). 正弦函數(shù)值范圍：； 余弦函數(shù)值范圍: ； 正切函數(shù)值范圍：。 例題3：如圖，在RtABC中，C=90°，求sinA、cosA和tanA的值例題4：如圖，在RtABC中，C=90°，BC=6，求、的值【歸納與總結(jié)】在Rt

4、ABC中，知道任意兩條邊的長，就可以求出兩個(gè)銳角的所有三角函數(shù)。例題5：計(jì)算：（1） （2）【基礎(chǔ)與訓(xùn)練】1如圖1，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，b），則sin等于（ ）A B C2在ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，則tanB的值是（ ） A B C D （1）3在RtABC中，C=90°，sinA=，則sinB等于（ ） A B C D4在RtABC中，C=90°，AB=10，sinB=，BC的長是（ ） A2【鞏固與提高】1如圖1，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，且它們的交角為，則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（ ）A Csina D1 (1) (2) (

5、3) (4)2如圖2，在四邊形ABCD中，BAD=BDC=90°，且AD=3，sinABD=，sinDBC=，則AB，BC，CD長分別為（ ） A4，12，13 B4，13，12 C5，12，13 D5，13，123如圖3，菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，ABD=a，則下列結(jié)論正確的是（ ） Asina= Bcosa= Ctana= Dtana=4如圖4，為測一河兩岸相對兩電線桿A、B間的距離，在距A點(diǎn)17米的C處（ACAB）測得ACB=50°，則A、B間的距離應(yīng)為（ ） A17sin50°米 B17cos50°米 C17tan50°

6、米 D34cot50°米5如圖，C=90°，DBC=30°，AB=BD=2，利用此圖求tan75°和tan15°6如圖，POQ=90°，邊長為2cm的正方形ABCD的頂點(diǎn)B在OP上，C為CQ上，且OBC=30°，分別求點(diǎn)A，D到OP的距離【提高與拓展1如圖4，沿折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處已知，則的值為( ) 圖6圖4圖52如圖5，在直角坐標(biāo)系中，將矩形沿對折，使點(diǎn) 落在處，已知，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_3如圖6，在等腰直角三角形中，為上一點(diǎn)，若 ，則的長為_4已知sina+cosa=m，sina·cosa=n，則m，n的

7、關(guān)系是_5在RtABC中，C=90°，a+b=4，且SABC=2，則c=_6將cos21°，cos37°，sin41°的值按從小到大的順序排列為_7tan1°tan2°tan3°tan89°=_8在RtABC中，C=90°，CAB=60°，AD平分CAB，得的值為_9在ABC中，C=90°，且AC>BC，CDAB于D，DEAC于E，EFAB于F，若CD=4，AB=10，則EF：AF等于_解直角三角形應(yīng)用題AB12千米PCDG60°圖11.如圖1，一架飛機(jī)在空中P處探測到

8、某高山山頂D處的俯角為60°，此后飛機(jī)以300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向勻速飛行，飛行10秒到山頂D的正上方C處，此時(shí)測得飛機(jī)距地平面的垂直高度為12千米，求這座山的高（精確到0.1千米） 2.如圖,水壩的橫斷面是梯形,背水坡AB的坡(2題圖)角BAD=,坡長AB=,為加強(qiáng)水壩強(qiáng)度,將壩底從A處向后水平延伸到F處,使新的背水坡的坡角F=,求AF的長度(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù): ,).參考數(shù)據(jù)cos20°0.94，sin20°0.34，sin18°0.31，cos18°0.953施工隊(duì)準(zhǔn)備在一段斜坡上鋪上臺階方便通行現(xiàn)測得斜坡上鉛垂的兩

9、棵樹間水平距離AB=4米，斜面距離BC=4.25米，斜坡總長DE=85米（1）求坡角D的度數(shù)（結(jié)果精確到1°）；（2）若這段斜坡用厚度為17cm的長方體臺階來鋪，需要鋪幾級臺階?17cm（第3題）ABCDEF4 在東西方向的海岸線上有一長為1km的碼頭MN（如圖），在碼頭西端M 的正西195 km 處有一觀察站A某時(shí)刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于 A 的北偏西30°,且與A相距40km的B處；經(jīng)過1小時(shí)20分鐘，又測得該輪船位于A的北偏東60°，且與A相距km的C處（1）求該輪船航行的速度（保留精確結(jié)果）；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至

