華工線性代數(shù)試題及解答

1、 2006線性代數(shù) 試卷A一、 填空題（每小題4分，共20分）。0 已知正交矩陣P使得，則1 設(shè)A為n階方陣，是的個(gè)特征根，則det( )= 2 設(shè)A是矩陣， 是 維列向量，則方程組有無數(shù)多個(gè)解的充分必要條件是：rank(A)=rank(A,B)<n3 若向量組=（0，4，2），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩為2，則t=-84 ，則的全部根為：1、2、-3二、 選擇題（每小題4分，共20分）1 行列式的值為（ c ）。 DA， 1， B，-1C， D，2 對矩陣施行一次行變換相當(dāng)于（ A ）。A， 左乘一個(gè)m階初等矩陣， B，右乘一個(gè)m階初等矩陣 C， 左乘一個(gè)n階初等矩陣， D

2、，右乘一個(gè)n階初等矩陣 3 若A為m×n 矩陣，。則（ C ）。 DA， 是維向量空間， B， 是維向量空間C，是m-r維向量空間， D，是n-r維向量空間4 若n階方陣A滿足， =0，則以下命題哪一個(gè)成立（ A ）。DA， ， B， C， ， D，5 若A是n階正交矩陣，則以下命題那一個(gè)不成立（ D ）。A，矩陣AT為正交矩陣， B，矩陣為正交矩陣C，矩陣A的行列式是1， D，矩陣A的特征根是1三、 解下列各題（每小題6分，共30分）1若A為3階正交矩陣，為A的伴隨矩陣， 求det ()2計(jì)算行列式。 (a+3)(a-1)33設(shè)，求矩陣B。4、求向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。5、 求向量

3、=（1，2，1）在基下的坐標(biāo)。四、（12分）求方程組 的通解（用基礎(chǔ)解系與特解表示）。六、證明題（6分）設(shè)，是線性方程組對應(yīng)的齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系， 是線性方程組的一個(gè)解，求證線性無關(guān)。2006年線性代數(shù)A參考答案一 填空題(1) 2 0 -22006(2) 12···n2(3) r(A)=r(A,B)< n(4) t=-8(5) 1,2,-3二 選擇題(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D三 解答題 (1) A·A* =|A|·E, |A|·|A*|=|A3| |A*|=|A|2=|A·A|

4、=|A·A-1|=1 (2) (3)由AB=A-B，有，（4） 而 故，為一個(gè)極大無關(guān)組（5）6、 求向量=（1，2，1）在基下的坐標(biāo)。令=（1，2，1）=x+y+z，則有： 解得： 的坐標(biāo)為四 解： 原方程組同解下面的方程組：即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齊次方程組基礎(chǔ)解系為：。當(dāng)時(shí)，由，求得基礎(chǔ)解系：六，證明 證：設(shè)， 則，于是：,即：但，故 =0。從而 =0。但線形無關(guān)，因此全為0，于是b=0,由此知：線形無關(guān)。設(shè)，是線性方程組對應(yīng)的齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系， 是線性方程組的一個(gè)解，求證線性無關(guān)。 2006線性代數(shù) 試卷B一、 填空題（每小題4分，共20分）。1

5、 已知正交矩陣P使得，則2設(shè)A為n階方陣，是的個(gè)特征根，則det( )= 3設(shè)A是矩陣，則方程組對于任意的 維列向量都有無數(shù)多個(gè)解的充分必要條件是：4 若向量組=（0，4，2），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩不為3，則t=5，則的全部根為：二、選擇題（每小題4分，共20分）1n階行列式的值為（ ）。B， ， B，C， D，2對矩陣施行一次列變換相當(dāng)于（ ）。B， 左乘一個(gè)m階初等矩陣， B，右乘一個(gè)m階初等矩陣 C， 左乘一個(gè)n階初等矩陣， D，右乘一個(gè)n階初等矩陣 3若A為m×n 矩陣，。則（ ）。A， 是維向量空間， B， 是維向量空間C，是m-r維向量空間， D，是n-

