導熱微分方程及穩(wěn)態(tài)導熱

1、工學院機電工程教研室 傳輸原理工學院機電工程教研室 傳輸原理熱量的傳遞方式熱量的傳遞方式特定條件下熱量傳遞、溫度分布的有關(guān)規(guī)律特定條件下熱量傳遞、溫度分布的有關(guān)規(guī)律工學院機電工程教研室 傳輸原理 鋰電池被加熱至 250 攝氏度（華氏 482 度）后體積迅速膨脹直至爆炸，研究員將此過程稱之為“熱失控”。結(jié)果顯示，鋰電池內(nèi)部結(jié)構(gòu)在“熱失控”前并不會發(fā)生變化，但在爆炸發(fā)生瞬間，電池內(nèi)部銅質(zhì)材料融化但在爆炸發(fā)生瞬間，電池內(nèi)部銅質(zhì)材料融化將溫度提升至將溫度提升至 1000 攝氏度，產(chǎn)生的熱量從內(nèi)部向外擴攝氏度，產(chǎn)生的熱量從內(nèi)部向外擴散導致散導致“熱失控熱失控”。鋰電池通常被安裝在設備內(nèi)部并與其他電子元件

2、相連，“熱失控”不僅會使電池核心崩潰，還增加了設備內(nèi)部短路和破壞附近物體的風險。 3D 熱成熱成像技術(shù)像技術(shù)工學院機電工程教研室 傳輸原理溫度變化可使改變汽車顏溫度變化可使改變汽車顏色變換的熱敏涂料誕生色變換的熱敏涂料誕生熱敏反應涂料涂在尼桑熱敏反應涂料涂在尼桑Skyline R33汽車表面，當傾倒汽車表面，當傾倒冷水時會使汽車變成橙色冷水時會使汽車變成橙色。工學院機電工程教研室 傳輸原理通用導熱能量方程通用導熱能量方程工學院機電工程教研室 傳輸原理基本概念基本概念一 、溫度場 （Temperature field） 溫度場是指在各個時刻物體內(nèi)各點溫度分布的總稱。 由傅立葉定律知，物體的溫度分

3、布是坐標和時間的函數(shù)： ,zyxft 其中 為空間坐標， 為時間坐標。 , ,x y z工學院機電工程教研室 傳輸原理基本概念基本概念溫度場分類 穩(wěn)態(tài)溫度場（定常溫度場）:是指在穩(wěn)態(tài)條件下物體各點的溫度分布不隨時間的改變而變化的溫度場稱穩(wěn)態(tài)溫度場非穩(wěn)態(tài)溫度場（非定常溫度場）:是指在變動工作條件下，物體中各點的溫度分布隨時間而變化的溫度場0t0t工學院機電工程教研室 傳輸原理基本概念基本概念等溫面與等溫線等溫面與等溫線等溫面：同一時刻、溫度場中所有溫度相同的點連接起來所構(gòu)成的面等溫線：用一個平面與各等溫面相交，在這個平面上得到一個等溫線簇工學院機電工程教研室 傳輸原理基本概念基本概念工學院機電工

4、程教研室 傳輸原理工學院機電工程教研室 傳輸原理溫度梯度 沿等溫面法線方向上的溫度增量與法向距離比值的極限。 溫度梯度和熱流密度nntnttnlimgrad0溫度梯度是向量，垂直于等溫面， 正向朝著溫度增加的方向；溫度梯度的方向是溫度變化率最大的方向。 mnmtnt工學院機電工程教研室 傳輸原理kjiztytxttgrad 溫度梯度的解析定義： 溫度場 中點 處的溫度梯度：),(zyxft ),(zyxkjizyxhamilton算子，經(jīng)此演算，標量場 變成了矢量場。tttijkxyz nablagradgradient工學院機電工程教研室 傳輸原理（4） 熱流密度 熱流密度是指單位時間經(jīng)過單