10、碼頭MN靠岸？請說明理由5. 如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖. 為了提高傳送過程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由45°改為30°. 已知原傳送帶AB長為4米.（1）求新傳送帶AC的長度；（2）如果需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出2米的通道，試判斷距離B點(diǎn)4米的貨物MNQP是否需要挪走，并說明理由(說明：的計(jì)算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，2.24，2.45)第5題6 如圖，大海中有A和B兩個(gè)島嶼，為測量它們之間的距離，在海岸線PQ上點(diǎn)E處測得AEP74°，BEQ30°；在點(diǎn)F處測得AFP60°，BFQ60&#

11、176;，EF1km（1）判斷ABAE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）求兩個(gè)島嶼A和B之間的距離（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：1.73，sin74°，cos74°0.28，tan74°3.49，sin76°0.97，cos76°0.24）ADBADEBADFEBADQFEBADPQFEBAD7圖1為已建設(shè)封頂?shù)?6層樓房和其塔吊圖，圖2為其示意圖，吊臂AB與地面EH平行，測得A點(diǎn)到樓頂D點(diǎn)的距離為5m,每層樓高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的長8在一個(gè)陽光明媚、清風(fēng)徐來的周末，小明和小強(qiáng)一起到郊外放風(fēng)箏

12、他們把風(fēng)箏放飛后，將兩個(gè)風(fēng)箏的引線一端都固定在地面上的C處(如圖).現(xiàn)已知風(fēng)箏A的引線（線段AC）長20m，風(fēng)箏B的引線（線段BC）長24m，在C處測得風(fēng)箏A的仰角為60°，風(fēng)箏B的仰角為45°.（1）試通過計(jì)算，比較風(fēng)箏A與風(fēng)箏B誰離地面更高？AB45°60°CED(第19題圖)（2）求風(fēng)箏A與風(fēng)箏B的水平距離.(精確到0.01 m；參考數(shù)據(jù)：sin45°0.707,cos45°0.707,tan45°=1,sin60°0.866,cos60°=0.5,tan60°1.732）9 為了緩解酒泉

13、市區(qū)內(nèi)一些主要路段交通擁擠的現(xiàn)狀，交警隊(duì)在一些主要路口設(shè)立了交通路況顯示牌（如圖）已知立桿AB高度是3m，從側(cè)面D點(diǎn)測得顯示牌頂端C點(diǎn)和底端B點(diǎn)的仰角分別是60°和45°求路況顯示牌BC的高度第19題圖10.如圖所示,小明在家里樓頂上的點(diǎn)A處，測量建在與小明家樓房同一水平線上相鄰的電梯樓的高，在點(diǎn)A處看電梯樓頂部點(diǎn)B處的仰角為60°，在點(diǎn)A處看這棟電梯樓底部點(diǎn)C處的俯角為45°，兩棟樓之間的距離為30m，則電梯樓的高BC為_米（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)： ）82.0BAC（第11題圖）11. 首屆中國國際航空體育節(jié)在萊蕪舉辦，期間在市政府廣場進(jìn)行了熱氣球

14、飛行表演.如圖，有一熱氣球到達(dá)離地面高度為36米的A處時(shí)，儀器顯示正前方一高樓頂部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.為了安全飛越高樓，氣球應(yīng)至少再上升多少米？（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：）ABCD45°60°第（12）題12. 摩天輪是嘉峪關(guān)市的標(biāo)志性景觀之一某校數(shù)學(xué)興趣小組要測量摩天輪的高度如圖，他們在C處測得摩天輪的最高點(diǎn)A的仰角為，再往摩天輪的方向前進(jìn)50 m至D處，測得最高點(diǎn)A的仰角為求該興趣小組測得的摩天輪的高度AB（，結(jié)果保留整數(shù)）13.小明想知道西漢勝跡中心湖中兩個(gè)小亭A、B之間的距離，他在與小亭A、B位于同一水平面且東西走向的