6、r維向量空間4若n階方陣A滿足， =E，則以下命題哪一個(gè)成立（ ）。A， ， B， C， ， D，5若A是n階正交矩陣，則以下命題那一個(gè)不成立（ ）。A，矩陣-AT為正交矩陣， B，矩陣-為正交矩陣C，矩陣A的行列式是實(shí)數(shù)， D，矩陣A的特征根是實(shí)數(shù)三、解下列各題（每小題6分，共30分）1若A為3階正交矩陣， 求det (E-)2計(jì)算行列式。3設(shè)，求矩陣A-B。4、求向量組的的秩。向量在基下的坐標(biāo)（4，2，-2），求在下的坐標(biāo)。四、（12分）求方程組 的通解（用基礎(chǔ)解系與特解表示）。六、證明題（6分）設(shè)，是線性方程組對應(yīng)的齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系， 是線性方程組的一個(gè)解，求證對于任意的常數(shù)a

7、，線性無關(guān)。 證：設(shè)， 則，于是：,即：但，故 =0。從而 =0。但線形無關(guān)，因此全為0，于是b=0,由此知：線形無關(guān)。2006年線性代數(shù)B參考答案二 填空題（1） 2 -2 -5*22005(0) 1···n(1) m=r(A)=r(A,B)< n(2) t=-8(3) 1,2,-3二 選擇題(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D三 解答題 (1) 3階的正交矩陣必有一個(gè)實(shí)特征根，這個(gè)特征根為1或者-1， 所以det (E-)= det （E-A）· det （E+A） =0（2）(3)由AB=A-B，有，（4） 而 故秩為3

8、。（5）令=+2+=x（+）+y（+）+z（+），則有： 解得： 所求的的坐標(biāo)為四 解： 原方程組同解下面的方程組：即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齊次方程組基礎(chǔ)解系為：。六，證明 證：設(shè)， 則，于是：,即：但，故 =0。從而 =0。但線形無關(guān)，因此全為0，于是b=0,由此知：線形無關(guān)。 2007線性代數(shù) 試卷一、 填空題（共20分）（1） 設(shè)A是矩陣， 是 維列向量，則方程組無解的充分必要條件是：rank(A)<rank(A,B)（2） 已知可逆矩陣P使得，則（3） 若向量組=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩為2，則t=（4） 若A為2n階正交矩陣，為

9、A的伴隨矩陣， 則=-1（5） 設(shè)A為n階方陣，是的個(gè)特征根，則 = 二、 選擇題（共20分）(1) D (2) D (3) C (4) 都對 (5) A（1） 將矩陣的第i列乘C加到第j列相當(dāng)于對 DA， 乘一個(gè)m階初等矩陣， B，右乘一個(gè)m階初等矩陣 C， 左乘一個(gè)n階初等矩陣， D，右乘一個(gè)n階初等矩陣 6 若A為m×n 矩陣，。則（ C ）。 DA， 是維向量空間， B， 是維向量空間C，是m-r維向量空間， D，是n-r維向量空間（2） 若A為m×n 矩陣， 是 維 非零列向量，。集合則B DA， 是維向量空間， B， 是n-r維向量空間C，是m-r維向量空間，

10、D， A，B，C都不對（3）若n階方陣A，B滿足， ，則以下命題哪一個(gè)成立D CA， ， B， C， ， D， （4）若A是n階正交矩陣，則以下命題那一個(gè)成立：AA，矩陣為正交矩陣， B，矩陣 -為正交矩陣C，矩陣為正交矩陣， D，矩陣 -為正交矩陣（5）4n階行列式的值為：AA，1， B，-1C， n D，-n 三、 解下列各題（共30分）1求向量，在基下的坐標(biāo)。2設(shè)，求矩陣-A3計(jì)算行列式4.計(jì)算矩陣列向量組生成的空間的一個(gè)基。（4分5. 設(shè) 計(jì)算det A四、 證明題（10分）設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系， 不是線性方程組的一個(gè)解，求證線性無關(guān)。六、（8分） 取何值時(shí)，方程組 有無數(shù)

11、多個(gè)解？并求通解七、（4分）設(shè)矩陣，+都是可逆矩陣，證明矩陣也是可逆矩陣。2007年線性代數(shù)A參考答案一 填空題 每個(gè)四分(4) rankA<rank(A|B) 或者 rankA rank(A|B)(5) t= (6) 0二 選擇題(1) D (2) D (3) C (4) 都對 (5) A三 解答題1求向量，在基下的坐標(biāo)。 (1) 設(shè)向量在基下的坐標(biāo)為，則 （4分） （6分）2設(shè)，求矩陣-A (2) （2分）3計(jì)算行列式(3) （4）（4分）（5）六，證明七 2007線性代數(shù) 試卷一、 填空題（共20分）（1） 設(shè)A是矩陣， 是 維列向量，則方程組有唯一解的充分必要條件是：（2） 已知