5、位面積所傳遞的熱量，用 q表示，單位為 。 2/W m導熱的熱流密度與溫度梯度成正比，即：nqnttgrad 導熱系數(shù)，物性值。單位為W/(mK)。負號是因為熱流密度與溫度梯度的方向相反。 熱流密度為矢量，其在x、y、z軸上的投影用傅立葉定律表示為： xtqxytqyztqz工學院機電工程教研室 傳輸原理基本概念基本概念t+ttt-t 溫度梯度和熱流密度的方向都是在等溫面的法線方向。由于熱流是從高溫處流向低溫處，因而溫度梯度和熱流密度的方向正好相反。 工學院機電工程教研室 傳輸原理 熱流量是指單位時間內(nèi)通過面積F所傳遞的熱量，用Q表示，單位為W。dFFQq熱流量矢量，它們和溫度梯度位于等溫面的

6、同一法線上，且沿溫度降低方向為正 。 總熱量是指在時間 內(nèi)通過面積F所傳遞的熱量，用Q表示，單位為J或kJ。 00dddFFqQQ基本概念基本概念工學院機電工程教研室 傳輸原理工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱微分方程 確定導熱體內(nèi)的溫度分布是導熱理論的首要任務確定導熱體內(nèi)的溫度分布是導熱理論的首要任務 傅里葉定律：傅里葉定律： 確定熱流密度的大小，應知道物體內(nèi)的溫度場確定熱流密度的大小，應知道物體內(nèi)的溫度場:2 - grad W m qt( , , , )tfxyz目的目的：確定導熱體內(nèi)部溫度的分布確定導熱體內(nèi)部溫度的分布 , 從而進一從而進一步用傅里葉定律計算換熱量、計算熱應力

7、步用傅里葉定律計算換熱量、計算熱應力。( , , , )tf x y z工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱微分方程 一、導熱微分方程的推導理論基礎：傅里葉定律理論基礎：傅里葉定律 + + 能量守恒方程能量守恒方程 導熱微分方程:根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導熱物體中的溫度場應滿足的數(shù)學表達式。 導熱體內(nèi)取一微元體，導熱體內(nèi)取一微元體，根據(jù)能量守恒定律，根據(jù)能量守恒定律，單位時間凈導入微元體的熱量單位時間凈導入微元體的熱量 加上微元體內(nèi)加上微元體內(nèi)熱源生成的熱量熱源生成的熱量 應等于微元體焓的增加量應等于微元體焓的增加量 dv dv工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱

8、微分方程 物理問題描述物理問題描述 三維的非穩(wěn)態(tài)導熱體，且物體內(nèi)有內(nèi)熱源（導熱三維的非穩(wěn)態(tài)導熱體，且物體內(nèi)有內(nèi)熱源（導熱以外其它形式的熱量，如化學反應能、電能等）。以外其它形式的熱量，如化學反應能、電能等）。假設條件假設條件 (1) (1) 所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)； (2) (2) 熱導率、比熱容和密度均為已知；熱導率、比熱容和密度均為已知； (3) (3) 內(nèi)熱源均勻分布，強度為內(nèi)熱源均勻分布，強度為 W/mW/m3 3 ； (4) (4) 導熱體與外界沒有功的交換。導熱體與外界沒有功的交換。 工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱微分方程

9、 1 1、導入與導出微元體的凈熱量、導入與導出微元體的凈熱量 d d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 x x 軸方軸方向、經(jīng)向、經(jīng) x x 表面導入的熱量表面導入的熱量：xxdq dydzd d d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 x x 軸方軸方向、經(jīng)向、經(jīng) x+dx x+dx 表面導出表面導出的熱量：的熱量：x dxx dxdqdydzddxxqqqxxdxx工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱微分方程 d d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 x x 軸方向?qū)肱c導出微元體凈熱量軸方向?qū)肱c導出微元體凈熱量xxx dxqdddxdydzdx d d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 y y 軸方向?qū)肱c導出微元體凈熱量軸

10、方向?qū)肱c導出微元體凈熱量yyy dyqdddxdydzdy d d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 z z 軸方向?qū)肱c導出微元體凈熱量軸方向?qū)肱c導出微元體凈熱量zzz dzqdddxdydzdz 工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱微分方程 導入與導出凈熱量導入與導出凈熱量: :()yxzdqqqddxdydzdxyz 傅里葉定律：傅里葉定律：xtqxytqyztqz()()()dtttdxdydzdxxyyzz 工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱微分方程 2 2、 d d 時間微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量時間微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量vvq dxdydzd 3 3、微元體在、微元體在d