15、湖邊小道上某一觀測點(diǎn)M處，測得亭A在點(diǎn)M的北偏東30°, 亭B在點(diǎn)M的北偏東60°,當(dāng)小明由點(diǎn)M沿小道向東走60米時(shí)，到達(dá)點(diǎn)N處，此時(shí)測得亭A恰好位于點(diǎn)N的正北方向，繼續(xù)向東走30米時(shí)到達(dá)點(diǎn)Q處，此時(shí)亭B恰好位于點(diǎn)Q的正北方向，根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，請你幫助小明計(jì)算湖中兩個(gè)小亭A、B之間的距離14. A小明家所在居民樓的對面有一座大廈AB，AB米為測量這座居民樓與大廈之間的距離，小明從自己家的窗戶C處測得大廈頂部A的仰角為37°，大廈底部B的俯角為48°求小明家所在居民樓與大廈的距離CD的長度（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）D37°C48°

16、B15.如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從A市的東偏北30°方向直線延伸，測繪員在A處測得要安裝天然氣的M小區(qū)在A市東偏北60°方向，測繪員沿主輸氣管道步行2000米到達(dá)C處，測得小區(qū)M位于C的北偏西60°方向，請你在主輸氣管道上尋找支管道連接點(diǎn)N，使到該小區(qū)鋪設(shè)的管道最短，并求AN的長.第15題圖解直角三角形的方法技巧例1.如圖1，若圖中所有的三角形都是直角三角形，且，求AB的長。圖1思路1：所求AB是的斜邊，但在中只知一個(gè)銳角A等于，暫不可解。而在中，已知一直角邊及一銳角是可解的，所以就從解入手。解法1：在中，因，且，AE1故在中，由，得在中，由，得思路2：觀察

17、圖形可知，CD、DE分別是和斜邊上的高，具備應(yīng)用射影定理的條件，可以利用射影定理求解。解法2：同解法1得在中，由，得在中，由，得點(diǎn)拔：本題是由幾個(gè)直角三角形組合而成的圖形，這樣的問題，可先解出已經(jīng)具備條件的直角三角形，從而逐步創(chuàng)造條件，使得要求解的直角三角形最終可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，因而在解直角三角形時(shí)經(jīng)常要用到。例2.如圖2，在中，AD是BC邊上的中線。（1）若，求AD的長。（2）若，求證：圖2分析：（1）由AD是BC邊上的中線，只知DC一條邊長，僅此無法直接在中求解AD。而在中，由已知BC邊和可以先求出AC，從而使可解。（2）和分別為和中的銳

18、角，且都以直角邊AC為對邊，抓住圖形的這個(gè)特征，根據(jù)銳角三角函數(shù)可以證明解：（1）在中，在中，（2）證明：在中，由，得在中，由，得故，又因BC2DC，故點(diǎn)拔：在解直角三角形的問題中，經(jīng)常會遇到這樣的圖形，如圖2，它是含有兩個(gè)直角三角形的圖形。隨著D點(diǎn)在BC邊上位置的變化，會引起直角三角形中有關(guān)圖形數(shù)量相應(yīng)的變化，從而呈現(xiàn)出許多不同的解直角三角形問題。例3.如圖3，在中，AD是的平分線。（1）若，求（2）在（1）的條件下，若BD4，求圖3分析：在（1）中已知AD是的平分線，又知AB、BD這兩條線段的比為，應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，就能把已知條件集中轉(zhuǎn)化到中，先求出即可求得。解：（1）由AD

19、是的平分線，得，即在中，由，得，（2）由，得由，得。又點(diǎn)撥：解直角三角形時(shí)，要注意三角形中主要線段的性質(zhì)，利用平面幾何的有關(guān)定理，往往能夠建立已知與未知的聯(lián)系，從而找到解決問題的突破口。例4.如圖4，在中，D為BC上一點(diǎn)，BD1，求AB。圖4分析：已知的角告訴我們，和都是特殊的直角三角形，抓住這個(gè)特點(diǎn)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系，可以列出一元一次方程求解解：在中，設(shè)，由，可知，得，在中，由，BD1，得得點(diǎn)撥：解直角三角形時(shí)，要注意發(fā)掘圖形的幾何性質(zhì)，利用線段和差的等量關(guān)系布列方程，還要熟練地掌握特殊銳角的三角函數(shù)值，以使解答過程的表述簡便。訓(xùn)練題：如圖5，在中，D、F分別在AC、BC上，且，