12、可逆矩陣P使得，則（3） 若向量組=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩r不為3，則r=（4） 若A為2n+1階正交矩陣，為A的伴隨矩陣， 則=（5） 設(shè)A為n階方陣，是的個(gè)特征根，則 = 二、 選擇題（共20分）(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B（1） 將矩陣的第i列乘c相當(dāng)于對A：A， 左乘一個(gè)m階初等矩陣， B，右乘一個(gè)m階初等矩陣 C， 左乘一個(gè)n階初等矩陣， D，右乘一個(gè)n階初等矩陣 （2） 若A為m×n 矩陣，。集合則 B CA， 是維向量空間， B， 是n-r維向量空間C，是m-r維向量空間， D， A，B，C都不對（3）若n階

13、方陣A，B滿足， ，則以下命題哪一個(gè)成立 C DA， ， B， C， ， D， 都不對（4）若A是n階初等矩陣，則以下命題那一個(gè)成立：AA，矩陣為初等矩陣， B，矩陣 -為初等矩陣C，矩陣為初等矩陣， D，矩陣 -為初等矩陣（5）4n+2階行列式的值為：A，1， B，-1C， n D，-n 三、 解下列各題（共30分）1求向量，在基下的坐標(biāo)。2設(shè)，求矩陣-A3計(jì)算行列式4.計(jì)算矩陣列向量組生成的空間的一個(gè)基。5. 設(shè) 計(jì)算det A四、 證明題（10分）設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系， 不是線性方程組的一個(gè)解，求證線性無關(guān)。六、（8分） 取何值時(shí)，方程組無解？七、（4分）設(shè)矩陣，+都是可逆矩

14、陣，證明矩陣也是可逆矩陣。2007年線性代數(shù)B參考答案三 填空題 每個(gè)四分（1） rankA=rank(A|B)=n （2）（3）r=2 （4） 1（5）0二 選擇題(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B三 解答題 (1) 設(shè)向量在基下的坐標(biāo)為，則 （4分） （6分） (2) （2分）（6分）(3) （6分）（4）（4分） （6分） （5） （6分）四 證明：六，證明七 2007線性代數(shù)-1 試卷一、 填空題（共20分）1設(shè)行列式，則方程的所有解是：2已知矩陣，則矩陣 分別等于：3設(shè)是n階對稱方陣的個(gè)特征值，是對應(yīng)的特征向量，若，則向量的夾角是：4若方程組有解，則的值等于：

15、5 若矩陣是n階實(shí)矩陣，且，這里為零矩陣，則矩陣的所有特征值為：二、選擇題（共20分）7 若矩陣和都是n階正定矩陣，若n是任意自然數(shù)，則A， B，C， D，不能確定8 設(shè)有齊次線性方程組AX=0和BX=0，其中A，B為 矩陣，現(xiàn)有四個(gè)命題（1）若AX=0的解均是BX=0的解，則（2）若，則AX=0的解均是BX=0的解（3）若AX=0與BX=0同解，則（4）若，則AX=0與BX=0同解以上命題中正確的是A， （1）（2）， B， （1）（3）C， （2）（4）， D， （3）（4）9 若A，B是任意n階方陣，則以下等式中一定成立的是：A， B，C， D，10 若n階方陣，滿足，則有A， B， C

16、， D， 11 若A是n階方陣，則A是n階正交方陣的充分必要條件不是C， A的列向量構(gòu)成 的單位正交基 B，C， A的行向量構(gòu)成 的單位正交基 D，三、解下列各題（共30分）1求向量，在基下的坐標(biāo)。2設(shè)A是三階方陣且，求的值3計(jì)算行列式4. 設(shè)向量組。求向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。5. 設(shè)，計(jì)算四、 證明題（8分）設(shè)向量線性無關(guān)，求證：向量線性無關(guān)。六、（8分）求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系七、（6分）設(shè)矩陣，是正定矩陣，證明分塊矩陣也是正定矩陣。 湖南商學(xué)院2006年度（線性代數(shù)）期末考試試卷一、填空題（每小題2分，共20分）1.如果行列式，則 。2.設(shè)，則 。3.設(shè)= 。4.設(shè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系