11、d 時間時間內(nèi)焓的增加量內(nèi)焓的增加量 dxdydzdtcdv 工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱微分方程 ()()()vttttcqxxyyzz非穩(wěn)態(tài)項非穩(wěn)態(tài)項源項源項擴散項擴散項dv 這是笛卡爾坐標系中這是笛卡爾坐標系中三維非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程的三維非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程的一般表達式一般表達式。 其物理意義：其物理意義：反映了物體的溫度隨反映了物體的溫度隨時間和空間的變化關(guān)系。時間和空間的變化關(guān)系。 工學院機電工程教研室 傳輸原理傅里葉定律傅里葉定律由此可見由此可見 物理意義物理意義： 值大，即值大，即 值大或值大或 c c 值小，說明物體的某值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱

12、量能在整個物體中很快一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散，其內(nèi)部各點溫度扯平的能力越大。擴散，其內(nèi)部各點溫度扯平的能力越大。 越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以， 也是材料傳播溫度變化能力大小的指標，亦稱導溫也是材料傳播溫度變化能力大小的指標，亦稱導溫系數(shù)。系數(shù)。熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內(nèi)各部分熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內(nèi)各部分溫度趨向于均勻一致的能力，所以溫度趨向于均勻一致的能力，所以 反映導熱過程動反映導熱過程動態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導熱重要物理量。態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導熱重要物理量。 工學院機電工程教研室 傳輸原

13、理 幾種特殊情況若物性參數(shù)， ，均為常數(shù)無內(nèi)熱源，常物性：穩(wěn)態(tài)，常物性：穩(wěn)態(tài)，常物性，無內(nèi)熱源：222222vpqttttaxyzc簡寫為：2vppqtatcac為熱擴散系數(shù)(導溫系數(shù)) /s pc2tat2vq0t20t工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱微分方程 單值性條件：確定唯一解的附加補充說明條件，單值性條件：確定唯一解的附加補充說明條件，包括四項：幾何、物理、初始、邊界包括四項：幾何、物理、初始、邊界1 1、幾何條件：、幾何條件：說明導熱體的幾何形說明導熱體的幾何形狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等度、直徑等2 2、物理條件：、物理條件

14、：說明導熱體的物理說明導熱體的物理特征如：物性參數(shù)特征如：物性參數(shù) 、c c 和和 的數(shù)的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布；大小和分布；工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱微分方程 3 3、初始條件：、初始條件：又稱時間條件，反映導又稱時間條件，反映導熱系統(tǒng)的初始狀態(tài)熱系統(tǒng)的初始狀態(tài) ) 0 ,(zyxft、邊界條件、邊界條件: :反映導熱系統(tǒng)在界面上的反映導熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的關(guān)系。的關(guān)系。 t=f(y,z,) 0 x1 x 0 x1 x ),(zyfxt0 x1 x )t

15、h ttx（工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱微分方程 導熱微分方程單值性條件求解方法導熱微分方程單值性條件求解方法 溫度場溫度場2 、導熱微分方程的適用范圍、導熱微分方程的適用范圍 1 1 ）適用于）適用于 q q 不很高，而作用時間長。同時傅立不很高，而作用時間長。同時傅立葉定律也適用該條件。葉定律也適用該條件。 2 2 ）若時間極短，而且熱流密度極大時，則不適用。）若時間極短，而且熱流密度極大時，則不適用。3 3 ）若屬極底溫度（）若屬極底溫度（ -273 -273 ）時的導熱不適用。）時的導熱不適用。 工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱微分方程 對于圓柱坐標系對于圓柱坐標系 cqzttrrtrrtatv)11(2222222工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分方程導熱微分方程 對于球坐標系對于球坐標系 cqtrtrrtrrratvsin1)(sinsin1)(12222222工學院機電工程教研室 傳輸原理導熱微分