20、求AC。圖5（提示：是直角三角形，AF為斜邊上的高線，CF是直角邊AC在斜邊上的射影，AC又為所求，已知的另外兩邊都在中，且，即是等腰三角形，因此，可以過D作，從而找到解題思路。由于DE、AF同垂直于BC，可以利用比例線段的性質(zhì)，逐步等價(jià)轉(zhuǎn)化求得AC）銳角三角函數(shù)考點(diǎn)考查重點(diǎn)與常見題型1 求三角函數(shù)值，常以填空題或選擇題形式出現(xiàn)，如：在RtABC中，C90°，3ab，則A ，sinA 2 考查互余或同角三角函數(shù)間關(guān)系，常以填空題或選擇題形式出現(xiàn)，如：(1) sin53°cos37°cos53°sin37° (2) 在RtABC中，C90

21、6;，下列各式中正確的是（ ）(A) sinAsinB (B)sinAcosB (C)tanAtanB (D)c0tAcotB3 求特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，常以中檔解答題或填空題出現(xiàn)，如：12sin30°cos30° 考點(diǎn)訓(xùn)練1RtABC中，C90°，AB6，AC2，則sinA（ ）（A） （B） （C） （D）2在ABC中，C90°，sinA，則tanA·cosA的值是（ ）（A） （B） （C） （D）3已知AB90°，則下列各式中正確的是（ ） （A）sinAsinB (B)cosAcosB (C)tanAcogB (D)t

22、anAtanB4若0°<a<45°，則下列各式中正確的是（ ） （A）sina>cosa (B)cosa>sina (C)cota<1 (D)tana>cota5RtABC中，C90°，ACBC1，則cosA= ，cotA 6設(shè)a為銳角，若sina，則a ，若tana，則a 7查表得cot56°421.5224，2的修正值為0.0019，則cot56°44 8已知a為銳角，若cosa，則sina ，tan(90°a) 9. 已知sina=, a為銳角，則cosa ，tana ，cota 10用“&g

23、t;”或“<”連結(jié)： cos18° cos18°3； tan31° tan32°； tan29°30 cot60°29 sin39° cos51°；cot30° sin89°；sinacosa 1（a為銳角）11計(jì)算：（1）sin60° cos45°sin30°·cos30°（2）3 tan30°cos0°·cos45°12ABC中，BAC90°，AD是高，BD9，tanB，求AD、AC、B

24、C13已知方程x25x·sina10的一個(gè)根為2，且a為銳角，求tana 的值。解題指導(dǎo)1 計(jì)算：（1）sin45°·cos45°3cot260°+（2）2 若a為銳角，tga3，求的值。3 在RtABC中，C90°，求證：a3cosAb3cosB=abc4 方程x2x m0的兩根是一個(gè)直角三角形中兩銳角的余弦cosA和cosB，求A、B的度數(shù)和m的值。5 若方程2x22x·cosacosa（cosa4）0的兩個(gè)根x1、x2滿足（x11）（x21），求sina的值。6ABC中，ABAC，BAC36°，AD是BC邊上

25、的高，BE是ABC的平分線，BC1，試?yán)眠@個(gè)三角形求出sin18°的值。7已知sin和cos是方程a2x2a3x10的兩根，求a的值。獨(dú)立練習(xí)1在RtABC中，C90°，sinAsinB34，則ctgA的值（ ）（A） （B） （C） （D）2若2cosa0，則銳角a（ ）（A） 30°（B）15° （C）45°（D）60°3 已知a=sin25°，b=tan46°，c=cot17°，m=cos20°，則a、b、c、m的大小關(guān)系（ ）（A） a<b<c<m（B）b<m<c<a（C）a<m<b<c（D）m<a<b<c4在RtABC中，各邊的長度都擴(kuò)大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值（ ）（A） 都擴(kuò)大兩倍（B）都縮小兩倍（C）沒有變化（D）不能確定50°<a<45°，下列不等式中正確的是（ ）(A)cosa<sina<cota（B）c