17、含有2個(gè)解向量，則 。5.A、B均為5階矩陣，則 。6.設(shè),設(shè)，則 。7.設(shè)為階可逆矩陣，為的伴隨矩陣，若是矩陣的一個(gè)特征值，則的一個(gè)特征值可表示為 。8.若為正定二次型，則的范圍是 。9.設(shè)向量，則與的夾角 。10. 若3階矩陣的特征值分別為1，2，3，則 。二、單項(xiàng)選擇（每小題2分，共10分）1.若齊次線性方程組有非零解,則（ ）.1或2. 1或2.1或2.1或2.2.已知4階矩陣的第三列的元素依次為，它們的余子式的值分別為，則（ ）.5.-5.-3.33.設(shè)A、B均為n階矩陣，滿足，則必有（ ）. .或.或4. 設(shè)是非齊次線性方程組的兩個(gè)解向量，則下列向量中仍為該方程組解的是（ ）ABC

18、D三、計(jì)算題 (每題9分，共63分)1.計(jì)算階行列式 2. 設(shè)均為3階矩陣，且滿足，若矩陣，求矩陣。3.已知向量組和；已知可以由線性表示, 且與具有相同的秩,求a ,b的值。4. 已知向量組（1）求向量組的秩以及它的一個(gè)極大線性無關(guān)組；（2）將其余的向量用所求的極大線性無關(guān)組線性表示。5. 已知線性方程組（1）a為何值時(shí)方程組有解？（2）當(dāng)方程組有解時(shí)求出它的全部解（用解的結(jié)構(gòu)表示）.6. 設(shè)矩陣，矩陣由關(guān)系式確定，試求四、證明題（7分）已知3階矩陣，且矩陣的列向量都是下列齊次線性方程組的解，（1）求的值；（2）證明：。參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一. 填空題1-16； 2. 0；3.； 4. 1； 5

19、.-4； 6. ； 7.；8.； 9. ； 10. 24。二. 單項(xiàng)選擇： 1. C； 2. A ；3. D； 4. B； 5. C.三.計(jì)算題：1. 4分9分2. 3分因?yàn)轱@然可逆6分則 9分3. 3分即，且5分那么，則6分，即 9分4. 4分5分其極大線性無關(guān)組可以取為7分且：，9分5. 當(dāng)時(shí)，線性方程組有解4分即，特解為，6分其導(dǎo)出組的一般解為，基礎(chǔ)解系為8分原線性方程組的通解為為任意常數(shù)）9分6. 由，得2分4分7分9分7. =2分 =4分令6分即作線性變換8分可將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形9分四.證明題： 因?yàn)椋札R次線性方程組有非零解，故其方程組的系數(shù)行列式，所以3分（2），因此齊次線性方

20、程組的基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)為3-2=1，故，因而。7分一、判斷題(正確填T，錯(cuò)誤填F。每小題2分，共10分) 1 A是n階方陣，則有。 （ ）2 A，B是同階方陣，且，則。 （ ）3如果與等價(jià)，則的行向量組與的行向量組等價(jià)。 ( )4若均為階方陣，則當(dāng)時(shí)，一定不相似。 ( )5n維向量組線性相關(guān)，則也線性相關(guān)。 （ ）二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1下列矩陣中，（      ）不是初等矩陣。（A） (B) (C) (D) 2設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（ ）。（A） （B） （C） （D）3設(shè)A為n階方陣，且。則（） (

21、A) (B) (C) (D) 4設(shè)為矩陣，則有（ ）。（A）若，則有無窮多解；（B）若，則有非零解，且基礎(chǔ)解系含有個(gè)線性無關(guān)解向量；（C）若有階子式不為零，則有唯一解；（D）若有階子式不為零，則僅有零解。5若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則（ ） （A）A與B相似 （B），但|A-B|=0 （C）A=B （D）A與B不一定相似，但|A|=|B| 三、填空題（每小題4分，共20分）1 。2為3階矩陣，且滿足3,則=_， 。3向量組，是線性 （填相關(guān)或無關(guān)）的，它的一個(gè)極大線性無關(guān)組是 。4 已知是四元方程組的三個(gè)解，其中的秩=3，則方程組的通解為 。5設(shè)，且秩(A)

22、=2，則a= 。四、計(jì)算下列各題（每小題9分，共45分）。1已知A+B=AB，且，求矩陣B。2.設(shè)，而，求。3.已知方程組有無窮多解，求a以及方程組的通解。4.求一個(gè)正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型5 A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對角化？為什么？；（3）求|A+3E|。五證明題（每題5分，共10分）。1若是對稱矩陣，是反對稱矩陣，是否為對稱矩陣？證明你的結(jié)論。2設(shè)為矩陣，且的秩為n，判斷是否為正定陣？證明你的結(jié)論。線性代數(shù)試題解答一、1（F）（）2（T） 3（F）。如反例：，。4（T）（相似矩陣行列式值相同

23、）5（F）二、1選B。初等矩陣一定是可逆的。2選B。A中的三個(gè)向量之和為零，顯然A線性相關(guān)； B中的向量組與，等價(jià), 其秩為3，B向量組線性無關(guān)；C、D中第三個(gè)向量為前兩個(gè)向量的線性組合，C、D中的向量組線性相關(guān)。3選C 。由，)。4選D。A錯(cuò)誤，因?yàn)椋荒鼙ＷC；B錯(cuò)誤，的基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量；C錯(cuò)誤，因?yàn)橛锌赡?，無解；D正確，因?yàn)椤?選A。A正確，因?yàn)樗鼈兛蓪腔嬖诳赡婢仃?，使得，因此都相似于同一個(gè)對角矩陣。三、1 （按第一列展開）2 ；（=）3 相關(guān)（因?yàn)橄蛄總€(gè)數(shù)大于向量維數(shù)）。 。因?yàn)?，? 。因?yàn)?，原方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量，取為，由原方程組的通解可表為導(dǎo)出組的通

24、解與其一個(gè)特解之和即得。5（四、1解法一：。將與組成一個(gè)矩陣，用初等行變換求。=。故 。解法二：。，因此。2解：，。3解法一：由方程組有無窮多解，得，因此其系數(shù)行列式。即或。當(dāng)時(shí)，該方程組的增廣矩陣于是，方程組有無窮多解。分別求出其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，原方程組的一個(gè)特解，故時(shí)，方程組有無窮多解，其通解為，當(dāng)時(shí)增廣矩陣，此時(shí)方程組無解。解法二：首先利用初等行變換將其增廣矩陣化為階梯形。由于該方程組有無窮多解，得。因此，即。求通解的方法與解法一相同。4解：首先寫出二次型的矩陣并求其特征值。二次型的矩陣，因此得到其特征值為，。再求特征值的特征向量。解方程組，得對應(yīng)于特征值為的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量

25、，。解方程組得對應(yīng)于特征值為的一個(gè)特征向量。再將，正交化為，。最后將，單位化后組成的矩陣即為所求的正交變換矩陣，其標(biāo)準(zhǔn)形為。5 解：（1）由知-1，2為的特征值。，故-2為的特征值，又的秩為2，即特征值-2有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故的特征值為-1，2，-2，-2。（2）能相似對角化。因?yàn)閷?yīng)于特征值-1，2各有一個(gè)特征向量，對應(yīng)于特征值-2有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以有四個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故可相似對角化。（3）的特征值為2，5，1，1。故=10。五、1為對稱矩陣。 證明： =，所以為對稱矩陣。2為正定矩陣。證明：由知為對稱矩陣。對任意的維向量，由得， =，由定義知是正定矩陣。成都理工大

26、學(xué)20062007學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)考試試卷（A）一.填空題（每空3分，共30分）1. 已知A* =，則A = 。2. A、B、C是同階矩陣，A可逆，若AB = AC，則B = 。3. 若A= E，則A = 。4. 設(shè) = 1， = 32，則A為 階矩陣。5. 行列式D = 中，元素6的代數(shù)余子式為 。6. A、B、C是同階方陣，且0，BA=C，則B= 。7. 逆序數(shù)（23541）= 。8. n + 2個(gè)n維向量的相關(guān)無關(guān)性為 （填“相關(guān)”“無關(guān)”或“不確定”）。9. 向量組的 所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩。10. 若n階實(shí)矩陣A滿足 ，則稱A為正交矩陣。二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分

27、）11. A、B是同階方陣，下面結(jié)論中（ ）是正確的。(A) 若AB = 0且0，則A = 0； (B) 若AB = 0且B0，則A = 0； (C) 若AB = 0且B0，則A0； (D)若A0，則A是可逆矩陣。12. n階行列式的值為零的充要條件是（ ）(A)某一行元素全為零； (B)某兩行元素相等；(C) D的秩n； (D)兩行對應(yīng)元素成比例. 13. 若A是( )，則A不一定是方陣。(A)對稱矩陣； (B)方程組的系數(shù)矩陣；(C)可逆矩陣； (D)上（下）三角形矩陣。14. 兩個(gè)非零向量、線性相關(guān)的充分必要條件是（ ）(A)、的對應(yīng)分量成比例； (B)=；(C)、中有一個(gè)是零向量； (

28、D) 0+0=0不成立.15. 齊次線性方程組AX=0有非零解是它的基礎(chǔ)解系存在的（ ）。(A)充要條件； (B)必要條件； (C)充分條件； (D)無關(guān)條件.三.解答下列各題：（21分）16. 計(jì)算D = 17. 證明若對稱矩陣A為非奇異矩陣，則A也對稱。18. 設(shè)=(1，2，3，4)，=(1，3，5，7)，=(2，6，10，11)，=(3，7，11，15)?；卮鹣铝袉栴}：(1) 求r(,)；(2) 求此向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。四、（5分）19. 設(shè)三階矩陣A的特征值為1，2，3，求的值五、（10分）20.已知A=，（1）求A；（2）若AX =，求X。六.（9分）21. 用基礎(chǔ)解系求下列

29、方程組的全部解.成都理工大學(xué)20062007學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)考試試卷（A）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一. 填空題（每空3分，共30分）1. 2. C 3. A 4. 5 5. 6 6. 7. 5 8. 線性相關(guān) 9.極大線性無關(guān)組 10. 二.單項(xiàng)選擇題15分 1115依次為： A C B A A三. （1618各7分，共21分） 16. （7分）17. 證明：若且存在，（2分） 則 （5分）18. 解： （4分）(1) r(,) = 3 （1分）(2)可選,為此向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。 （2分）（方法對變換有誤給4分）四、（5分）19. 設(shè)三階矩陣A的特征值為1，2，3，求的值解：A的特征值

30、為1，2，3，則， （2分） （3分）五、20.（10分） （4分） 故 （1分）若AX =，則X = （2分）= （3分）六.（9分）21. 解： 方程組化為 ，有特解 （5分） 對應(yīng)齊次方程組為，有基礎(chǔ)解系， （3分）方程組的全部解為 （1分）成都理工大學(xué)2008級線性代數(shù)考題（2010年1月用）(附答案)一、 填空題（每空3分，共15分）1. 設(shè)矩陣,且,則 20 2. 為3階方陣，且，則3. 設(shè)n階矩陣A的元素全為1，則A的n個(gè)特征值是4. 設(shè)A為n階方陣，為A的n個(gè)列向量，若方程組只有零解，則向量組()的秩為 n 二、選擇題（每題3分，共15分）5. 設(shè)線性方程組，則下列結(jié)論正確的是

31、（A）(A)當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程組均有解 (B)當(dāng)a0時(shí)，方程組無解(C) 當(dāng)b0時(shí)，方程組無解 (D)當(dāng)c0時(shí)，方程組無解6. A.B同為n階方陣，則（C）成立(A) (B) (C) (D) 7. 設(shè)，,則（C）成立 (A) (B) (C) (D) 8. ,均為n階可逆方陣，則的伴隨矩陣（D）(A) (B) (C) (D)9. 設(shè)A為矩陣，那么A的n個(gè)列向量中（B）（A）任意r個(gè)列向量線性無關(guān) (B) 必有某r個(gè)列向量線性無關(guān) (C) 任意r個(gè)列向量均構(gòu)成極大線性無關(guān)組 (D) 任意1個(gè)列向量均可由其余n1個(gè)列向量線性表示三、計(jì)算題（每題7分，共21分）10. 設(shè)。求 11. 計(jì)算行列式 ()12. 已知矩陣與相似，求a和b的值 ()四、計(jì)算題（每題7分，共14分）13. 設(shè)方陣的逆矩陣的特征向量為，求k的值 (或)14. 設(shè),（1）問為何值時(shí)，線性無關(guān)（2）當(dāng)線性無關(guān)時(shí)，將表示成它們的線性組合 ()五、證明題（每題7分，共14分）15. 設(shè)3階方陣，的每一列都是方程組的解 （1）求的值（2）證明： ( 略 )16. 已知為n維線性無關(guān)向量，設(shè)，證明：向量線性無關(guān)六、 解答題（10分）18方程組，滿足什么條件時(shí)，方程組（1） 有惟一解（2